Квадратные трёхчлены —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Квадратные трёхчлены

Тема АЛГЕБРА

Квадратные трёхчлены

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Разделы подтемы Квадратные трёхчлены

Дискриминант и корни квадратных трёхчленов

Теорема Виета для квадратных трёхчленов

Графики квадратных трёхчленов

Квадратные трёхчлены с целыми коэффициентами

Теорема о промежуточном значении

Задачи на исследование квадратичной функции

Подтемы раздела алгебра

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86345

На параболе $y = x2$ даны две точки: $A$ с абсциссой $− 3$ и $B$ с абсциссой $5.$ Точка $C$ лежит на дуге $AB$ . Найдите максимальную возможную площадь треугольника $ABC$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, хотим найти площадь…какую формулу для ее нахождения будет проще всего применить? Что из нужных величин у нас уже есть и фиксированно? Что тогда нужно максимизировать?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Площадь треугольника $ABC$ будет максимальной, когда высота из точки $C$ на основание $AB$ будет максимальной длины. Это произойдет, когда касательная к параболе в точке $C$ будет параллельна $AB.$

Координаты точек: $A (− 3,9), B (5,25)$ . Тангенс наклона прямой, содержащей $AB$ , равен $16 8 = 2.$ Тангенс угла наклона касательной к графику в точке равен производной функции в этой точке, поэтому хотим найти $x0$ такое, что $( 2)′ (x0) = 2x0 = 2 ⇐⇒ x0 =1.$

Итого, искомые координаты $C(1,1)$ . Найдем длины сторон треугольника $ABC :$

∘ --------------- √- AB = (5+3)2+ (25− 9)2 =8 5

∘ --------------- √-- BC = (5− 1)2 +(25− 1)2 = 4 37

∘-------------- √- AC = (1+ 3)2+ (1− 9)2 = 4 5

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

√ - √ -- p= 6 5+ 2 37

--------------------------- S =∘ p⋅(p− 8√5)⋅(p− 4√5)⋅(p− 4√37) =64

Второе решение.

$PIC$

Разрежем треугольник вертикальным отрезком $CD$ , тогда

(x − x )CD + (x − x )CD S(ABC )= S(ACD)+ S(BCD )= -C---A-----2--B---C----=

= xB −-xA-⋅CD =4⋅CD 2

Пусть $y = kx +b−$ уравнение прямой $AB$ . Тогда $CD = kx+ b− x2$ . Этот трёхчлен достигает максимум посередине между корнями, которые, очевидно, равны $xA$ и $xB.$ Значит, максимальная длина отрезка $CD$ получится, если взять $xC = xA+x2B-= 1$ , и тогда $CD = 16.$

Ответ: 64

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#85566

На координатной плоскости $Oxy$ рассматривается угол, образованный прямыми $y = x$ и $y = −2x$ , целиком лежащий в полуплоскости $y ≥0$ . Среди всех парабол вида $2 y = ax + bx +c$ , вписанных в данный угол, найдите ту параболу, которая принимает наименьшее значение в точке $x =2$ .

Источники: Курчатов - 2024, 11.6 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Внимание

Условие этой задачи можно понимать по-разному:

Подсказка 1 по первому варианту

Вспомним, что означает с точки зрения уравнений, что парабола касается прямой, запишем эти условия в алгебраической форме. Получим некоторые условия, связывающие между собой коэффициенты квадратного трехчлена.

Подсказка 2 по первому варианту

Теперь, имея условие на коэффициенты трехчлена, останется только подставить в выражение для него x=2 и минимизировать получившуются величину.

Подсказка 1 по второму варианту

Условие, что парабола имеет вершину при x=2, можно записать алгебраически: это значит, что выделяя полный квадрат, мы получим скобку (х-2)^2.

Подсказка 2 по второму варианту

Далее получаем условие на коэффициенты трехчлена, связанные с тем, что искомая парабола касается двух прямых. Из этих условий коэффициенты определяются однозначно!

Показать ответ и решение

Пусть парабола $y =ax2+ bx+ c$ касается обеих прямых $y = x$ и $y = −2x$ . Касание с прямой $y = x$ означает, что квадратное уравнение $2 ax + bx +c =x$ имеет единственное решение, т.е. дискриминант $D1$ этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: $2 D1 = (b− 1)− 4ac= 0$ .

Аналогично, касание с прямой $y = −2x$ означает, что квадратное уравнение $2 ax +bx+ c= −2x$ имеет единственное решение, поэтому дискриминант $D2$ этого квадратного уравнения также равен $2 0 :D2 = (b+ 2) − 4ac= 0$ . Из этих двух равенств следует, что $2 2 (b− 1) = (b+2)$ , поскольку оба этих выражения равны $4ac$ . Решая это уравнение относительно $b$ , получаем $1 b= −2$ . Подставим это значение $b$ в формулу для $D1$ и найдем $-9 ac= 16$ . Подставим в уравнение параболы $2 y = ax + bx+ c$ значения $x =2$ и $b=$ $1 −2$ : получается выражение $4a+ c− 1$

Найдём, какое наименьшее значение принимает это выражение при условии $9 ac= 16$ .

Заметим, что $a> 0$ , поскольку парабола лежит в верхней полуплоскости относительно оси $Ox$ , а значит, и $c>0$ . Поэтому мы можем применить неравенство Коши: $√--- 4a+ c≥ 2 4ac=3$ , откуда $4a+ c− 1 ≥3− 1= 2$ . Значит, наименьшее значение равно 2 , причем оно достигается, когда $4a +c=$ $√ --- 2 4ac$ . Перенося все слагаемые налево, получаем, что $√- √- (2 a− c)2 = 0$ , откуда $√- √ - 2 a= c$ и $c= 4a$ . Подставляя $c$ в формулу $ac= 196$ и помня, что $a,c> 0$ , получаем $a = 38$ и $c= 32$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Принимались также решения, в которых условие понималось так, чтобы найти параболу, которая принимает своё наименьшее значение в точке $x= 2$ . Решение задачи в этой трактовке приведено ниже.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть наша парабола имеет вершину в точке $x= 2$ . Тогда ее уравнение выглядит так: $y = a(x− 2)2+d$ для некоторых чисел $a$ и $d$ .

Касание с прямой $y =x$ означает, что квадратное уравнение $a(x− 2)2+ d= x$ имеет единственное решение, т.е. дискриминант $D1$ этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: $D1 = (4a+ 1)2 − 4a(4a +d)= 0$ .

Аналогично, касание с прямой $y = −2x$ означает, что квадратное уравнение $a(x− 2)2 +d =−2x$ имеет единственное решение, поэтому дискриминант $D2$ этого квадратного уравнения также равен $0:D2 = (4a− 2)2 − 4a(4a+ d)= 0$ . Из этих двух равенств следует, что $(4a+ 1)2 = (4a − 2)2$ , поскольку оба этих выражения равны $4a(4a+ d)$ . Решая это уравнение относительно $a$ , получаем $a = 18$ . Подставим это значение $a$ в формулу для $D1$ и найдем $d= 4$ . Таким образом, мы нашли уравнение искомой параболы:

y = 1(x− 2)2+ 4= 1x2− 1x+ 9 8 8 2 2

Ответ:

$y = 3x2− 1x + 3 8 2 2$

в другой трактовке условия $1 2 1 9 y = 8x − 2x+ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#85554

Кривая, заданная уравнением $y = x2+ px+ q$ , пересекает ось $Ox$ прямоугольной декартовой системы координат в точках $A$ и $B$ , а ось $Oy$ - в точке $C$ (все три точки различны). Известно, что точка $D$ равноудалена от точек $A,B$ и $C$ , а сумма ее координат равна (-2023). Найдите минимально возможную при данных условиях длину отрезка $AB$ .

Источники: ПВГ - 2024, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А, В, С — точки параболы, причём при пересечении с осями Ох и Оу. Тогда про координаты этих точек много уже известно. Подумайте, как называют точки пересечения параболы и оси Охи, и используйте известную теорему для квадратного уравнения.

Подсказка 2

Известная теорема для квадратного уравнения— теорема Виета. Используйте и другие условия задачи, постарайтесь получить значение q - p, ведь только эти переменные изначально даны в условии.

Подсказка 3

Вы уже знаете, что абсциссы А и В — это корни квадратного уравнения и помимо теоремы Виета у них есть явные формулы, используйте это, выражая АВ.

Показать ответ и решение

Из условия вытекает, что $q ⁄= 0$ . Если обозначить $A(x;0),B(x;0),C(0;q),D (x;y) 1 2$ , то, очевидно, что $x= x1+x2- 2$ . Далее

2 2 |DB| = |DC |

2 2 2 2 (x− x2) +y = x + (y − q)

2qy =q2+ 2xx − x2 2 2

Так как $2x= x1+ x2$ , то $2qy = q2+ x1x2$ . Поэтому с учетом теоремы Виета: $x =− p2,y = q+12-$ .

Тогда из условия задачи имеем уравнение

q− p= 2⋅(− 2023)− 1 =− 4047

По формуле корней квадратного уравнения,

-- ∘ ------ |AB|= |x2− x1|=√ D = p2− 4q,

откуда следует

|AB|2 = p2 − 4q = p2− 4p +4⋅4047= (p− 2)2 +4⋅4046≥4 ⋅4046

Данное значение $√---- √ -- |AB |= 2 4046= 34 14$ достигается при $p =2,q = −4045$ .

Ответ:

$2√4046= 34√14$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#85544

Квадратные трехчлены $f(x)⁄= g(x)$ отличаются друг от друга перестановкой коэффициентов. Оказалось, что $f(x)≥ g(x)$ при всех вещественных $x.$ Докажите, что коэффициенты трехчлена $f(x)$ образуют арифметическую прогрессию (в некотором порядке).

Показать доказательство

Предположим, один из коэффициентов при соответствующих степенях $f(x)$ и $g(x)$ совпадают. Тогда, поскольку суммы коэффициентов $f(x)$ и $g(x)$ совпадают, получаем, что $k l f(x)− g(x)=a(x − x)$ при $k⁄= l.$ Легко проверить, что в таком случае в точке $1∕2$ или $2$ значение выражения $k l a(x − x )$ меньше нуля — противоречие. Понятно, что дискриминант трехчлена $f(x)− g(x)$ должен быть не больше $0.$ Пусть $2 f(x)= ax +bx+ c.$ Коэффициенты трехчлена $g(x)$ являются коэффициентами $f(x),$ сдвинутыми по циклу, можно считать, что на $1,$ иначе поменяем $f$ и $g$ местами. Тогда дискриминант равен

(b − c)2 − 4(a− b)(c − a)= b2− 2bc+c2+ 4bc+ 4a2− 4ab− 4ac=(b+ c)2+ (2a)2− 2⋅2a ⋅(b+ c)= (b+c − 2a)2 ≥0

Тогда $b +c− 2a= 0,$ то есть образуют арифметическую прогрессию.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#85542

Квадратные трехчлены $f,g$ и $h$ таковы, что при каждом вещественном $x$ числа $f(x),g(x),h(x)$ являются длинами сторон некоторого треугольника, а числа $f(x)− 1,g(x)− 1,h(x)− 1$ не являются длинами сторон треугольника. Докажите, что один из многочленов $f +g− h,f + h− g,g+ h− f$ постоянен.

Показать доказательство

Понятно, что про больших значениях переменной $x$ каждая из функций $f + g− h− 1,f +h− g− 1,g +h− f − 1$ будет иметь постоянный знак, причем у одной из функций при больших $x$ значения точно должны быть отрицательными. Пусть у функции $f +g − h− 1.$ Тогда при больших $x$ выполнено $0< f + g− h< 1.$ Если $f + g− h$ не константа, то при больших значениях $x$ она будет принимать большие по модлую значения (в частности, большие $1$ ). Значит, $f + g− h$ — постоянная функция.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#85154

При каких $a$ сумма квадратов корней уравнения $x2− ax+ a− 2= 0$ минимальна?

Показать ответ и решение

Квадратное уравнение имеет решение при неотрицательном значении дискриминанта:

x2+ax+ a− 2= 0; 2 D= a − 4(a− 2); D= a2− 4a+8 =(a− 2)2+ 4> 0.

$D> 0,$ следовательно, уравнение имеет два корня для любого значения $a.$ По теореме Виета:

x1+ x2 = a; x1⋅x2 = a− 2.

Для суммы квадратов корней получим:

S = x21+x22 =(x1+ x2)2− 2x1 ⋅x2; S = a2− 2(a− 2) =a2− 2a+ 4=(a− 1)2 +3.

Наименьшее значение для этой суммы получим при $a= 1.$

Ответ: 1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#85147

Найдите все значения параметра $a,$ при которых корни уравнения

2 2 x − (2a +1)x+ a + 2= 0

отличаются в два раза.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Одно из условий можем сразу назвать: корни точно должны быть! А если один из них равен t, то чему будут равны второй корень, сумма корней, произведение корней?

Подсказка 2

Все это можем легко найти! Наверняка Вы уже догадались, какую теорему можем применить :)

Подсказка 3

Чтобы найти подходящие значения параметра, можем избавиться от переменной t с помощью двух уравнений (выражаем из одного и подставляем во второе!). Найдите решения полученного уравнения и проверяйте, подходят ли они под поставленное в самом начале условие.

Показать ответ и решение

Данное уравнение квадратное при всех значениях параметра. Пусть $t$ и $2t$ — два его различных корня. Тогда дискриминант уравнения положителен и выполнена теорема Виета:

( 7 (| 2 2 ||||a > 4 ||{D = (2a+ 1) − 4(a + 2)> 0 ||{ 2a + 1 |t+ 2t= 2a+ 1 ⇔ |t= --3-- ||(t⋅2t= a2+ 2 |||| 2 |(t2 = a-+-2 2

Из второго и третьего уравнений системы получаем

a2− 8a+ 16= 0 ⇒ a= 4

Найденное $a$ удовлетворяет условию $D > 0.$

Тогда при $a= 4$ получаем уравнение $x2− 9x+ 18= 0$ с корнями $x1 = 3,x2 = 6,$ отличающимися в два раза.

Ответ:

$a = 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточно обоснованные переходы	3

Все равенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено	2

Определено, что уравнение квадратное и найдено при каких $a$ оно имеет решение	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#84473

Пусть $a$ , $b$ , $c$ — различные числа, причем $c⁄= 0$ . Докажите, что если уравнения $x2+ ax+bc= 0$ и $x2+bx+ ca= 0$ имеют ровно один общий корень, то другие корни этих уравнений удовлетворяют уравнению $2 x +cx+ ab= 0$ .

Показать доказательство

Пусть $x ,x 1 2$ — корни $x2+ax +bc= 0,$ а $x ,x 1 3$ — корни $x2 +bx+ ca.$ Подставим $x 1$ в уравнения, тогда, так как он общий, получится:

2 2 x1+ax1+ bc= x1 +bx1+ ca

$x2 1$ взаимно уничтожается, перебрасываем все слагаемые с $x 1$ влево, остальное — вправо и выносим общие множители, получается:

(a− b)x1 = (a− b)c

Так как $a$ и $b$ по условию различны, то $a − b⁄= 0,$ следовательно, можно поделить на $a− b,$ откуда получим, что $x1 = c.$ Тогда из теоремы Виета $x1x2 =bc$ и $x1x3 =ca.$ Так как $c⁄=0$ по условию, разделим на $c= x1$ каждое уравнение. Получаем, что $x2 = b$ и $x = a. 3$

Помимо этого, по теореме Виета: $x +x = −a, 1 2$ то есть $c= x = −a− x = −a− b= −(a+b). 1 2$ Но $− (x + x)= −(a+ b)=− c. 2 3$ Тогда по обратной теореме Виета $x 2$ и $x 3$ — корни $x2+ cx +ab= 0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#83310

На графике приведенного квадратного трехчлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целочисленными координатами. Найти расстояние между этими точками, если известно, что оно выражается целым числом, а дискриминант квадратного трёхчлена равен 9.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Формула подсчёта расстояния между двумя данными точками использует квадрат этого расстояния. Тогда что мы можем сказать про квадрат числа, если корень из него — целочисленное значение?

Подсказка 2

Выражение квадрата расстояния содержит сразу и абсциссы, и ординаты наших точек, это очень много переменных, вот бы оставить что-то одно из этого. Откуда же тогда можно получить y₁ - y₂ и x₁ - x₂ в одном выражении (где x₁, x₂, y₁, y₂ — абсциссы и ординаты данных точек соответственно)?

Подсказка 3

Тогда квадрат расстояния — это (x₁ - x₂)2(1 + k²), где k — некоторое выражение, записанное сейчас одной переменной для удобства. Имеется выражение «квадрат = 1 + квадрат», но много ли квадратов целых чисел отличаются на 1? Какой вывод можно сделать об абсциссах данных точек и о вершине параболы?

Подсказка 4

Осталось ещё одно условие в задаче, про дискриминант. Если изначальный квадратный трёхчлен равен y = x² + bx + с. В дискриминанте задействованы b и c, а в предыдущем найденном факте мы упоминали вершину, что их связывает? Конечно же b! А после можно будет сделать вывод на чётность x₁ - x₂.

Показать ответ и решение

Пусть $(x ,y ),(x ,y ) 1 1 2 2$ — эти точки, а $y =x2 +bx+ c$ — трёхчлен. Тогда справедливы равенства $y = x2+ bx + c 1 1 1$ и $y = x2 +bx + c 2 2 2$ . Если вычесть из первого второе, то получим $y1− y2 =(x1− x2)(x1 +x2+ b)$ , то есть $y1− y2$ делится на $x1− x2$ (для удобства запишем $y1− y2 = k(x1− x2)$ ).

Квадрат расстояния равен

2 2 2 2 (y1− y2) + (x1− x2) =(x1− x2) (1 +k )

Поскольку множитель $(x − x )2 1 2$ — квадрат, то и $1+ k2$ должен быть квадратом. Заметим, что квадраты целых чисел могут отличаться на $1$ только если эти числа — $1$ и $0$ . Значит, $k =0 =x + x + b 1 2$ , откуда $y − y =0 1 2$ . То есть абсциссы выбранных точек симметричны относительно абсциссы вершины параболы.

Поскольку $2 b − 4c$ равен 9, то $b$ нечётное. Таким образом, абсцисса вершины параболы является полуцелым числом (рациональная дробь со знаменателем $2$ ), а значит, абсциссы $x1$ и $x2$ разной чётности, то есть расстояние — любое положительное нечётное число.

Ответ: Это может быть любое положительное нечётное число.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#79333

На доске написаны $100$ чисел из интервала $(0,1).$ Разрешается выбрать два числа $a$ и $b$ и заменить их на два различных корня квадратного трехчлена $2 x − ax+b$ (если этот трехчлен имеет два различных корня). Докажите, что этот процесс не может продолжаться бесконечно долго.

Показать доказательство

Решение 1. Сначала докажем, что все числа на доске всегда будут принадлежать интервалу $(0,1).$ Для этого достаточно проверить, что корни трехчлена вида $2 x − ax+ b,$ где $a,b∈ (0,1),$ тоже принадлежат интервалу $(0,1).$ Пусть $x1$ и $x2$ — эти корни, тогда $x1x2 =b >0,$ поэтому $x1$ и $x2$ числа одного знака. При этом $x1+ x2 =a >0,$ поэтому $x1$ и $x2$ положительны. Кроме того, $x1+x2 =a <1,$ поэтому $x1$ и $x2$ меньше $1.$ Таким образом, $x1$ и $x2$ тоже принадлежат интервалу $(0,1).$

Рассмотрим сумму обратных величин к числам на доске и исследуем, как она изменяется при указанных операциях. Заменяя пару чисел $a$ и $b$ на корни $x1$ и $x2$ трехчлена $2 x − ax+ b,$ мы заменяем в этой сумме слагаемое $1 1 S = a + b$ на

1 1 x + x a S′ = x1 + x2 =-1x1x22= b

Так как $a$ и $b$ —- числа из интервала $(0,1),$ имеем $1b > ab$ и $1a > 1,$ откуда

S− S′ = 1+ 1 − a > 1 >1 a b b a

Таким образом, рассматриваемая сумма обратных величин на каждом шагу уменьшается более чем на $1.$ Поскольку она останется положительной, такое уменьшение не может происходить бесконечно много раз. Точнее, количество действий не может быть больше, чем $[S0],$ где $S0$ — сумма обратных величин исходных чисел, а квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Решение 2. Как и в первом решении, отметим, что все числа на доске всегда принадлежат интервалу $(0,1).$ Кроме того, заметим, что корни трехчлена $x2 − ax+ b,$ где $a,b∈ (0,1).$ лежат между числами $a$ и $b$ на числовой оси. Действительно, из равенства $x1+ x2 = a$ и ранее доказанной положительности корней следует, что $x1 <a$ и $x2 < a.$ А из равенства $x1x2 = b$ и ранее доказанных неравенств $x1 < 1$ и $x2 < 1$ следует, что $b< x1$ и $b <x2$ . Таким образом, если у трехчлена $x2− ax+ b$ есть два корня, то $b <a$ и корни лежат в интервале $(b,a).$ Следовательно, минимум из чисел на доске не уменьшается, значит, все числа будут не меньше некоторого положительного числа $c$ (равного минимуму из исходных чисел).

Теперь исследуем, как изменится сумма всех чисел на доске. При замене чисел $a$ и $b$ на корни трехчлена $2 x − ax+ b$ из этой суммы вычитается $b.$ Действительно, исходные числа вносили в сумму вклад $a+ b,$ а заменившие их корни $x1$ и $x2−$ вклад $x1+x2 =a.$ Таким образом, сумма всех чисел на каждом шаге уменьшается на величину, не меньшую, фиксированного положительного числа $c.$ Поскольку сумма всегда остается положительной и в начале она не превосходит $100,$ таких действий будет не больше, чем $[100∕c],$ где квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#78817

Учитель написал на доске квадратный трёхчлен $x2+ 10x+ 20.$ Затем каждый ученик по очереди увеличивал или уменьшал на единицу по своему выбору либо коэффициент при $x,$ либо свободный член. В результате получился трёхчлен $2 x + 20x +10.$ Верно ли, что в некоторый момент на доске был написан квадратный трёхчлен с целыми корнями?

Показать ответ и решение

Заметим, что при каждом изменении трехчлена его значение в точке $x =− 1$ изменяется на $1$ (в ту или другую сторону). Значение первого трехчлена

2 f(x)= x + 10x+20

в этой точке равно $f(−1)= 11,$ а последнего,

2 g(x)= x + 20x +10

— $g(−1)= −9.$ Поэтому в какой-то промежуточный момент на доске был написан трехчлен

h(x)= x2+ px+q

для которого $h(− 1) =0.$ Оба его корня — целые числа: один равен $− 1,$ другой по теореме Виета равен $− q.$

Ответ:

Да

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#76650

Квадратный трёхчлен $x2− px+ q$ с натуральными коэффициентами имеет два корня. Оказалось, что если $q$ уменьшить на $30%$ , то разность его корней увеличится в 5 раз. Найдите такой трёхчлен с наименьшей возможной суммой корней.

Источники: ЮМШ-2023, 11 класс, отборочный тур (см. yumsh.ru) | ЮМШ-23/24, 11 класс, 1 отборочный тур (см. yumsh.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним, как мы находим корни в приведённом квадратном уравнении! А как можно выразить разность корней?

Подсказка 2

Да, корни находим через обычную формулу с дискриминантом. Тогда разность корней, это просто корень из дискриминанта нашего уравнения! Остаётся составить уравнение, в котором будет отражаться условие задачи!

Подсказка 3

Верно, из условия мы получаем, что 20p² = 81q. Остаётся найти минимальные p и q

Показать ответ и решение

По формуле корней квадратного уравнения имеем: $x = p±√p2−4q. 1,2 2$ Следовательно, $x − x = ∘p2-− 4q. 2 1$ После уменьшения $q$ на $30%$ разность корней станет равна $∘ 2---(7--) p − 4 10q.$ Следовательно, при условии, что $2 p − 4q ≥ 0,$ получаем

∘ ------ ∘ ------- 5 p2− 4q = p2− 14q ⇐⇒ p2 = 81q > 4q ⇐ ⇒ 4⋅5⋅p2 = 34 ⋅q. 5 20

По теореме Виета сумма корней квадратного трёхчлена $x2− px+ q$ равна $p.$ Наименьшее натуральное $p,$ удовлетворяющее равенству $4⋅5⋅p2 = 34⋅q,$ это $32 =9,$ так как $p2$ должно делиться на $34.$ Тогда $q = 20.$

Ответ:

$x2− 9x+ 20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#76189

Дед Мороз нарисовал на снегу две окружности с радиусами $2023$ и $r> 2023$ , которые касаются друг друга и ветвей параболы $y = x2$ . Найдите $r.$

Показать ответ и решение

Первое решение.

Посмотрим при каких условиях окружность касается параболы. Пусть есть окружность радиуса $R1$ с центром в точке $A$ , $B$ — точка касания окружности и параболы. Проведем касательную $BE$ . Тогда $∘ ∠ABE = 90$ .

$PIC$

Проведем через точку $B$ прямую, параллельную оси $Ox$ ( $C$ — точка пересечения прямой и оси $Oy$ ). Тогда $∠CBA +∠EBC1 = 90∘$ . Значит, $tg∠EBC1 = ctg∠ABC$ , но $tg∠EBC1 = 2x1$ , так как $EB$ — касательная $y = x2$ в точке $x1$ .

Значит, $CB 1 AC-= 2x1 ⇒ AC = 2$ . Тогда по теореме Пифагора получаем, что $1 R21 = x21 +4$ .

Теперь рассмотрим случай с двумя окружностями

$PIC$

Пусть $CB =x1$ и $C1B1 = x2$ . Тогда

R2= x2+ 1 1 1 4

2 2 1 R2 = x2+ 4

R22− R21 = x22− x21 (1)

Также знаем, что

2 2 R2 +R1 =CC1 = x2− x1 (2)

Из (1) и (2) получаем

R2 − R1 = 1⇒ R2 = R1+ 1= 2023+1 =2024

Второе решение.

Пусть $(0,Y)$ — координаты центра первой окружности. Тогда $(0,Y + 2023+ r)$ — координаты центра второй окружности, где $r$ — искомый радиус.

$PIC$

Запишем систему уравнений для первой (1) и второй (2) окружности. Первое уравнение – пересечение окружности и параболы. Второе – условие касания

( |{ x2+ (x2− Y)2 = 20232 |( −-21-- = 2 x − Y

(|{ 2 1 Y =20231+ 4 |( x2 = Y − 2

( ||{ x2+ (x2− (Y + 2023+ r))2 = r2 | −----------1----------= 2 |( x2− (20232+ 1+ 2023+ r) 4

({x2+ (x2− (Y +2023+ r))2 = r2 ( 2 1 x =− 2 + (Y + 2023+ r)

Получаем, что $2 2 2023 + 2023 +r= r ⇒ r1 = −2023$ и $r2 = 2024$ . Так как $r≥ 0$ , то нам подходит только $r2 = 2024.$

Ответ: 2024

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#80497

Известно, что $5a+ 2b +5c= 0$ . Докажите, что у уравнения $ax3+bx+ c= 0$ на интервале $(0,2)$ есть хотя бы один корень.

Показать доказательство

Пусть $f(x)=ax3+ bx+ c$ . Рассмотрим $f(2)= 8a+ 2b+ c$ , $f(1)= a+ b+ c$ и $f(0)=c$ . Если среди них есть 2 числа разных знаков, то между 0 и 2 есть корень. Аналогично, если одно из них 0, то тоже все хорошо. Попробуем найти такие $k0,k1$ и $k2$ , что $k0f(0)+ k1f(1)+ k2f(2)=5a+ 2b+5c= 0$ . Раскрываем скобки и получаем

(k1+8k2)a +(k1+ 2k2)b+(k1+k2+ k0)c =5a+ 2b+5c= 0

Значит $k + 8k = 5 1 2$ , $k + 2k = 2 1 2$ и $k + k + k =5 2 1 0$ . Отсюда $k = 1 2 2$ , $k =1 1$ и $k = 31 0 2$ . Значит $1f(2)+ f(1)+ 7f(0) =0 2 2$ и либо все значения равны 0, либо есть 2 значения с разными знаками.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#78818

Для какого наименьшего натурального числа $a$ существуют целые числа $b$ и $c$ такие, что квадратный трёхчлен $ax2+bx+ c$ имеет два различных положительных корня, не превосходящих $-1- 1000?$

Показать ответ и решение

Первое решение. Докажем, что $a≥ 1001000.$ Заметим, что если $y$ —корень трёхчлена $ax2+bx+ c,$ то $1∕y$ —корень трёхчлена $2 cx + bx +a.$ Поэтому в задаче нужно найти наименьшее натуральное $a,$ для которого корни $x1$ и $x2$ некоторого трёхчлена $2 cx + bx +a$ (с целыми $b$ и $c$ ) больше $1000.$ Поскольку $x1$ и $x2$ положительны и $x1x2 =a∕c$ (по теореме Виета), имеем $c> 0.$

Если $c= 1,$ то $√ 2----- |x1− x2|= b − 4a≥ 1.$ Поскольку меньший корень не меньше $1000,$ больший корень не меньше $1001,$ а тогда $a= x1x2 ≥ 1001 ⋅1000.$ Если же $c≥2,$ то $a =cx1x2 ≥ 2x1x2 > 2000000.$ В обоих случаях требуемая оценка доказана.

Осталось заметить, что трёхчлен $2 x − (1000+ 1001)x +1001⋅1000$ имеет корни $1000$ и $1001,$ поэтому $a= 1001000$ подходит.

Второе решение. Положим для краткости $n =1000.$ Пусть $x1$ и $x2$ — два различных корня трёхчлена $f(x)= ax2+ bx +c,$ причём $0 <x1 < x2 ≤ 1n.$ Тогда число $b= −a(x1+x2)$ отрицательно, а число $c=ax1x2$ положительно. Более того, имеем $−ab= x1+ x2 < 2n,$ откуда $a> − nb2 .$

Поскольку корни различны, дискриминант $D = b2− 4ac$ положителен. Следовательно, $b2 > 4ac> −2nbc$ и, значит, $− b> 2nc.$ Поэтому $a> (−b)⋅ n2 > 2nc⋅ n2 = n2.c$ Пусть $a= n2c+d,$ где $d$ — натуральное число.

Предположим, что $a< n2+ n.$ Тогда $c= 1$ и $d< n.$ Стало быть,

( ) 0≤ f 1 = -a2 + b+ c= d2 + b +2 <-1+ b+ 2 n n n n n n n

и, значит, $− b< 2n+ 1.$ Следовательно, $− b≤ 2n$ и

D =b2− 4ac≤4n2− 4(n2+d)= −4d <0

Это противоречие показывает, что $d≥ n.$

Если же $a =n2+ n,$ то при $b=− 2n − 1$ и $c= 1$ трёхчлен имеет корни $x1 = n+11-$ и $x2 = 1n.$

Ответ:

$a =1001000$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#74600

Датчик случайных чисел за одно действие уменьшает или увеличивает на 1 коэффициент перед $x$ или свободный член в квадратном трёхчлене. После некоторого числа таких операций он преобразовал трёхчлен $2 x − 20x+22$ в трехчлен $2 x − 202x +2$ . Верно ли, что среди полученных в процессе квадратных трёхчленов есть такой, у которого целые корни? Ответ обоснуйте.

Источники: Звезда - 2022 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Следить сразу за двумя целыми корнями как-то сложновато. Давайте для начала попробуем доказать, что в какой-то момент будет один целый корень. Может возьмем какой-нибудь конкретный?

Подсказка 2

А чего мелочится, давайте посмотрим на 1! Если у нашего трехчлена есть корень 1, то сумма его коэффициентов равна 0. Как меняется сумма наших коэффициентов после одной операции?

Подсказка 3

Верно, она меняется на 1! Изначально сумма была 3, а в конце -199. Значит в какой-то момент она станет равной 0. Итак, в какой-то момент у нашего трехчлена будет корень 1. Докажите, что тогда у него есть второй целый корень (возможно кратный)!

Показать ответ и решение

Давайте попробуем доказать, что в какой-то момент у квадратного трёхчлена будут целые корни. Для этого угадаем один из них. Если сумма коэффициентов многочлена равна 0, то есть корень $x =1.$ У начального многочлена $2 f1(x)= x − 20x+ 22$ сумма коэффициентов равна 3, а у конечного $2 f2(x)=x − 202x +2$ сумма коэффициентов равна -199, при этом за одно действие ровно один из коэффициентов меняется на 1, значит, сумма коэффициентов меняется на 1. Но если она была положительной, а потом стала отрицательной, то в какой-то момент обязательно была равна 0. То есть в какой-то момент у нас был трёхчлен $2 f(x)= x +bx+ c$ , один из корней которого равен 1! А по теореме Виета второй корень равен $c$ — тоже целому числу $=⇒$ у трёхчлена 2 целых корня!

Ответ: да

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#74588

Известно, что

3b> 9a +c> 0

Докажите, что

b2 > 4ac

Источники: Звезда - 2022 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте внимательно посмотрим на неравенство, которое нужно доказать. Где такое выражение чаще всего встречается? Попробуйте подумать в этом направлении.

Подсказка 2

Верно, это дискриминант квадратного трёхчлена с нужными коэффициентами. Тогда давайте рассмотрим трёхчлен ax^2 + bx +c. Как теперь можно переформулировать нашу задачу?

Подсказка 3

Ага, когда наше неравенство будет выполняться, многочлен будет иметь два корня. Тогда нужно просто проанализировать знаки трёхчлена в хороших точках. Какие это могут быть точки, учитывая неравенства, данные по условию?

Подсказка 4

Верно, попробуйте подставить точки 3 и -3 и посмотреть на знаки трёхчлена. Но не забудьте ещё проверить a=0, потому что в этом случае у вас не квадратный трёхчлен. В таком решении это важно.

Показать доказательство

Первое решение.

9a +c 2 (9a+ c)2 3b> 9a+ c> 0 ⇐⇒ b> -3--->0 =⇒ b > ---9---

Чтобы доказать $2 b > 4ac,$ хочется доказать $(9a+c)2 --9--≥ 4ac.$ Преобразуем это неравенство:

81a2 +18ac+c2 ≥ 36ac

2 2 81a − 18ac+c ≥ 0

(9a− c)2 ≥0

Верно, поэтому было верным и

2 b2 > (9a-+c)-≥ 4ac 9

Значит, $b2 >4ac.$

Второе решение.

Нам нужно доказать, что $b2− 4ac> 0,$ а это очень напоминает дискриминант, поэтому давайте придумаем квадратный трёхчлен с таким дискриминантом и докажем, что он имеет 2 корня. Очевидно, подходит $f(x)= ax2+bx+ c.$ Всегда ли мы можем рассматривать его дискриминант? Нет, в случае $a =0$ никакого дискриминанта нет, поэтому его надо рассмотреть отдельно — благо, тут всё просто и понятно, $3b> 0 =⇒ b2 > 0,$ а $4ac= 0,$ значит, $b2 >0 =4ac.$

Теперь рассмотрим случай, когда $a ⁄=0.$ В неравенстве из условия было $3b,$ поэтому давайте попробуем подставить 3 и -3.

f(3)= 9a+ 3b+c> 0, так как 3b> 0 и 9a+c >0

f(−3)= 9a − 3b+ c< 0, так как 3b>9a+ c

То есть квадратный трёхчлен принимает положительные и отрицательные значения, а значит, он имеет 2 корня! И его $D = b2 − 4ac> 0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#70480

Можно ли на параболе $y = x2$ отметить точки $A,B,C,D,$ а на параболе $y = 2x2$ — точки $E,F,G,H$ так, чтобы выпуклые четырехугольники $ABCD$ и $EFGH$ оказались равными?

Источники: СпбОШ - 2022, задача 11.1(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что нужно сказать про эту задачу - это то, что на самом деле эта задача на конструктив, но при этом не как конкретный пример, который чем-то единственным образом задан, а просто приведение какого-то непонятного примера. Подумайте над тем, что будет, если два «вписанных» в параболу четырехугольника равны. А как тогда построить такой четырехугольник?

Подсказка 2

Верно, если они равны, то они совпадают наложением, а значит мы можем так повернуть параболы, что четырехугольник будет «вписан» в обе параболы. А как теперь самим построить пример?

Подсказка 3

Верно, мы можем взять две параболы так, чтобы они пересекались в 4 точках, и тогда четырехугольник, образованный точками пересечения будет нам подходить!

Показать ответ и решение

Достаточно расположить эти параболы на плоскости так, чтобы они пересекались в четырёх точках. Эти четыре точки взять в качестве $A,B,C,D$ и одновременно $E,F,G,H.$ Одинаковые четырёхугольники являются равными.

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#39797

Многочлен $x2+ ax+b+ 1$ с целыми коэффициентами имеет два натуральных корня. Докажите, что число $a2 +b2$ — составное.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) У нас есть некоторое уравнение и нужно что-то доказать про его коэффиценты. Это как раз та ситуация, когда хорошо использовать теорему Виета. Только не хватает корней! Пусть корни это x1 и x2

Подсказка 2!

2) Ну а теперь по теореме Виета попробуем выразить a^2+b^2 через корни!

Показать ответ и решение

Пусть эти корни $x 1$ и $x 2$ . Тогда по теореме Виета $x + x = −a 1 2$ и $x x =b+ 1 12$ . Отсюда

2 2 2 2 2 2 22 2 2 a + b = (x1+ x2)+ (x1x2− 1) =x1+ x2+ x1x2 +1= (x1+1)(x2 +1)

Поскольку $x1$ и $x2$ натуральные, то обе скобки натуральные и больше единицы. Тогда $a2+ b2$ — составное.

Ответ:

что и требовалось доказать

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#31278

Даны вещественные числа $A,B,C,D$ . Известно, что модули всех корней уравнений $x2+ Ax+ B = 0,x2+Cx + D= 0$ меньше единицы. Докажите, что модули корней уравнения $2 x +1∕2(A + C)x+1∕2(B + D)= 0$ также меньше единицы.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что третье уравнение это полусумма первого и второго.

Подсказка 2

Сформулируем условие так: функции x^2 + Ax + B и x^2 + Cx + D положительны вне интервала (-1; 1).

Подсказка 3

Их полусумма вне интервала (-1; 1) также будет принимать только положительные значения. Тогда какими по модулю могут быть корни? (если они есть)

Показать доказательство

Заметим, что все три уравнения задают параболу, ветви которой направлены вверх. Раз корни $f(x)= x2+Ax +B$ и $g(x)= x2+ Cx+ D$ лежат на интервале $(−1,1)$ , то при $|x|≥ 1$ выполнено $f(x)> 0$ и $g(x)> 0$ , но тогда $2 h(x)= x +(A +C)∕2x+ (C +D )∕2 =(f(x)+ g(x))∕2$ также принимает положительные значения при $|x|≥1$ , поэтому если у него есть корни, то они лежат на $(−1,1)$ .