Решение 1. Сначала докажем, что все числа на доске всегда будут принадлежать интервалу Для этого достаточно проверить, что корни трехчлена вида где тоже принадлежат интервалу Пусть и — эти корни, тогда поэтому и числа одного знака. При этом поэтому и положительны. Кроме того, поэтому и меньше Таким образом, и тоже принадлежат интервалу

Рассмотрим сумму обратных величин к числам на доске и исследуем, как она изменяется при указанных операциях. Заменяя пару чисел и на корни и трехчлена мы заменяем в этой сумме слагаемое на

Так как и —- числа из интервала имеем и откуда

Таким образом, рассматриваемая сумма обратных величин на каждом шагу уменьшается более чем на Поскольку она останется положительной, такое уменьшение не может происходить бесконечно много раз. Точнее, количество действий не может быть больше, чем где — сумма обратных величин исходных чисел, а квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Решение 2. Как и в первом решении, отметим, что все числа на доске всегда принадлежат интервалу Кроме того, заметим, что корни трехчлена где лежат между числами и на числовой оси. Действительно, из равенства и ранее доказанной положительности корней следует, что и А из равенства и ранее доказанных неравенств и следует, что и . Таким образом, если у трехчлена есть два корня, то и корни лежат в интервале Следовательно, минимум из чисел на доске не уменьшается, значит, все числа будут не меньше некоторого положительного числа (равного минимуму из исходных чисел).

Теперь исследуем, как изменится сумма всех чисел на доске. При замене чисел и на корни трехчлена из этой суммы вычитается Действительно, исходные числа вносили в сумму вклад а заменившие их корни и вклад Таким образом, сумма всех чисел на каждом шаге уменьшается на величину, не меньшую, фиксированного положительного числа Поскольку сумма всегда остается положительной и в начале она не превосходит таких действий будет не больше, чем где квадратные скобки обозначают целую часть числа.