Первое решение. Докажем, что Заметим, что если —корень трёхчлена то —корень трёхчлена Поэтому в задаче нужно найти наименьшее натуральное для которого корни и некоторого трёхчлена (с целыми и ) больше Поскольку и положительны и (по теореме Виета), имеем

Если то Поскольку меньший корень не меньше больший корень не меньше а тогда Если же то В обоих случаях требуемая оценка доказана.

Осталось заметить, что трёхчлен имеет корни и поэтому подходит.

Второе решение. Положим для краткости Пусть и — два различных корня трёхчлена причём Тогда число отрицательно, а число положительно. Более того, имеем откуда

Поскольку корни различны, дискриминант положителен. Следовательно, и, значит, Поэтому Пусть где — натуральное число.

Предположим, что Тогда и Стало быть,

и, значит, Следовательно, и

Это противоречие показывает, что

Если же то при и трёхчлен имеет корни и