Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В четырёхугольнике углы и — не острые. На сторонах и отмечены точки и соответственно. Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной длины диагонали
Подсказка 1
Попробуем доказать, что отрезок, соединяющий середины противоположных сторон, не больше полусуммы противоположных сторон!
Лемма. Пусть и — середины сторон и четырехугольника . Тогда
Доказательство. Пусть — середина диагонали Тогда По неравенству треугольника для треугольника имеем:
после подстановки полученных равенств:
что завершает доказательство.
Вернемся к решению задачи. Пусть и — середины сторон и По лемме Ясно, что длина медианы, проведенной из вершины при неостром угле, не превосходит половины стороны, к котором она проведена, следовательно и Осталось заметить, что по неравенству ломанной верно неравенство
Подставляя полученные неравенства имеем
домножив данное неравенство на получим требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!