Пусть и — центры и их радиусы — и а точки касания с — и Из вписанных четырёхугольников и имеем:

Значит, прямоугольные треугольники и подобны c коэффициентом

Пусть и Прямые и касаются и откуда:

(Возможно, что точка или совпала с или или лежит внутри треугольника или Чтобы убрать привязку к конкретным случаям, можно использовать направленные углы)

В окружностях и длины хорд и равны соответственно:

Напишем теорему синусов для треугольника

Наконец, собирая все полученные равенства:

получаем требуемое.