Тема . Ломоносов
Тождественные преобразования, функции, уравнения и системы на Ломоносове
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела ломоносов
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38125

Пусть f(x)= x2 +10x+ 20  . Решите уравнение

f(f(f(f(f(x)))))= 0.

Источники: Ломоносов-2021, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выглядит конечно страшно... 4 раза подставлять аргумент и находить значение функции. Так мы делать точно не хотим и не будем. Давайте будем верить в лучшее, иначе эта задача гроб. Попробуем найти какую-то закономерность, не просто так же нам дали такую задачу. Какое есть "правило" при виде квадратного трёхчлена? Что хочется сделать, видя х²+ 2*5*х+20?

Подсказка 2

Конечно, можем выделить полный квадрат! Тогда выйдет, что квадратный трёхчлен равен (х+5)²-5. Хм... Интересно получилось. У нас в скобках +5, а снаружи -5. Попробуйте найти хотя бы f(f(x)). Что хорошего вы видите? Как это продолжается дальше при подстановках?

Подсказка 3

Верно, получается, что пятёрка сокращается внутри скобок при подстановке, и у нас выходит четвёртая степень, а остальное то же самое. Теперь поняв закономерность, попробуйте сделать это столько раз, сколько вам нужно и получить ответ.

Показать ответ и решение

Поскольку f(x)= (x+ 5)2− 5  , то

              2           2      2          4
f(f(x))=(f(x)+ 5) − 5 =((x +5) − 5+5) − 5= (x+ 5) − 5

Отсюда f(f(f(f(f(x)))))= (x+5)32− 5 =0  . Тогда x+ 5= ± 32√5  ⇐ ⇒  x =± 32√5− 5  .

Ответ:

± 32√5 − 5

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!