Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сколько решений имеет уравнение
Источники:
Подсказка 1
Раз нам сказали найти количество корней такого уравнения, то, скорее всего, сами корни некрасивые, то есть просто в лоб мы их не найдём. Но давайте внимательно посмотрим на уравнение, а точнее, на числа в числителе. Слева у нас по единице, а справа двойка. Почему тогда привести всё к общему знаменателю не такая плохая идея? Попробуйте это сделать.
Подсказка 2
Верно, это хорошо сделать, потому что, прикинув на глаз, можно увидеть и слева, и справа одинаковые коэффициенты при x⁴. То есть они сократятся, и останется только x³. Тогда этот многочлен легко проанализировать с точки зрения функции. Для чего же мы это сделали? Вспомните теорему, которая очень хорошо определяет наличие корня на каком-то интервале.
Подсказка 3
Ага, это теорема о промежуточном значении. Также мы определили, где функция возрастает, а где убывает. Тогда посмотрите значение в хороших точках и поймите, сколько корней есть у уравнения.
Первое решение.
Введём в рассмотрение функции 
и 
При 
выполнены неравенства 
, следовательно, 
и 
, поэтому 
, а значит,
при 
уравнение не имеет решений.
На промежутке 
функция 
возрастает от 
(не включая) до 
, так как на данном промежутке 
и 
убывают, следовательно 
и 
возрастают. Минимум суммы двух дробей достигается при максимуме 
и 
на
а функция 
убывает от 
до 2 (не включая) при 
. Следовательно, на этом промежутке уравнение имеет ровно 1
решение.
На промежутке 
имеем 
, а 
, следовательно, на этом промежутке уравнение не имеет
решений.
При 
выполнены неравенства 
, следовательно, 
и 
, поэтому 
, значит,
при 
уравнение не имеет решений.
Второе решение.
Исходное уравнение при условиях 
равносильно уравнению 
Рассмотрим функцию 
. Поскольку 
то 
— точка максимума, а
— точка минимума. Функция 
возрастает на области 
и на области 
, а на промежутке 
убывает.
Так как 
, то уравнение 
имеет единственный корень, который лежит на промежутке
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
