Предположим, что прямые и пересекаются в точке Тогда треугольник — равнобедренный, откуда следует, что (это не зависит от того, с какой стороны пересекаются прямые и ). По неравенству треугольника получаем, что Осталось разобрать случай параллельности и В этом случае углы и равны по Опустим перпендикуляр на прямую Тогда что и требовалось доказать.

Продлим до пересечения с в точке Заметим, что потому что и Аналогично Следовательно,

Отметим на такую точку что Получили параллелограмм То есть и По неравенству для треугольника имеем: (пусть не умаляя общности ). Осталось заметить, что и Получили требуемое. Для трапеции, у которой тупые углы не при одном основании, работает аналогичное построение.

Заметим, что по неравенству треугольника Также по неравенству треугольника Осталось заметить, что что и требовалось.

Предположим противное, пусть и Как известно, в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Получается, что и Если сложить неравенства, то получим, что пришли к противоречию.

Достаточно проверить выполнение трех неравенств треугольника. Пусть — точка пересечения отрезков и

Очевидно,

Проверим второе неравенство треугольника: Для этого прибавим к частям этого неравенства равные отрезки и т. е. проверим, что Действительно, по неравенству треугольника и кроме того, Значит,

что и требовалось.

Аналогично доказывается третье неравенство треугольника

Лемма. Пусть и — середины сторон и четырехугольника . Тогда

Доказательство. Пусть — середина диагонали Тогда По неравенству треугольника для треугольника имеем:

после подстановки полученных равенств:

что завершает доказательство.

Вернемся к решению задачи. Пусть и — середины сторон и По лемме Ясно, что длина медианы, проведенной из вершины при неостром угле, не превосходит половины стороны, к котором она проведена, следовательно и Осталось заметить, что по неравенству ломанной верно неравенство

Подставляя полученные неравенства имеем

домножив данное неравенство на получим требуемое.

По неравенству треугольника для треугольника имеем:

Аналогично

Складывая полученные неравенства имеем

Осталось показать, что Пусть — точка пересечения прямых и — образ точки при симметрии относительно прямой — образ точки при симметрии относительно прямой Тогда достаточно показать, что что эквивалентно

Пусть Тогда

Таким образом, неравенство (*) имеет вид

Наконец,

что верно, т.к.

(a) Пусть и  – положения конца минутных стрелок часов с номером в моменты и минут,  – центр -х часов, а  – центр стола.

Лемма. для любого

Доказательство. Рассмотрим треугольник с вершинами Ясно, что  – его медиана. Как известно, медиана треугольника не превосходит полусуммы прилежащих к ней сторон (достаточно достроить треугольник до параллелограмма и применить неравенство треугольника к ).

Понятно, что можно подобрать так, чтобы для некоторого точки и не лежали на прямой т. е. по крайней мере одно из неравенств становится строгим. Сложим все эти неравенства, получим

Ясно, что в таком случае либо либо
Тогда сумма расстояний от центра стола до концов минутных стрелок будет гарантированно больше, чем сумма расстояний до центров часов либо в момент , либо в момент

(b) Зафиксируем момент времени 0 – начало отсчета. Рассмотрим произвольные часы (с номером ). Из леммы в пункте ), в частности, следует, что среднее за один час расстояние от конца минутной стрелки до строго больше Докажем, что существует момент времени такой, что для любого среднее расстояние от конца минутной стрелки до за время от 0 до больше, чем Пусть  – время, которое занимает один полный оборот -ых часов. Введем еще переменную Пусть  – разность между средним расстоянием от конца минутной стрелки до за один полный оборот и (по замечанию, ). И, наконец, пусть есть среднее расстояние от конца минутной стрелки до за время от 0 до Нетрудно понять, что ограничено снизу одной и той же константой для всех Обозначим ее как (при этом вполне может быть отрицательным). Например, по неравенству треугольника ясно, что длины минутной стрелки, поэтому больше либо равно, чем

С помощью введенных обозначений, легко выразить разность между средним расстоянием за время от 0 до от конца минутной стрелки до и для произвольного

Объясним эту формулу. Разобьем время на максимальное число полных оборотов () и то что осталось – интервал от до Поскольку  – разность между средним расстоянием от конца минутной стрелки до за один оборот часов и то за оборотов средняя разность будет равна а суммарная разность . Ясно, что среднее расстояние от конца минутной стрелки до за время от 0 до равно среднему расстоянию за время от до поэтому средняя разность расстояния от конца минутной стрелки до и за это время равно а суммарное – Итак, в числителе стоит суммарная разность за время и ее мы делим на чтобы получить среднюю.

Поскольку по замечанию второе слагаемое в числителе ограничено снизу. А значит, если является достаточно большим числом, то первое слагаемое будет больше второго по модулю, и числитель будет являться положительным числом. Именно это и необходимо, чтобы среднее расстояние за время от 0 до от конца минутной стрелки до было больше

Вернемся к нескольким часам. Выберем наибольшее из всех и обозначим его Рассмотрим теперь разность суммы расстояний от концов минутных стрелок всех часов до и Рассмотрим среднее этой величины за время . Оно является суммой по всем разности между средним расстоянием (за время ) от конца стрелки до и По выбору все слагаемые этой суммы положительные. Итак, у нас есть некоторая величина, среднее значение которой положительно – значит и в некоторой точке значение этой величины положительно. Эта некоторая точка и является моментом времени, в котором сумма расстояний от концов минутных стрелок до центра стола больше, чем сумма расстояний от центров часов до центра стола. Именно это и требовалось получить.

Вспомним известное неравенство. В треугольнике медиана меньше полусуммы сторон, к которым она не проведена. Чтобы его доказать, надо просто удвоить эту медиану и написать неравенство треугольника.

Теперь к задаче. Применим это неравенство к медианам и треугольников и Осталось сложить эти неравенства и получить требуемое.

Обозначим вершину угла через . Отразим точку относительно сторон угла, обозначив полученные две точки через и .

Рассмотрим произвольные точки и на сторонах угла. Заметим, что в силу симметрии , . Поэтому периметр треугольника равен длине ломаной . Длина этой ломаной не меньше длины отрезка , и равенство возможно только когда точки и лежат на отрезке . Поэтому в качестве точек и таких, чтобы периметр треугольника был наименьшим, необходимо выбрать точки пересечения отрезка со сторонами угла.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Условие, что исходный угол острый, важно: если бы был тупым, то построенный отрезок не пересекался бы со сторонами угла, а если бы был прямым, то пересекался бы в точке . В качестве упражнения докажите, что в обоих этих случаях в качестве точек и необходимо выбрать точку , таким образом, периметр вырожденного треугольника является наименьшим из возможных.

Выберем точку на окружности, и отметим также диаметрально противоположную ей точку , причем отметим так, чтобы ни , ни не совпадала ни с одной из отмеченных ранее точек (так можно сделать, ведь на окружности отмечено лишь конечное число точек, то есть конечное число запретов, меж тем как в качестве мы можем выбрать любую из бесконечного числа точек).

Для одной из выбранный точек рассмотрим два отрезка и . Заметим, что по неравенству треугольника сумма , так как  — диаметр окружности. Запишем аналогичные неравенства для всех и сложим их. Получим неравенство

значит, одна из двух скобок в левой части больше Таким образом, в качестве искомой точки подойдет либо , либо диаметрально противоположная ей точка .

Обозначим параллелограмм через , и пусть . Продлим отрезок за точку на свою длину, обозначим полученную точку через . Тогда , и . Значит,  — тоже параллелограмм, в частности, . Так как , а их сумма равна , то . Поэтому, если провести через серединный перпендикуляр к , то относительно этого серединного перпендикуляра точки и лежат по разные стороны. Отсюда

Сделаем с медианой самое естественное, что можно сделать: продлим на свою длину. Обозначим получившуюся точку через . Тогда  — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, . При этом по неравенству треугольника

Замечание. Вообще, те же рассуждения можно записать через векторы. На самом деле как раз из рассуждений выше следует, что

Рассмотрим для определенности конфигурацию, изображенную на рисунке

Тогда имеем следующие равенства:

Поскольку а то сложив второе и третье равенства получим

Следовательно

Заметим, что при таком решении не существенно, как расположены точки и

Пусть в равнобедренной трапеции с основаниями проведена диагональ так что первый жук ползает по циклу второй — по циклу

Рассмотрим моменты времени, в которые первый жук оказывается в точке За время обхода первым жуком полного цикла из снова в второй жук сдвигается по своему циклу на в одну и ту же сторону. Поскольку

при таких сдвигах в один из рассматриваемых моментов времени второй жук окажется на расстоянии меньше до точки по ходу своего движения, а значит, встретится с первым жуком на диагонали

Отметим на отрезке точки и так, что , чтобы получить и . Причём как внешние углы и . Следовательно, треугольник правильный, а тогда . Так как , то получаем, что точка совпадает с , поэтому . Кроме того, , как гипотенуза и меньший катет прямоугольного треугольника с углом . Итак, по неравенству треугольника, что и требовалось.

Повернём вокруг точки против часовой стрелки на 20 градусов, получим . Сделаем такой же поворот для , получим .

Заметим, что — равносторонний. Запишем неравенство для ломаной :

Первое решение.

Удвоим отрезок за точку и получим отрезок длины как в левой части искомого неравенства. Нужно доказать, что его длина меньше периметра треугольника .

Отразим также точку относительно точки и обозначим полученную точку за . В силу осевой симметрии точек и относительно получаем . Из равенства треугольников и по двум сторонам (из построения) и углу между ними (как вертикальные) имеем . Наконец, из неравенства ломаной получаем требуемое.

Замечание. Точки необязательно лежат на одной прямой.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отразим точку относительно сторон угла , получим точки и .

По построению стороны угла являются серединными перпендикулярами к сторонам и , а в силу того, что угол между сторонами угла прямой, угол между перпендикулярами к ним тоже является прямым. Поэтому точка лежит на гипотенузе треугольника и является центром описанной около него окружности, а отрезок — её радиусом .

Выражение в правой части неравенства превращается в длину ломаной , которая больше длины отрезка

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение

Используем прямоугольный треугольник пусть — середина , тогда . В связи с этим нужно доказать

Запишем неравенство треугольника для : . Осталось доказать . Но это известное неравенство медианы, применённое для .

В итоге

Запишем для треугольника неравенство на медиану:

Точно такое же неравенство можно написать для треугольника :

Сложим эти два неравенства: