Тема . Ломоносов
Тождественные преобразования, функции, уравнения и системы на Ломоносове
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела ломоносов
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#47043

Число

    1   0  −1   −2       −2021
x =2 + 2 + 2  +2  + ...+ 2

Найдите значение выражения

∘2x-+-4√2x-− 4-+∘2x-−-4√2x-− 4.

Источники: Ломоносов-2021, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что не нравится в этой задаче, — это то, чему равен x. С такой суммой нельзя нормально работать, надо её как-то посчитать. Попробуйте выделить в ней знакомую нам сумму геометрической прогрессии, которую можно посчитать по формуле.

Подсказка 2

Конкретно, вынесите 2⁻²⁰²¹. Теперь обратим внимание на само выражение. Такое количество корней — это неприятно, выделить полные квадраты в них не получается. Как тогда уменьшить число корней?

Подсказка 3

Ну конечно, надо возвести это выражение в квадрат. Тогда останется всего один корень, который тоже можно убрать! При записи ответа надо только не забыть, что искомое выражение неотрицательно

Показать ответ и решение

Число

    −2021 (       2022)  − 2021 22023−-1     −2021
x= 2    ⋅1 +...+ 2    = 2    ⋅ 2− 1  = 4− 2

Обозначим

   ∘ ----√------   ∘-----√-----
a =  2x+ 4 2x− 4,b= 2x− 4 2x− 4

Найдём

                         ∘ ------------
(a+ b)2 = a2+ b2 +2ab= 4x+2 ⋅ 4x2− 16(2x− 4)=

       ∘ ----------
= 4x +4⋅  x2− 8x +16= 4x+ 4|x− 4|

= 4⋅(4− 2−2021)+4 ⋅2−2021 =16

Откуда сразу же a+ b=4  (очевидно, что при a≥0,b≥ 0  сумма не может быть равна − 4).

Ответ:

 4

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!