Заметим сразу, что , то есть треугольник — остроугольный. А значит и . Поэтому точка лежит снаружи треугольника

Обозначим углы треугольника за По теореме косинусов найдем угол

Проведем . Тогда Поэтому, так как по условию,

Пусть — точка пересечения и . — биссектриса, медиана и высота в равнобедренном треугольнике , поэтому

Тогда из прямоугольного треугольника получаем

По теореме косинусов найдем угол

По формуле половинного угла

По основному тригонометрическому тождеству

И тогда

А из треугольника находим

Пусть, не умаляя общности, Имеем и аналогично Следовательно, треугольники и подобны. Пусть и — описанные окружности треугольников и Поскольку прямая касается

Пусть — центр и прямые пересекаются в Воспользуемся тем, что треугольники и подобны, и тем, что касается в а точка — лежит на Рассмотрим касание и пусть пересекает в Точки и соответствуют друг другу в подобных треугольниках и и следовательно Следовательно четырёхугольник вписанный, и поскольку имеем Это значит, что — ортогональная проекция на которая является её серединой. Таким образом, лежит на медиане треугольника

Пусть и — центры и их радиусы — и а точки касания с — и Из вписанных четырёхугольников и имеем:

Значит, прямоугольные треугольники и подобны c коэффициентом

Пусть и Прямые и касаются и откуда:

(Возможно, что точка или совпала с или или лежит внутри треугольника или Чтобы убрать привязку к конкретным случаям, можно использовать направленные углы)

В окружностях и длины хорд и равны соответственно:

Напишем теорему синусов для треугольника

Наконец, собирая все полученные равенства:

получаем требуемое.

В точке пересекаются три высоты треугольника. Так как — центр описанной окружности, то в точке пересекаются серединные перпендикуляры треугольника. Пусть точка — середина стороны , тогда медиана. Точка — точка пересечения медианы и прямой .

Треугольники и подобны (следует из параллельности прямых и , которые обе перпендикулярны прямой ). Так как (это одно из свойств ортоцентра из школьной геометрии), то коэффициент подобия равен 2. Значит, , то есть медиана делится точкой в отношении . Это означает, что - точка пересечения медиан треугольника . Поэтому площадь в 2 раза больше площади .

Так как — середина , то

Здесь ошибкой был бы вывод о том, что, значит, . Дело в том, что выше доказано, что одна из этих трех площадей является суммой двух других. Но какая именно, зависит от рисунка, который мы сделаем. Важно, где прямая пересекает стороны треугольника. Если треугольник правильный, то точки и совпадают и указанные в условии задачи три площади вырождаются (это здесь невозможно, так как дано, что площади равны 3 и 5). Если прямая проходит через любую вершину треугольника, то тогда одна из трех площадей равна 0 , а две другие — ненулевые, но равны между собой (тоже не наш случай). Если же прямая пересекает две стороны (рассмотренный выше случай), то мы доказали, что одна из этих трех площадей (в одном случае это , в другом — , в третьем - OHV) является суммой двух других.

Поэтому получаем либо (то есть ), либо (то есть ), либо (что невозможно).

Обозначим центры окружностей как и соответственно.

Тогда .

Треугольники и равнобедренные, пусть и

Тогда по свойству внешнего угла треугольника

По теореме синусов в треугольнике получаем

По теореме синусов в треугольнике получаем

Теперь применим теорему синусов к треугольнику обозначив искомый радиус описанной около него окружности за

Следовательно

Обозначим и за и соответственно. Выберем на окружности радиуса произвольную точку По теореме об угле между касательной и хордой

По теореме синусов для треугольника

Аналогично для другой окружности и

Теперь записываем теорему синусов для треугольника обозначив радиус описанной окружности это треугольника за

Перемножим данные равенства

Итак, не зависит от положения окружностей, он зависит только от их радиусов.

Пусть рисунок расплылся на радиус . К площади полумесяца прибавятся «поля», которые можно разбить на левое, правое и два закругления на концах рогов.

Площадь полумесяца равна половине площади круга радиуса минус сегмент круга радиуса

Площадь левого поля ”— половина от площади кольца с радиусами и :

Площадь правого поля ”— четверть от площади кольца с радиусами и :

Закругления на концах рогов вместе составляют три четверти окружности радиуса :

Вместе получается:

И тогда ответ:

Пусть центр окружностей и это и соответственно. Пусть точка — точка касания на Тогда

(1)

Рассмотрим треугольники и Они подобны с коэффициентом Из этого следует, что как соответственные элементы в подобных треугольниках. Тогда

Используя , получаем

Пусть радиус это тогда радиус это Тогда нужно найти Рассмотрим

Из подобия и получаем , что из этого следует, что

Тогда

Пусть — точка, симметричная точке относительно В четырехугольнике диагонали пересекаются в точке и делятся точкой пересечения пополам, следовательно является параллелограммом, в частности прямые и параллельны. Пусть — точка, пересечения прямых и тогда так же является параллелограммом, таким образом, Аналогично, И

Докажем, что Действительно, из подобия треугольников и следует равенство отношений Аналогично

Наконец, из равенств и следует равенство отношений следовательно, что влечет

Наконец, точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку поскольку Пусть — середина тогда то есть так же является серединой отрезка следовательно, серединные перпендикуляры к отрезкам и совпадают, значит лежит на серединном перпендикуляре к что завершает доказательство.

Прямые и пересекаются в центре вписанной окружности треугольника При этом По теореме Менелая

Следовательно, — внешняя биссектриса угла что и требовалось.

Отметим на отрезке такую точку что Тогда равенство из условия задачи можно записать в виде

откуда и треугольники и  подобны. Но треугольники и равны, значит, значит, треугольник равнобедренный, а вместе с ним и треугольник равнобедренный.

Обозначим

Так как , то Из прямоугольных и находим

Так как и — радиус окружности

Так как , то получаем , т. е.

Так как угол острый как угол прямоугольного

Из равнобедренных и находим Отсюда

Тогда площадь равна

И искомое отношение равно

Прямые и параллельны, поэтому углы и равны (обозначены на рисунке цифрой 2 ), аналогично равны углы и (обозначены на рисунке цифрой 3). Отсюда следует подобие треугольников и с коэффициентом подобия 4 и равенство углов и (обозначены на рисунке цифрой 1). Заметим, что .

Покажем, что треугольник подобен треугольникам и , вершины треугольников перечислены в порядке соответствия. Углы и , полученные при пересечении прямой параллельными прямыми и , равны как внутренние накрест лежащие. Сумма углов и равна , как сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника. Значит, угол и треугольник подобен треугольникам и .

Положим и , тогда и . Треугольники и подобны с коэффициентом подобия , и стороны и треугольника соответствуют сторонам и треугольника , поэтому . Значит, и, треугольники и подобны с коэффициентом подобия 2. Следовательно, сторона в два раза длиннее стороны , т.е. длина стороны равна 2.

Пусть описанная окружность треугольника является единичной с центром в нуле, и треугольник положительно ориентирован. Обозначим через комплексное число, отвечающее повороту на против часовой стрелки, через — отвечающее повороту на по часовой стрелке. Тогда центр вписанной окружности имеет координату Обозначим середины дуг через и соответственно. Тогда Поскольку является является проекцией на хорду получаем Аналогично

Легко проверить, что откуда угол (как ориентированные). Значит, откуда

Аналогично Таким образом

Последнее выражение является чисто мнимым, откуда заключаем, что Тогда и что и требовалось доказать.

Пусть описанная окружность треугольника является единичной с центром в и треугольник положительно ориентирован. Точка лежит на прямой откуда то есть Выразим координату точки через Во-первых, Также Из последних двух уравнений находим Теперь

Заметим, что Тогда

Итого Осталось проверить, что равно своему сопряженному, что сразу следует из доказанного выше.

Пусть описанная окружность треугольника является единичной с центром в нуле, а также треугольник положительно ориентирован. Пусть — комплексное число с единичным модулем, такое, что попадает в середину дуги и попадает в точку аналогично определим число (— середина дуги , совпадает с ). Тогда середина дуги имеет координату Центр вписанной окружности имеет координату Середина дуги является срединой отрезка между центром вписанной окружности и откуда точка имеет координату Проекция на сторону имеет координату Тогда

При этом модуль этого комплексного числа равен Тогда (так как ).

При этом

Откуда (так как ). Таким образом, то есть что и требовалось.

(a) Пусть описанная окружность четырехугольника является единичной с центром в нуле. Обозначим через ортоцентр треугольника Аналогично определим точки Заметим, что Нам надо проверить вещественность двойного отношения что верно, поскольку лежат на одной окружности.

(b) Рассмотрим треугольник с вершинами Заметим, что то есть этот треугольник просто равен треугольнику а следовательно, равны и их описанные окружности.

Пусть описанная окружность треугольника является единичной с центром в Зафиксируем на отрезке точку Тогда откуда Найдем координату точки Во-первых, откуда то есть При этом лежит на откуда Решая систему на и находим

Аналогично координата точки вычисляется по формуле

Тогда координата середины отрезка вычисляется по формуле

Обозначим через центр описанной окружности треугольника Заметим, что треугольники и подобны и одинаково ориентированы, откуда откуда

Нам осталось проверить, что отношение вещественное, что сразу следует из подстановки

Как обычно будем считать описанную окружность треугольника с центром в Точка лежит на одной прямой с откуда откуда При этом откуда Подставляя из первого уравнения, находим Аналогично Заметим, что и откуда четырёхугольник — параллелограмм. Значит, условие того, что — ромб равносильно тому, что то есть

Раскрыв скобки в последнем равенстве, получаем

Первая скобка равна быть не может, поскольку иначе что означало бы, что треугольник — равнобедренный с основанием Значит, Проверим, что отношение равно своему сопряженному. Имеем

С другой стороны

Наконец, равенство следует из того, что

Расположим систему отсчета так, чтобы описанная окружность треугольника была единичной с центром в нуле. Заметим, что является проекцией на хорду Тогда Аналогично Получаем, что Вспоминая, что получаем

Аналогично

У трех полученных выражений общий множитель а также откуда получаем требуемое.