Тождественные преобразования, функции, уравнения и системы на Ломоносове —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Тождественные преобразования, функции, уравнения и системы на Ломоносове

Тема Ломоносов

Тождественные преобразования, функции, уравнения и системы на Ломоносове

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82782

Функция $y =f(x)$ такова, что

(x-− 1) --1- f x +1 = −x+ 1

Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции

g(x)= f◟(f(...f◝(◜x)...))◞ 9

в точке $x= 0$ .

Источники: Ломоносов - 2024, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В аргументе функции стоит сложное дробно-линейное выражение от х, из-за этого трудно понять, как выглядит сама функция. Но с другой стороны, мы же понимаем, что можно сделать замену в этом аргументе так, чтобы нам стало удобнее работать с функцией. На руку играет то, что и в аргументе, и в правой части выражения в знаменателе стоит (х+1), то есть эти два выражения довольно сильно похожи.

Подсказка 2

Если получилось воспользоваться предыдущей подсказкой, то функция должна принять вид линейной. А многократное применение линейной функции — совсем не проблема:)

Подсказка 3

Понятно, что тангенс угла наклона касательной — это значение производной в соответствующей точке. А когда мы берем производную от функции, слагаемое-константа исчезает, поэтому в процессе многократного применения нашей функции за константой можно даже не следить.

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение аргумента

(x-− 1) --1- f x +1 = −x+ 1

( ) f 1− -2-- = −--1-. x+ 1 x +1

Выполним замену $y = 1− 2x+1.$ Тогда $− 1x+1-= y−21$ , следовательно, для любого $y$ верно, что

f(y)= y − 1∕2. 2

Тем самым, мы показали, что функция $f(x)$ имеет вид $x+ C 2$ , где $C$ — некоторая постоянная, которая не зависит от $x$ , тогда

(x +C ) f(f(x))= -2-----+ C = x + 3C, 2 4 2

следовательно, $f(f(x))= x+ C 4$ для некоторой новой постоянной $C$ . Аналогично,

g(x)= f(f(...f(x)...))= -x9 +C = -x-+C. ◟ ◝◜9 ◞ 2 512

Осталось заметить, что тангенс угла наклона в точке 0 равен значению производной функции в точке 0, так что

x 1 1 g′(x) =(512 + C)′ = 512 =⇒ g′(0)= 512-

Ответ:

$-1- 512$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#82780

Решите систему уравнений

{ (xy+ 3x− y − 3)|y− x− 9|=(x− 4)|xy+3x − y− 3|; √y-−-x+9-=y − 4.

Источники: Ломоносов - 2024, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Надо понять, какие есть возможности выполнения 1-го уравнения. Имеется одинаковая скобка справа и слева, на неё можно сократить (не забывая про модуль), когда она не равна нулю. Следовательно, можно отдельно рассмотреть случаи равенства и неравенства нулю этой скобки, также не забывая про ОДЗ.

Подсказка 2

Когда ни одна из скобок первого уравнения не равна нулю, учесть модули можно довольно просто — их наличие равносильно тому, что произведение всех скобок без модулей положительно (поскольку, если оставить все модули в одной стороне, а скобки без модулей перенести в другую, то дробь без модулей обязана быть положительной). Далее уже сложностей не остается — нужно лишь аккуратно поделить всё на случаи и довести их до конца, учитывая ОДЗ.

Показать ответ и решение

Из второго уравнения следует, что $y ≥ 4$ , так как корень неотрицателен.

Пусть первое уравнение выполняется из-за того, что $(xy+ 3x − y− 3)= 0$ . Условие равносильно $(x− 1)(y +3)= 0$ . Решение $y = −3$ не подходит, а при $x= 1$ получаем:

({ ∘y+-8= y− 4 ⇐⇒ y ≥ 4, ⇐⇒ y = 8 (y2− 9y+8 =0.

Пусть теперь $(xy +3x− y− 3)⁄=0$ , но $(x− 4)= 0$ , и $(y − x − 9)= 0$ . Тогда $x= 4,y = 13$ , но такой вариант не подходит под второе уравнение.

При остальных $x,y$ система равносильна системе:

( ( |||{ (x − 1)(y +3)(x − 4)> 0, |||{(x− 1)(y+ 3)(x− 4)>0, y− x− 9= ±(x − 4), ⇐⇒ y =13 или y = 2x+ 5, |||( √y−-x+-9= y− 4 |||(√y-−-x+-9= y− 4

При $y = 13$ решением будет $x= −59$ , при $y = 2x+ 5$ получим уравнение:

√----- ({ x≥ 0.5, x+ 14= 2x +1 ⇐ ⇒ ( 2 4x +3x− 13= 0

Откуда $−3+√217- x= 8$ , тогда $17+√217- y = 4$ . Последняя пара не удовлетворяет условию $(x − 1)(y +3)(x − 4)> 0$ .

Ответ:

$(1,8),(−59,13)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#67932

Решите уравнение

2 3 ∘--4---2--- ∘ -4----2--- log2(|x − 2|+ 1)+ 4x − 3x +5= 2x +5x − 3

Источники: Ломоносов-2023, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выглядит страшно: и корни, и логарифм по отдельности..может, тут есть какие-то оценочки?)

Подсказка 2

Например, можно обратить внимание, что раз |x-2|³ ≥ 0, то аргумент логарифма ≥ 1, и сам логарифм ≥ 0. А еще в подкоренном выражении слева у старшего члена коэффициент больше, чем в подкоренном выражении справа. Что это может значить?

Подсказка 3

То, что левая часть почти всегда больше правой) А еще сами корни положительные. Поэтому, чтобы решение существовало, нужно чтобы левый корень был не больше, чем правый корень (т.к. логарифм и так ≥ 0). При каких иксах это так?

Подсказка 4

Если написать неравенство на подкоренные выражения, то после нехитрых преобразований, получится, что (x²-2)² ≤ 0! Т.е. x = ±√2. Проверьте, подходят ли они как решение)

Показать ответ и решение

Так как

2 3 2 3 2 3 |x − 2| ≥ 0⇒ |x − 2| +1 ≥1⇒ log2(|x − 2| +1)≥ 0

∘ --4---2--- 4x − 3x + 5≥ 0

∘2x4-+5x2−-3≥ 0

Для существования решения необходимо, чтобы выполнялось неравенство

4x4 − 3x2+ 5≤ 2x4+ 5x2− 3

(x2− 2)2 ≤0

x2 = 2

Проверка показывает, что $√- x= ± 2$ — решение.

Ответ:

$±√2-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#58009

Вычислите

[∘ ---√----- ∘ ---√----] 45+ 2022− 45 − 2022 ,

где $[t]$ — это целая часть числа $t$ (т.е. наибольшее целое число, не превосходящее $t$ ).

Источники: Ломоносов-2023, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим наше выражение внутри скобок за t. Тут какие-то страшные корни, давайте избавимся от них с помощью возведения t в квадрат!

Подсказка 2

t² = 90 - 2√3. Стоит вспомнить, что 1 < √3 < 2, и, получив из этого оценку на t², легко найти целую часть от t!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Обозначим $∘ ---√----- ∘----√---- t= 45 + 2022− 45− 2022.$ Чтобы не возиться с корнями, попробуем оценить квадрат этого выражения, тем более он довольно симпатичный:

2 √ ---- ∘ ---√-----∘ ---√----- √ ---- t = 45+ 2022− 2⋅ 45 + 2022⋅ 45 − 2022+ 45− 2022=

∘-------- √ - = 90− 2 452− 2022= 90− 2 3

Из очевидного $1< √3< 2$ получаем $90− 4< t2 < 90− 2$ . Откуда, конечно, $92 = 81< t2 < 100= 102,$ так что целая часть числа $t$ равна $9.$ Здесь, однако, важно сказать, что $t> 0$ , иначе наше решение не исключало бы, что целая часть могла быть равна $− 10$ . Но в силу $45+√2022> 45− √2022-$ следует очевидность (которую всё же надо упомянуть!) неравенства $t> 0.$

Второе решение.

Когда мы видим такую разность корней, хочется немедленно домножить на сопряжённое (на сумму корней) и получить:

∘----√---- ∘ ----√---- ----------90----------- 45+ 2022− 45− 2022 = ∘45+-√2022+∘45-−-√2022-

Далее остаётся оценить выражение в знаменателе. Покажем, что оно лежит строго от $9$ до $10$ , тогда сама дробь лежит в интервале $(9100;909 )$ и целая часть равна $9$ . Итак, $√ ---- 44≤ 2022≤ 45$ , откуда $∘ ----√---- √--√ -- 45+ 2022 ∈[ 90, 91]$ и

∘ ---√----- √3 [ √3 √3 ] ( 1) 45 − 2022= ∘45-+√2022-∈ √91-,√90 ∈ 0,3

Поскольку $∘ --------- 45 +√2022> 9$ , то остаётся показать, что

∘ --------- 45+ √2022-<92 = 29 3 3

√---- 292 45+ 2022 <91< 32

91⋅9= 819 <841

Отсюда

∘45+-√2022+ ∘45−-√2022∈(9,1 +92) ∈ (9,10) 3 3

Ответ:

$9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#70489

Есть функция

---1--- f(x)= √51-− x5

Вычислите

f(f(f(f(f(...f(2022))))...)),

где функция $f$ применяется 1303 раза.

Источники: Ломоносов - 2022, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вот получили вы на Ломоносове такую вот первую задачу, думаете, что уже конец, но не стоит отчаиваться! Когда в некоторой задаче идет речь о некоторых итерациях(а взятие функции от функции, от функции и т.д. - это и есть итерация), то зачастую в такой вот последовательности есть либо инвариант, либо цикл. Циклом при этом может быть и вид функции, к примеру. Попробуйте сделать несколько итераций (то есть в явном виде написать, что такое f(f(x)), f(f(f(x))) и т.д.) и понять, чему это равно.

Подсказка 2

Верно, f(f(f(x))) = х, значит видим периодичность, с периодом 3. А значит, f_1033, где 1033 - кол-во итераций, равно f_1 = f(2022). А это мы можем найти.

Показать ответ и решение

Посмотрим, как будет меняться функция

---1--- f(x)= √51-− x5

∘----- f(f(x))= ∘--1-----= 51− -15 51 −1−1x5 x

∘--------- f(f(f(x)))= 51 − (1− x5)= x

f(f(f(f(x))))= f(x)

Видим периодичность, период $= 3.$ Остаток от деления 1303 на 3 равен 1, поэтому

f(f(f(f(f(...f(2022))))...))= f(2022)= 5√--1---5- 1− 2022

Ответ:

$-√--1---- 51− 20225$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#70487

Какое из чисел больше:

--3-- --5-- --87--- --89--- A= (1⋅2)2 + (2⋅3)2 + ...+ (43⋅44)2 + (44⋅45)2

или

∘6---√-- 3∘ √---- B = --4−-2-3√⋅---3+-1? 32

Источники: Ломоносов-2022, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

«Какой олимпиадник не любит длинных телескопов…». Действительно, то, что написано выше, это ведь очень похоже на стандартный телескоп с разложением на дроби вида 1/n - 1/(n+1) = 1/n(n+1). Как тогда преобразовать наше равенство выше к дробям вида k/(n^2*(n+1)^2)?

Подсказка 2

Верно, это по сути две дроби, у которых разность между знаменателями равна 2n + 1. Значит, 1/n^2 - 1/(n+1)^2 = (2n+1)/(n^2*(n+1)^2). Заметим теперь, что это ровно дроби нашего вида. Чему тогда равна наша сумма-телескоп?

Подсказка 3

Верно, она равна 1/1^2 - 1/45^2 = 2024/2025. Значит, получили сумму в явном виде. Теперь посмотрим на дробь. Кажется, преобразовать можно только первое подкошенное выражение, так как все остальное выглядит слишком атомарно. При этом, у нас все, кроме первого корня имеет степень 1/3, а корено - степень 1/6. Значит, нам хотелось бы преобразовать подкоренное выражение в квадрат некоего числа, чтобы извлечь корень и занести все числа под кубический корень. Попробуйте преобразовать первый корень.

Подсказка 4

Верно, он преобразовывается в квадрат числа (sqrt(3) - 1). А значит, после нехитрых преобразований, получаем, что дробь равна 1. При этом, сумма наша равна 2024/2025. Ответ получен!

Показать ответ и решение

Так как

--2n+-1-- 1- ---1-- (n(n +1))2 = n2 − (n+ 1)2

Находим $A$

( ) ( ) ( ) ( ) A = 12 − 12 + -12 −-12 +...+ -12 −-12 + 12-−-12 = 12-− 12-= 1 2 2 3 43 44 44 45 1 45

= 452-− 1-= 2024 452 2025

Найдём $B$

6∘----√- ∘3√---- 6∘-√-----2 3∘√---- 3√---- B =--4−-2-33√⋅---3+-1 = -(-3−-1)3√-⋅---3+1-= -3√3− 1-=1 2 2 2

Получаем, что $A <B.$

Ответ: B

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#80264

Найдите

f(1)+ f(2)+ f(3)+ ...+ f(13),

если

3 2 f(n)= 4n − 6n + 4n+ 13.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое-то у нас слишком массивное выражение для f(n), может, попробуем его немного упростить? У нас есть последовательно идущие коэффициенты 4, 6, 4 - на что это нам намекает?

Подсказка 2

Конечно, эти же коэффициенты встречаются при разложении разности четвёртой степени. Теперь нужно только аккуратно выделить такую четвёртую степень в выражении для f(n) и вычесть лишнее. Смотрите, теперь при подстановке f(n) в изначальную сумму многое сокращается, и остаются только несложные вычисления

Показать ответ и решение

Попробуем сгруппировать $4n3− 6n2+4n +13.$ Заметим, что у нас есть последовательно идущие коэффициенты $4, 6, 4,$ тогда попробуем собрать многочлены $4$ степени. Получаем

3 2 4 4 f(n) =4n − 6n +4n +13= n − (n − 1) +14

Посчитаем искомое выражение:

4 4 4 4 4 4 f(1)+ f(2)+ f(3)+ ...+ f(13)= 1 +2 + ...+ 13 − (0 +1 + ...+ 12)+ 14⋅13 =

134+14⋅13= 28743

Ответ: 28743

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#47043

Число

1 0 −1 −2 −2021 x =2 + 2 + 2 +2 + ...+ 2

Найдите значение выражения

∘2x-+-4√2x-− 4-+∘2x-−-4√2x-− 4.

Источники: Ломоносов-2021, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что не нравится в этой задаче, — это то, чему равен x. С такой суммой нельзя нормально работать, надо её как-то посчитать. Попробуйте выделить в ней знакомую нам сумму геометрической прогрессии, которую можно посчитать по формуле.

Подсказка 2

Конкретно, вынесите 2⁻²⁰²¹. Теперь обратим внимание на само выражение. Такое количество корней — это неприятно, выделить полные квадраты в них не получается. Как тогда уменьшить число корней?

Подсказка 3

Ну конечно, надо возвести это выражение в квадрат. Тогда останется всего один корень, который тоже можно убрать! При записи ответа надо только не забыть, что искомое выражение неотрицательно

Показать ответ и решение

Число

−2021 ( 2022) − 2021 22023−-1 −2021 x= 2 ⋅1 +...+ 2 = 2 ⋅ 2− 1 = 4− 2

Обозначим

∘ ----√------ ∘-----√----- a = 2x+ 4 2x− 4,b= 2x− 4 2x− 4

Найдём

∘ ------------ (a+ b)2 = a2+ b2 +2ab= 4x+2 ⋅ 4x2− 16(2x− 4)=

∘ ---------- = 4x +4⋅ x2− 8x +16= 4x+ 4|x− 4|

= 4⋅(4− 2−2021)+4 ⋅2−2021 =16

Откуда сразу же $a+ b=4$ (очевидно, что при $a≥0,b≥ 0$ сумма не может быть равна $− 4).$

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#38125

Пусть $f(x)= x2 +10x+ 20$ . Решите уравнение

f(f(f(f(f(x)))))= 0.

Источники: Ломоносов-2021, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выглядит конечно страшно... 4 раза подставлять аргумент и находить значение функции. Так мы делать точно не хотим и не будем. Давайте будем верить в лучшее, иначе эта задача гроб. Попробуем найти какую-то закономерность, не просто так же нам дали такую задачу. Какое есть "правило" при виде квадратного трёхчлена? Что хочется сделать, видя х²+ 2*5*х+20?

Подсказка 2

Конечно, можем выделить полный квадрат! Тогда выйдет, что квадратный трёхчлен равен (х+5)²-5. Хм... Интересно получилось. У нас в скобках +5, а снаружи -5. Попробуйте найти хотя бы f(f(x)). Что хорошего вы видите? Как это продолжается дальше при подстановках?

Подсказка 3

Верно, получается, что пятёрка сокращается внутри скобок при подстановке, и у нас выходит четвёртая степень, а остальное то же самое. Теперь поняв закономерность, попробуйте сделать это столько раз, сколько вам нужно и получить ответ.

Показать ответ и решение

Поскольку $f(x)= (x+ 5)2− 5$ , то

2 2 2 4 f(f(x))=(f(x)+ 5) − 5 =((x +5) − 5+5) − 5= (x+ 5) − 5

Отсюда $f(f(f(f(f(x)))))= (x+5)32− 5 =0$ . Тогда $x+ 5= ± 32√5 ⇐ ⇒ x =± 32√5− 5$ .

Ответ:

$± 32√5 − 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#78978

Решить систему

(| x2 = 2∘y2-+1; { y2 = 2√z2−-1− 2; |( 2 √-2--- z = 4 x + 2− 6.

Источники: Ломоносов - 2013, 11 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Корни выглядят очень неприятно, так что давайте попробуем от них избавиться! Что для этого можно сделать?

Подсказка 2

Да, давайте обозначим каждый из корней какой-то своей буквой, например a, b, c. Тогда каждую из исходных переменных x, y, z — можно выразить через новые a, b, c! Какую систему мы тогда получим?

Подсказка 3

Мы получим систему(с точностью до обозначений): {a² - 2 = 2b; b² - 1 = 2c - 2; c² + 1=4a - 6;} Теперь остаётся придумать, что делать с этой системой...

Подсказка 4

Давайте сложим все три уравнения и перенесём всё в одну часть! Тогда можно выделить три полных квадрата, сумма которых равна нулю. Чтобы закончить решение, достаточно найти такие a, b, c, которые удовлетворяют полученному уравнению и сделать обратную замену!

Показать ответ и решение

Введём обозначения $a= √x2+-2, b= ∘y2+-1, c= √z2−-1.$ Получится система

(| a2− 2 =2b, { b2− 1= 2c− 2, |( 2 c+ 1= 4a− 6

Сложим все уравнения и перенесём в левую часть:

2 2 a +b − 4a− 2b− 2c+6 =0

(a− 2)2+(b− 1)2+ (c − 1)2 = 0

откуда $a= 2, b= 1, c= 1.$ Делаем обратную замену, получим

x= ±√2, y = 0, z = ±√2

Ответ:

$(±√2,0,±√2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#60540

Докажите, что если числа $x,y$ и $z$ — целые, то число

1( 4 4 4) 2 (x − y) +(y− z)+ (z− x)

является квадратом некоторого целого числа.

Источники: Ломоносов-2013, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, что сумма выражений под четвёртыми степенями равна нулю. Тогда как вместо трёх неизвестных сделать две?

Подсказка 2

Можно обозначить числа в скобках как a, b, -(a+b). Теперь раскройте четвёртую степень суммы a+b и поразмышляйте, квадратом какого числа может быть выражение из условия

Подсказка 3

Оно симметрично от перестановки a и b, при этом имеет четвёртую степень. Значит, надо пробовать собирать квадрат какого-то симметричного многочлена от a и b второй степени. Используйте сумму квадратов и произведение чисел ab

Показать доказательство

Первое решение.

Обозначим $a =x − y,b= y− z,c= z− x.$ Видно, что $a +b+ c= 0.$ Тогда надо понять, почему число

1 4 4 4 2(a + b +(−a− b))=

1 = 2(a4+ b4+ a4+ 4a3b+ 6a2b2+ 4ab3+ b4) =a4+ 2a3b+ 3a2b2+ 2ab3+ b4

является полным квадратом. Утроенное произведение $a2b2$ разнесём в три скобки, а удвоенные произведения — по двум соседним скобкам:

(a4+ a3b+a2b2)+(a3b +a2b2 +ab3)+(a2b2+ ab3+b4)=

=a2(a2 +ab+ b2)+ ab(a2+ ab+b2)+b2(a2+ ab+ b2)=

= (a2 +ab+ b2)2

Получилось явно выделить полный квадрат.

Второе решение.

Просто раскроем скобки и получим

$1 4 3 22 3 4 4 3 22 3 4 2(x − 4x y+ 6xy − 4yx +y + y − 4y z+ 6yz − 4zy +z + +z4− 4z3x+ 6x2z2− 4x3z +x4)= =x4+ y4+ z4+3(x2y2+ z2y2+x2z2)− 2(x3y +y3x+ z3x +x3z+ y3z +z3y)$

Теперь надо понять, квадратом какого числа это может быть.

Заметим, что каждый одночлен является либо квадратом $2 2 2 x ,y,z ,xy,zy,xz$ , либо произведением каких-то двух чисел из этого набора. Отсюда вытекает вывод, что это должен быть квадрат $2 2 2 x +y + z − xy− zx− zy$ , в чём нетрудно убедиться сравнением коэффициентов в одночленах. Действительно, при возведении этого выражения в квадрат полезут только упомянутые ранее квадраты и попарные произведения, которые нам и требуются.

Замечание.

Если число всё ещё кажется взявшимся из ниоткуда, то на помощь приходит симметрия. Поскольку выражение из условия симметрично относительно любой перестановки переменных, то и сам квадрат должен быть таким же. Отсюда, например, угадав набор слагаемых $x2,y2,z2,xy,zy,xz$ , можно угадать знаки перед ними: знаки не могут быть разными для $x2$ и $y2$ или для $xy$ и $zy$ , ведь это испортило бы симметрию!

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#47067

Функция $f$ с областью определения $D (f) =[1;+∞ )$ удовлетворяет равенству

(4y+-4−y) f 2 =y

для любого $y ≥0$ . Для каждого значения $a⁄= 0$ решите неравенство

( ) f --a-- ≤1. x+ 2a

Источники: Ломоносов-2013, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Давайте рассмотрим обратную к f функцию. Она по y будет выдавать (4^y + 4^-y)/2. А что у этой функции с монотонностью?

Подсказка 2!

Верно, она монотонно возрастает, значит и наша f будет монотонно возрастать. Попробуйте применить это в неравенстве, которое нам надо рассмотреть

Подсказка 3!

То есть применим к обеим частям неравенства функцию g и получим новое неравенство, более удобное для работы.

Показать ответ и решение

Функция $f$ является обратной к функции $g(y)= 4y+4−y 2$ для $y ≥0$ . Поскольку здесь $g$ монотонно возрастает, то и $f$ , как обратная, будет монотонно возрастать. Отсюда следует

( a ) a 17 f x+-2a- ≤ 1 ⇐⇒ x+-2a ≤ g(1)= 8

Дополнительно учитываем ОДЗ, то есть $x+a2a-≥1$ . Имеем систему

{ { xa+2a-≤ 178- ⇐ ⇒ 17xx++226aa≥ 0 xa+2a-≥1 xx++a2a ≤ 0

Точками смены знака будут $26a − -17-,− a,− 2a$ , однако их порядок зависит от знака $a$ . При $a >0$ получаем решения $26a x∈ [− 17 ,−a]$ , а при $a < 0$ $26a x∈ [− a,− 17 ]$ .

Ответ:

$[− 26a,−a] 17$ при $a> 0$

$[−a,− 261a7 ]$ при $a <0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#67153

Решите уравнение

(3 ) (2 )2 4 x − x = x +1

Источники: Ломоносов-2012

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На первый взгляд в голову приходит только раскрытие скобок. Что ж, здесь это сделать просто, поэтому сделаем это)

Подсказка 2

Хм, многочлен четвёртой степени... Такое просто так не решишь. Разложить на множители не получается. Можно заметить, что коэффициенты этого уравнения с точностью до знаков симметричны! Но пока не особо понятно, как это может помочь( А давайте подумаем над следующей идеей: может, можно привести это уравнение к квадратному? Сразу это сделать не получается, но можно, например, преобразовать этот многочлен так, чтобы максимальная степень была равна 2...

Подсказка 3

Сделать это можно, разделив уравнение на x², предварительно заметив, что x ≠ 0. А теперь можно погруппировать слагаемые, так как теперь вся надежда на замену!

Подсказка 4

Ура, здесь можно сделать замену t = x - 1/x. Остаётся только решить получившееся квадратное уравнение и сделать обратную замену! Подобные уравнения, в которых коэффициенты симметричны, часто решаются с помощью деления на x², запомните этот приём)

Показать ответ и решение

Раскроем скобки:

4 3 2 x − 4x + 2x + 4x+ 1= 0

$x= 0$ не является корнем уравнения, поэтому поделим обе части на $x2 :$

2 4 1- 2 -1 ( 1) x − 4x+ 2+ x + x2 = 0⇔ x + x2 − 4 x− x + 2= 0

Сделаем замену $1 t= x− x;$ Тогда $2 2 1- t = x + x2 − 2$ и получаем

t2 +2− 4t+2 =0 ⇔ t=2

Обратная замена:

1 x2-− 2x−-1 √ - x− x = 2⇔ x = 0⇔ x =1 ± 2

Ответ:

$1± √2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#65395

Функция $f(x)$ удовлетворяет при каждом значении $x$ равенству

f(x+ 2)=f(x)+ 4x +4.

Найдите $f(2012)$ , если $f(2)= 0$ .

Источники: Ломоносов-2012

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам фактически дано рекуррентное соотношение. Что оно позволяет найти, если подставить вместо x что-то удобное?

Подсказка 2

Если подставить 2, то находим f(4), потом если подставить 4, то находим f(6), и т.д.

Подсказка 3

Попробуйте записать такую подстановку x=2t в общем виде. Или же можно угадать, чему равно f(2t), и потом доказать по индукции.

Показать ответ и решение

Вычислим значение функции в произвольной чётной точке $2t$ :

f(2t)= f(2(t− 1))+4(2(t− 1))+ 4= f(2(t− 2))+ 4(2(t− 1)+2(t− 2))+4 ⋅2 =

= f(2(t− 3))+4(2(t− 1)+2(t− 2)+ 2(t− 3))+ 4⋅3= ...= f(2)+ 4(2(t− 1)+ ...+2 ⋅1)+ 4(t− 1)=

= 8(1+ 2+ ...+t− 1)+4(t− 1)= 4t2 − 4

Более формально равенство $f(2t)= 4t2− 4$ можно доказать индукцией по $t$ . Таким образом, $f(2012)= 4048140$ .

Ответ: 4048140

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#67598

Сколько решений имеет уравнение

--1--- ---1-- 2- (x− 1)2 + (x− 2)2 = x2?

Источники: Ломоносов-2011, отборочный тур (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз нам сказали найти количество корней такого уравнения, то, скорее всего, сами корни некрасивые, то есть просто в лоб мы их не найдём. Но давайте внимательно посмотрим на уравнение, а точнее, на числа в числителе. Слева у нас по единице, а справа двойка. Почему тогда привести всё к общему знаменателю не такая плохая идея? Попробуйте это сделать.

Подсказка 2

Верно, это хорошо сделать, потому что, прикинув на глаз, можно увидеть и слева, и справа одинаковые коэффициенты при x⁴. То есть они сократятся, и останется только x³. Тогда этот многочлен легко проанализировать с точки зрения функции. Для чего же мы это сделали? Вспомните теорему, которая очень хорошо определяет наличие корня на каком-то интервале.

Подсказка 3

Ага, это теорема о промежуточном значении. Также мы определили, где функция возрастает, а где убывает. Тогда посмотрите значение в хороших точках и поймите, сколько корней есть у уравнения.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Введём в рассмотрение функции $--1-- --1-- f(x)= (x−1)2 + (x−2)2$ и $2- g(x)= x2.$

При $x< 0$ выполнены неравенства $x− 2< x− 1<x < 0$ , следовательно, $--1-- -1 (x−1)2 < x2$ и $--1-- -1 (x−2)2 < x2$ , поэтому $f(x)< g(x)$ , а значит, при $x < 0$ уравнение не имеет решений.

На промежутке $(0;1)$ функция $f$ возрастает от $5 4$ (не включая) до $+∞$ , так как на данном промежутке $2 (x− 1)$ и $2 (x − 2)$ убывают, следовательно $--1-- (x−1)2$ и $--1-- (x−2)2$ возрастают. Минимум суммы двух дробей достигается при максимуме $2 (x− 1)$ и $2 (x− 2)$ на $(0;1).$

а функция $g$ убывает от $+ ∞$ до 2 (не включая) при $x ∈(0;1)$ . Следовательно, на этом промежутке уравнение имеет ровно 1 решение.

На промежутке $(1;2)$ имеем $(3) f(x)≥f 2 =8$ , а $g(x)< g(1)= 2$ , следовательно, на этом промежутке уравнение не имеет решений.

При $x> 2$ выполнены неравенства $0< x− 2< x− 1<x$ , следовательно, $(x1−1)2 > x12$ и $(x1−2)2 > x12$ , поэтому $f(x)> g(x)$ , значит, при $x > 2$ уравнение не имеет решений.

Второе решение.

Исходное уравнение при условиях $x⁄= 0,x ⁄=1,x⁄= 2$ равносильно уравнению $6x3 − 21x2+$ $24x− 8= 0.$

Рассмотрим функцию $f(x)= 6x3− 21x2+ 24x− 8$ . Поскольку $f′(x)=18x2− 42x+ 24,$ то $x= 1$ — точка максимума, а $x = 43$ — точка минимума. Функция $f$ возрастает на области $(− ∞,1)$ и на области $( ) 43;+∞$ , а на промежутке $( ) 1;43$ убывает.

Так как $( ) f(0) =− 8, f(1)= 1, f 43 = 89$ , то уравнение $f(x)= 0$ имеет единственный корень, который лежит на промежутке $(0;1).$

Ответ: одно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#80432

Найдите все натуральные значения $n$ , удовлетворяющие уравнению

[ ∘----2--] [ ∘ ---2---] 2004 n 1002 +1 = n 2004 1002 + 1 ,

где $[x]$ — наибольшее целое число, не превосходящее числа $x$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас тут какие-то целые части, как с ними работать, не очень понятно. Но вот, например, в правой части уравнения под знаком целой части стоит константа, и было бы хорошо избавиться от квадратных скобок (явно понять, чему равна целая часть этой константы).

Подсказка 2

В левой части всё не так радостно, внутри квадратных скобок есть переменная n. Но отчаиваться не стоит, лучше попробуйте к выражению внутри квадратных скобок хотя-бы для каких-то n (ограниченных неравенством) применить оценку и тоже в явном виде найти эту целую часть (в зависимости от n, конечно).

Подсказка 3

Мы поняли, что для каких-то значений n наше равенство выполнено, осталось убедиться, что остальные n не подходят. Для произвольного n не получится так просто снять с нашего выражения значок целой части… но можно вспомнить, что любое действительное число состоит из целой части — [x], и дробной части — {x}: х = [x]+{x}. Может быть, используя в пробразованиях дробную часть вместо целой, будет легче, ведь у дробной части ограниченная область значений.

Показать ответ и решение

В силу монотонности корня:

∘ ------- ∘------------------(----)2 1002≤ 10022+ 1≤ 10022+2⋅1002⋅-1--+ -1-- =1002+ -1-- 2004 2004 2004

Откуда

2004⋅1002 ≤2004∘10022+-1≤ 2004⋅1002+ 1

Подставляя в исходное уравнение, получим

2004[n∘10022+-1]=2004⋅1002n

[n∘10022-+1]= 1002n

Заметим, что для $n ≤2004$ верна оценка

∘------- ( ) 1002n< n 10022+1 <n 1002+ -1-- = 1002n +1, 2004

а значит, и уравнение, то есть все $n =1,2,...,2004$ являются корнями. Покажем, что других корней нет.

Пользуясь тем, что $[x]=x − {x}$ , где ${x}$ — дробная часть $x$ , получим

∘ ---2--- ∘---2--- n 1002 + 1− 1002n= {n 1002 +1}

Так как область значений ${x}$ равна $[0;1)$ и $n√10022+1 >1002n$ , то из уравнения следует неравенство

n∘10022+-1− 1002n< 1

n < √-----1-------= ∘10022-+1+ 1002 <1002+ -1--+1002= 2004+ -1-- 10022 +1− 1002 2004 2004

n ≤2004

А значит, только $n≤ 2004$ и могли подойти.

Ответ:

$1,2,...,2004$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#80431

Вычислите

∘ ∘---√--- log4log2 ... 16 ◟---◝4◜0--◞

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перезапишем этот логарифм как-нибудь проще. Вспомним, что корень числа а - это а в степени 1/2. А если мы 40 раз возводим число в 1/2 степень, то что получается в итоге?

Подсказка 2

Конечно, в показателе степени будет 1/2⁴⁰, или 2⁻⁴⁰. 16 также можно представить в виде степени двойки, и остаётся только все напрямую посчитать!

Показать ответ и решение