Первое решение.

Удвоим отрезок за точку и получим отрезок длины как в левой части искомого неравенства. Нужно доказать, что его длина меньше периметра треугольника .

Отразим также точку относительно точки и обозначим полученную точку за . В силу осевой симметрии точек и относительно получаем . Из равенства треугольников и по двум сторонам (из построения) и углу между ними (как вертикальные) имеем . Наконец, из неравенства ломаной получаем требуемое.

Замечание. Точки необязательно лежат на одной прямой.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отразим точку относительно сторон угла , получим точки и .

По построению стороны угла являются серединными перпендикулярами к сторонам и , а в силу того, что угол между сторонами угла прямой, угол между перпендикулярами к ним тоже является прямым. Поэтому точка лежит на гипотенузе треугольника и является центром описанной около него окружности, а отрезок — её радиусом .

Выражение в правой части неравенства превращается в длину ломаной , которая больше длины отрезка

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение

Используем прямоугольный треугольник пусть — середина , тогда . В связи с этим нужно доказать

Запишем неравенство треугольника для : . Осталось доказать . Но это известное неравенство медианы, применённое для .

В итоге