Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Показать, что функция
в точке является непрерывной по каждой переменной при фиксированной другой (т.е. непрерывна по как функция и непрерывна по как функция ), однако не является непрерывной в точке в смысле определения непрерывности для многомерных функций.
Действительно, фиксируем . Тогда наша функция при таком фиксированном будет непрерывна по в точке . Потому что
то есть при фиксированном наша функция по вообще константа, а поэтому непрерывна
по в нуле.
По совершенно аналогичным соображениям можно сказать, что наша функция при
фиксированном будет непрерывна по в точке . Потому что
Но по совокупности переменных, то есть в смысле обычного определения непрерывности функции
многих переменных, наша функция не будет непрерывна в точке . Более того, в этой точке она
даже не будет иметь предела.
Действительно, рассмотрим траекторию . Тогда вдоль этой траектории
В то же самое время, если мы рассмотрим траекторию , то вдоль этой траектории
Тогда получается, что у нас есть две траектории, вдоль которых наша функция при стремлении к началу координат стремится к двум разным пределам. Но это означает, что никакого предела у при нет. Потому что в любой окрестности нуля обязательно найдутся точки как первой, так и второй траектории.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Исследовать на непрерывность функцию
То есть, указать все точки плоскости , в которых она непрерывна, и те, в которых она разрывна.
Поскольку и числитель и знаменатель - многочлены, то по теореме об отношении непрерывных
функций, их отношение заведомо будет непрерывно во всех тех точках плоскости , в
которых знаменатель , то есть для всех , не лежащих на прямой .
А что же будет при , то есть при ?
В точках этой прямой наша функция вообще не определена (на ноль делить нельзя), а раз не
определена, то заведомо разрывна.
Однако можно даже уточнить, как именно она разрывна в точках прямой .
1 случай. Пусть , но при этом . То есть рассмотрим случай, когда
точка лежит на прямой , но при этом эта точка - не начало координат.
Тогда:
(т.к. точка лежит на прямой )
Таким образом, во всех точках прямой , кроме начала координат, у нашей функции есть
конечный предел, несмотря на то, что в самих этих точках она не определена. Так что, если бы мы
доопределили её этим пределом в этих точках, получилась бы вообще непрерывная функция. Поэтому
мы можем сказать, что в точках прямой , кроме начала координат, наша функция имеет
устранимый разрыв.
2 случай. Точка . А вот в ней все ббудет совсем плохо, потому что
То есть, поскольку при стремлении к началу координат знаменатель - очевидно, бесконечно мал, а числитель равен единице, то наша функция расходится к бесконечности и можем сказать, что в начале координат у неё разрыв II рода.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Исследовать на непрерывность функцию
Непрерывность всюду в , где следует из непрерывности суммы, отношения и
непрерывности многочленов, поскольку всюду за пределами множества, где ,
функция является суммой многочлена и дроби из многочленов, а поэтому непрерывна.
Что происходит при , то есть на прямой ?
1 случай. Пусть . Пусть , то есть лежит на прямой , но при этом
отлична от начала координат. Тогда, если вдоль прямой , то
при .
Однако если вдоль прямой , то
при .
Следовательно, при стремлениях к точке вдоль прямых предел нашей функции
отличен от значения в этой точке. Следовательно, всюду на прямой , кроме начала координат,
функция - разрывна.
2 случай. Пусть - начало координат.
Тогда, с учётом того, что
А также, что
Имеем, что при функция .
Следовательно, функция - непрерывна в точке .
Значит, множеством точек разрыва функции является вся ось , кроме начала координат.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти предел
Распишем функцию у которой берем предел:
Но .
А тогда и тем более
Поскольку при :
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти предел
Сделаем такое нехитрое преобразование при : . Тогда, ввиду того, что при любом :
Будем иметь, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Исследовать на непрерывность функцию
То есть, указать все точки плоскости , в которых она непрерывна, и те, в которых она разрывна.
Числитель нашей функции будет непрерывен во всех точках - это следует
из непрерывности синуса, многочлена, и теоремы о непрерывности композиции непрерывных функций.
Знаменатель непрерывен в каждой точке , как композиция
непрерывного многочлена от двух переменных и всюду непрерывного корня.
Следовательно, по теореме о непрерывности частного, дробь будет непрерывна в
точках, где знаменатель отличен от 0. То есть, мы заведомо можем сказать, что во всех точках
таких, что наша дробь непрерывна. А что же будет происходить в точке
?
Для этого нужно отдельно вычислить .
Заметим, что при близких к . Значит:
Тогда имеем:
Но при , значит, и тем более . А значит и просто
при .
Следовательно, предел при стремлении к началу координат равен её значению в точке. А,
значит, непрерывна во всех точках
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В каких точках плоскости функция будет непрерывна как функция ?
Числитель нашей функции будет непрерывен во всех точках области определения
логарифма, т.е. в таких точках , что .
В эти точках непрерывна как композиция непрерывного логарифма, синуса, и многочлена
от двух переменных - теорема о непрерывности композиции непрерывных функций.
Знаменатель непрерывен в каждой точке , как многочлен от двух
переменных.
Следовательно, по теореме о непрерывности частного, дробь будет непрерывна в
точках, где знаменатель отличен от 0.
В конце концов, получаем, что непрерывна в точках таких,
что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать, что если - непрерывна в точке , то существует шар с центром в
точке , в котором - ограничена.
То есть выполнено
Действительно, воспользуемся определением непрерывности в терминах предела по Коши.
- непрерывна в точке означает, что
Но тогда, если в качестве взять, например, число 1 (не суть важно, что это именно 1, но этого нам хватит для доказательства), то при всех из шара с центром в точке мы будем иметь, что
Или, расписывая это неравенство с модулем в двойное неравенство:
Это как раз и означает, что мы нашли окрестность, а именно, этот самый шара с центром в точке , в котором ограничена сверху числом , а снизу числом . То есть, просто ограничена в этой окрестности.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать, что если функция стремится к числу при то этот предел
единственный.
То есть, если:
(предполагается, что ).
Будем доказывать это утверждение от противного.
Пусть, наоборот, но при этом
Поскольку то их можно отделить непересекающимися окрестностями. А именно, пусть
- расстояние между числами и (напомним, что ). Ясно, что
именно из-за того, что - различные числа.
Тогда понятно, что если мы их окружим, например, окрестностями радиуса то эти окрестности не
будут пересекаться:
Далее, по определению предела, из того факта, что найдём такое что при всех
таких, что будет выполнено то есть содержится в
окрестности числа
Аналогично, по определению предела, из того факта, что найдём такое что при
всех таких, что будет выполнено то есть содержится в
окрестности числа
Тогда, взяв получим, что все из проколотого -шара точки должны целиком
лежать и в -окрестности числа и в -окрестности числа Но эти окрестности не
пересекаются, поскольку расстояние между числами и равно Получили противоречие.
Следовательно, предел у функции в точке всегда единственный.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать, что если и известно, что то при (предполагается, что ).
Выберем вновь так, чтобы:
;
Тогда, если взять то при всех таких, что будет одновременно и
и
Тогда оценим разность :
Далее, поскольку а то найдётся такое, что в какой-то проколотой окрестности (в данном случае проколотые окрестности - это шары с выколотым центром) точки (В противном случае, если бы такого не нашлось, то это означало бы, что для любого сколь угодно малого числа можно было бы найти хотя бы одну точку в сколь угодно малом шаре с центром такую, что то есть можно было бы построить последовательность такую, что - а это противоречило бы тому, что ). Значит, пересекая этот шар с шаром в котором и и будем иметь, что
Так как
Далее:
И каждое слагаемое в последней сумме может быть для любого сделано меньше, чем и соответственно. Следовательно, может быть сделано сколь угодно маленьким, а, значит, и
- тоже Таким образом, мы доказали, что при
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти
Поскольку то где и
Таким образом, (по таблице эквивалентностей).
Тогда получается:
Тогда, сделав замену получим, что условие эквивалентно
условию (потому что если не стремится к 0, то к 0 должен стремиться
чтобы Но тогда будет стремиться либо к 1, либо к поскольку не
стремится к 0, то уже тоже не будет стремиться к 0. Значит, обязано стремиться к 0.)
После замены получаем:
Так как - ограничена, а Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти где
Если рассмотреть траекторию то превратится в (в проколотой окрестности ноля), а, значит, при таком стремлении будет
С другой стороны, если пойти по параболической траектории то превратится в (в проколотой окрестности ноля), а, значит, при таком стремлении будет
Следовательно, раз при разных стремлениях получаются различные пределы, то никакого общего предела нет, то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти
и убедиться, что получаются 3 различных ответа, а, следовательно, эти все три конструкции
принципиально отличаются.
Вначале заметим, что если стремиться к точке по траектории то превратится в (в проколотой окрестности ноля), а, значит, при таком стремлении предел будет браться от тождественного ноля, то есть
С другой стороны, если идти по траектории то превратится в (в проколотой окрестности ноля), а, значит, при таком стремлении будет
Следовательно, раз при разных стремлениях получаются различные пределы, то никакого общего предела нет, то есть
С другой стороны,
А с третьей стороны,