Последовательности и прогрессии —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Последовательности и прогрессии

Тема АЛГЕБРА

Последовательности и прогрессии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Разделы подтемы Последовательности и прогрессии

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Комбинация арифметической и геометрической прогрессий

Рекуррентные соотношения

Периодичность и зацикливание

Последовательности нестандартного вида

Подтемы раздела алгебра

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88528

Четвёртый член арифметической прогрессии равен половине второго, который на 36 больше, чем третий член некоторой геометрической прогрессии. Найдите первый член арифметической прогрессии, если он вдвое больше первого члена геометрической прогрессии и впятеро больше второго члена геометрической прогрессии.

Показать ответ и решение

Пусть $a$ и $d$ — это первый член арифметической прогрессии и её разность соответственно, а $b$ и $q$ — это первый член геометрической прогрессии и её знаменатель соответственно. Тогда условия задачи можно переписать в виде системы

( a+ d ||||| a+ 3d= --2- |||{ a+ d= bq2+36 | ||||| a =2b ||( a =5bq

Заметим, что $b⁄= 0,$ иначе $a =0$ в силу третьего и четвертого уравнений системы, тогда из второго уравнения получим, что $d =36.$ Подставив эти значения в первое уравнение, получим $3⋅36= 18,$ противоречие. Значит, из третьего и четвертого уравнений системы, можно найти $q$

2b= 5bq =⇒ q = 2 5

Подставим $b= a 2$ и $q = 2 5$ в первые два уравнения системы, получим систему

(| a+-d |{ a+ 3d= 2 ||( a 4- a+ d= 2 ⋅25 +36

(|{ 5d =− a |( d= − 23a+ 36 25

Следовательно,

− a= − 23a +36 5 25

18a =36 25

a= 50

Ответ:

$50$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88526

Сумма трёх первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему прибавить 1, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#87811

Найдите бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, если ее сумма равна $3$ , а сумма квадратов её членов равна $4,5$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, что все члены и сумма бесконечной геометрической прогрессии выражаются через две величины. Вспомним, какие это две величины и попробуем выразить через них то, что нам дано в задаче.

Подсказка 2

Итак, первое условие дает нам одно уравнение на b1 (первый член) и q (знаменатель), а второе уравнение — второе условие на них же, ведь знаменатель и первый член для прогрессии из квадратов выражаются через b1 и q. Останется решить систему из двух уравнений и получить b1 и q!

Подсказка 3

Для решения системы можно исключить из одного из уравнения b1, найти q, а дальше подстановкой найти b1, уже зная q.

Показать доказательство

Пусть первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен $b , 1$ а знаменатель — $q.$ По условию сумма прогрессии равна $3,$ тогда по формуле суммы:

b1 1−-q = 3

Если рассмотреть квадраты элементов этой прогрессии, то они будут образовывать геометрическую прогрессию с первым членом $b21$ и знаменателем $q2.$ По условию сумма новой прогрессии равна $4.5.$ Тогда:

2 --b1-2 = 4.5 1− q

Решим систему:

({ -b1 =3, ( 1−qb21--- (1−q)(1+q) = 4.5

Подставим первое уравнение во второе:

{ b1-= 3, 1−qb1- 3 ⋅1+q = 4.5

Далее поделим первое уравнение на второе ( $b ⁄= 0 1$ )

{ 1+q-= 2, 1−bq1-= 1.5 1+q

В итоге, из первого равенства получим $q = 1, 3$ а из второго $b1 = 1.5(1 +q)= 2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#87807

Представьте в виде обыкновенной дроби число $0,3(24)$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте как-то попробуем избавиться от периодичности. Что для этого можно сделать?

Подсказка 2

Попробуем получить два числа, которые легко получаются из исходного и при этом их разность не будет периодичной.

Подсказка 3

Домножим наше число на 1000 и на 10. Что получим?

Подсказка 4

Будут два числа с одинаковым периодом! То есть их разность легко считается.

Подсказка 5

Мы пришли к уравнению 990x = 321, где x — исходное число.

Показать ответ и решение

Обозначим число $0,3(24)$ за $x.$ Тогда домножая число на $10$ и на $1000,$ получим:

1000x= 324,(24) 10x= 3,(24) ---------------- 990x= 321

Из последнего равенства находим представление в виде обыкновенной дроби:

321 107 x= 990 = 330

Ответ:

$107 330$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#87532

Коэффициенты многочлена степени $n> 2024$

n n−1 Pn(x)= anx + an−1x + ...+ a1x +a0,

взятые в том же порядке (начиная со старшей степени), образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q$ $(q ⁄= 0,±1 ).$ Выясните, может ли $Pn(x)$ иметь только один корень.

Если может, укажите минимальную степень (из диапазона выше), при которой это возможно, и выразите корень через $a 0$ и $q$ . Если нет, укажите минимально возможное количество корней при любом $n> 2024.$

Показать ответ и решение

Заметим, что $a ⁄= 0 n$ и $a ⁄=0, 0$ следовательно $a = a qn ⁄= 0. 0 n$ Значит, $x= 0$ не является корнем.

Поймём, что одночлены (начиная со старшего) в многочлене образуют геометрическую прогрессию с знаменателем $q x.$ Значит, многочлен может быть представлен как сумма первых $n+ 1$ члена данной прогрессии. Заметим, что если $x= q,$ то

n n−1 n n n Pn(q)= anq +an−1q + ...+a1q+ a0 = an = a◟nq-+anq◝+◜-...+-anq◞ n+1раз

n n Pn(q)= anq (n +1)⁄= 0, т.к. a ⁄= 0,q ⁄=0

Значит, $x= q$ не корень. Поэтому дальше будем считать $x ⁄=q$ и запишем следующее

anxn((q)n+1− 1) Pn(x)= anxn +an−1xn−1+ ...+ a1x+ a0 =------xq-------- x − 1

Выразим корни с учётом $x⁄= 0$ и $an ⁄= 0$

anxn((q)n+1 − 1) -----qx--------=0 x − 1

( ) ( q n+1− 1= 0 x

xn+1 = qn+1

Если $n+ 1$ нечётно, тогда $x =q,$ чего быть не может, а если $n+ 1$ чётно, тогда $x= ±q,$ а в силу ограничений получаем $x= −q.$ Это и будет единственным корнем.

Теперь найдём минимальное $n.$ Из условий $n > 2024$ и $n+ 1$ чётно получаем, что $n= 2025$ подходит.

Ответ:

может при $n = 2025 min$ , корень равен $− q$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#85565

Последовательность многочленов $P(x),P (x),... 0 1$ задана условиями $P (x)= x,P (x)= P (x− 1)P (x+ 1) 0 n n− 1 n−1$ при $n≥ 1.$ Найдите наибольшее число $k,$ для которого $P100(x)$ делится на $k x .$

Показать ответ и решение

Заметим, что $k$ совпадает с кратностью корня $x =0.$ Каждый из данных корней был получен из корня $1$ или $− 1$ у многочлена $P99(x),$ каждый из которых в свою очередь появился из корня $− 2,0,$ или $2$ у многочлена $P99(x),$ и так далее. В итоге получим, что каждому корню $0$ многочлена $P100(x)$ соответствует последовательность из $101$ числа $0,...,0,$ в которой каждые два соседних числа отличаются на $1.$ Причем каждой такой последовательности соответствует корень $0$ многочлена $P100(x).$ Тогда $k$ равно количеству таких последовательностей. Будем идти по последовательности слева направо. При переходе к следующему члену последовательности мы либо прибавляем к предыдущему члену $1,$ либо вычитаем, причем прибавлений и вычитаний поровну. В итоге получаем ответ $50 k =C100.$

Ответ:

$C50 100$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#85558

Последовательность натуральных чисел $a,a ,a ,... 0 1 2$ определяется следующими соотношениями:

a0 = 1

a =kn +(−1)na , n n−1

где $k$ — фиксированное натуральное число.

Сколько существует таких последовательностей, в которых встречается число 2024?

Источники: Курчатов - 2024, 11.1 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Дана формула для вычисления членов последовательности, но она выглядит сложно, попробуйте явно выразить первые члены, может быть увидите какую-то закономерность.

Подсказка 2

Видно, что каждый член с номером, дающим остаток 3 при делении на 4, равен 1. Тогда попробуйте выразить формулы и доказать их справедливость для членов с номерами 4m, 4m+1, 4m+2 и 4m+3, где m — целое неотрицательное число.

Подсказка 3

Все члены с номерами вида 4m имеют вид 4mk+1, с номерами 4m+1 — k-1, с номерами 4m+2 — (4m+3)k-1, с номерами 4m+1 — 1. Доказывать эти формулы очень удобно по индукции, ведь по условию дано соотношение, где последующий член выражается через предыдущий.

Подсказка 4

Теперь, используя полученные формулы, посмотрите какие члены нашей последовательности могут равняться 2024.

Подсказка 5

Числа с номерами 4m и 4m+3 сразу отпадают из-за нечётности, а с номером 4m+1 даёт только одну последовательность (какую?). Для чисел с номерами 4m+2 получается уравнение в целых числах ((4m+3)k=2025). При решении полученного уравнения количество рассматриваемых случаев можно уменьшить, рассмотрев, какие остатки при делении на 4 дают 4m+3, 2025 и какой тогда остаток при деление на 4 должно иметь k.

Показать ответ и решение

Докажем, что для любого целого $m ≥0$ справедливы следующие формулы:

a = 4mk+ 1, 4m a4m+1 = k− 1, a4m+2 = (4m + 3)k− 1, a4m+3 = 1.

Будем доказывать эти формулы индукцией по $m$ . База $m = 0$ проверяется непосредственно. Предположим, что формулы справедливы для всех чисел, не больших $m − 1$ , и докажем эти формулы для числа $m$ . Поскольку по предположению индукции $a4m−1 = 1$ , последовательно получаем следующие равенства:

a4m = k⋅(4m)+ (−1)4ma4m−1 =4mk +1, a = k(4m +1)+ (− 1)4m+1a = (4km + k)− (4mk+ 1)=k − 1, 4m+1 4m+2 4m a4m+2 = k(4m +2)+ (− 1) a4m+1 = (4km +2k)+ (k − 1)= (4m + 3)k− 1, a4m+3 = k(4m +3)+ (− 1)4m+3a4m+2 = (4km +3k)− (4km +3k − 1)= 1.

Таким образом, наши формулы доказаны. Теперь, используя эти формулы, посмотрим, какие члены нашей последовательности могут равняться 2024. Ясно, что числа вида $a4m$ и $a4m+3$ не могут равняться 2024: числа вида $a4m$ нечётны, а числа вида $a4m+3$ равны 1 . Далее, числа вида $a4m+1$ могут равняться 2024 только при $k =2025$ , что дает нам один пример последовательности.

Наконец, предположим, что для некоторого целого неотрицательного $m$ число $a4m+2$ равно 2024 . Мы получаем следующее уравнение: $(4m+ 3)k= 2025$ . Заметим, что сомножитель $4m + 3$ дает остаток 3 при делении на 4 , а число 2025 дает остаток 1 при делении на 4. Значит, число $k$ , во-первых, должно быть делителем числа 2025 , а во-вторых, должно иметь остаток 3 при делении на 4 (т.к. $3⋅3≡ 1(mod4)$ ). Поскольку $2025 =34⋅52$ , число $k$ имеет вид $3α⋅5β$ , где $α∈ {0,1,2,3,4}$ и $β ∈{0,1,2}$ . Для того, чтобы число $k$ такого вида давало бы остаток 3 при делении на 4 , необходимо и достаточно, чтобы степень $α$ была бы нечетной (поскольку $5 ≡1(mod4)$ и $3α ≡ 4(−1)α(mod4)$ ). Получаем ещё 6 возможных значений $k:3,3⋅5,3⋅52,33,33⋅5,33⋅52$ . Вместе с вариантом $k =2025$ получаем 7 возможных последовательностей.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#85353

Сумма членов конечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и положительным знаменателем равна $40- 27$ , а сумма тех же членов с чередующимися знаками (первый — со знаком «плюс», второй — со знаком «минус» и т.д.) равна $20- 27$ . Найдите знаменатель прогрессии.

Показать ответ и решение

Пусть у нас в прогрессии $k$ членов, а знаменатель равен $q.$ Заметим, что $q ⁄= 1,$ т.к. иначе прогрессия состояла из единиц, а сумма единиц не может быть нецелым числом. Тогда из первого условия получаем

2 k−1 40 1+ q+ q +...+ q = 27

k 1−-q-= 40 1− q 27

А из второго

1− q+q2− q3+...+(−1)k− 1⋅qk−1 = 20 27

1−-(−-q)k 20 1+q =27

Получаем систему

( |||{ 1-− qk = 40- 1− q 27 |||( 1-− (−q)k= 20 1+ q 27

Разберём два случая:

1. Пусть $k$ нечётно, тогда обозначим $k q =t$ и решим получившуюся систему

( 1−-t 40 ||{ 1− q = 27 || 1+-t 20 ( 1+ q = 27

( { 27(1− t)= 40(1− q) ( 27(1+ t)= 20(1+ q)

Сложим два равенства, получим

54 =60− 20q

q =-3 10

Тогда $t =− 1-, 27$ но $t= qk$ при этом $q > 0,$ получаем противоречие, значит, такого случая быть не может

2. Пусть $k$ чётно, тогда обозначим $qk = t$ и решим получившуюся систему

(|| 1−-t= 40 { 1− q 27 ||( 1−-t= 20 1+ q 27

({ 27(1− t)= 40(1− q) ( 27(1− t)= 20(1+ q)

Вычтем из второго равенства первое, получим

0 =− 20 +60q

q = 1 3

Тогда $( ) t =-1 = 1 4. 81 3$ При обратной замене $t=qk$ становиться понятно, что $k =4.$ Данное значение $q$ нам подходит.

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#85034

Первый член арифметической прогрессии меньше 0, сотый не меньше 74, а двухсотый меньше 200. Количество членов прогрессии на интервале $(0,5;5)$ ровно на два меньше, чем на отрезке $[20;24,5]$ . Найдите первый член и разность прогрессии.

Показать ответ и решение

Пусть $a$ первый член арифметической прогрессии, а $d$ —- ее разность. Тогда ее $100$ -й член равен $a+99d$ , а $200$ -й равен $a+ 199d.$

Из условия получаем, что

a <0; a+ 99d≥ 74; a+ 199d< 200;

Если рассмотреть разность второго и первого уравнения, а также третьего и второго, то получим:

99d> 74; 100d< 126;

То есть $7949 < d< 1.26$ . Отсюда, в частности, следует, что последовательность возрастает.

Пусть $x1$ - наибольший член арифметической прогрессии, который находится левее интервала $(0.5;5)$ , т. е. $x1 ≤ 0.5$ . А $x2$ - наименьший элемент арифметической прогрессии, который находится правее интервала $(0.5;5)$ (то есть $x2$ - наименьший член, удовлетворяющий условию $x2 ≥ 5$ ).

Схожим образом определим $y1$ - наименьший член арифметической прогрессии, который находится внутри интервала $[20;24.5]$ , а $y2$ - наибольший элемент арифметической прогрессии, внутри $[20;24.5]$

Так как на отрезке $[20;24.5]$ ровно на $2$ члена прогрессии больше, чем на $(0.5;5)$ , то количество членов прогрессии между $x1$ и $x2$ в точности равно количеству элементов между $y 1$ и $y 2$ . Тогда $x − x = kd= y − y 2 1 2 1$ для некоторого натурального $k$ .

При этом $(x − x )≥ 5− 0.5= 4.5 2 1$ , а $y − y ≤24.5− 20= 4.5 2 1$ . (потому что отрезок $[x ;x] 1 2$ покрывает интервал $(0.5;5)$ , а $[20;24.5]$ покрывает $[y1;y2]$ ). Но тогда $kd= x2− x1 = 4.5= y2− y1$ , а также $x1 = 0.5;$ $x2 = 5;$ $y1 = 20;$ $y2 = 24.5$

Из двух условий:

(| 74 { 99 < d< 1.26 |( d= 4.5,(k ∈ℤ) k

Получаем $257-<k < 891418-$ , то есть $k∈ {4,5,6}$ . Откуда $d ∈{98, 910,34}$

При этом мы знаем, что в прогрессии есть члены $x2 = 5$ и $y1 = 20$ . Тогда $15= y1− x2 = md$ для некоторого целого $m$ . Подставляя найденные выше значения для $d$ , мы получим целое значение $m$ только в случае $d = 3 4$ .

Далее перейдем к поиску $a$ . Из условия на сотый член прогрессии $a+99d≥ 74$ следует, что $1 a≥ −4$ . А также мы знаем, что $a <0$ .

Будем теперь двигаться на $d= 0.75$ влево от $x1 = 0.5$ , из нашей прогрессии, пока не попадем в интервал $1 [− 4;0)$ . Тогда получаем, что в этом интервале находится только член прогрессии, равный $0.5− 0.75=− 0.25$ , тогда $a =− 0.25$ .

Непосредственной подстановкой значений можно убедиться, что $a =− 0.25,d =0.75$ удовлетворяют условиям задачи.

Ответ:

$a =− 0.25,d= 0.75$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#83743

Дана последовательность:

∘ ∘ n ∘ a1 = cos10 ,a2 =cos100,...,an = cos(10) ,...

Найдите наименьшее значение выражения

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx, где x∈ ℝ

Источники: Звезда - 2024, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Даны косинусы углов в градусах. Мы же знаем, что косинус — периодичная функция с периодом 360 градусов. Попробуем заметить что-нибудь, связанное с периодичностью косинуса, про аргументы двух соседних членов последовательности, то есть 10^n и 10^(n+1).

Подсказка 2

После того, как мы поняли, что из себя представляют а_2023 и а_2024, осталось преобразовать выражение с x по известным тригонометрическим формулам. В этот момент уже будет понятно, как искать наименьшее значение, ведь тригонометрические функции принимают ограниченные значения.

Показать ответ и решение

Посмотрим на разность градусных мер углов у соседних членов последовательности:

n n−1 n−1 n−3 n−3 10 − 10 = 10 (10− 1)=9⋅1000⋅10 =360⋅25⋅10

Если $n≥ 3,$ то эта разность делится на 360. Тогда косинусы равны, то есть $a3 =a4 = ...= a2024.$

Преобразуем по известным тригонометрическим формулам:

∘ ∘ ∘ ∘ a2+a2023+ a2024 = cos100 + 2cos1000 =cos100 + 2cos(360 ⋅3− 80)=

= cos(90∘+ 10∘)+ 2cos80∘ =− sin10∘+2 sin10∘ =sin 10∘

Теперь подставим в искомое выражение:

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx =

= cos10∘⋅cosx+ sin10∘⋅sinx= cos(x− 10∘)

Наименьшее значение косинуса, как известно, равно $− 1.$

Ответ:

$− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#82677

Дана последовательность $a n$ : 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, $...$
(одна единица, две двойки, три тройки, четыре четверки и т.д.) и еще одна последовательность $bn$ такая, что $abn =ban$ для всех натуральных $n$ .

Известно, что $bk = 1$ при некотором $k> 100$ . Докажите, что $bm =1$ при всех $m >k$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала давайте поймем что-то про последовательность {a_i}. Как минимум поймем на каких местах у нас стоит число k. Это важно для нас, так как если мы хотим выбрать какое-то конкретное m(и посмотреть откуда же может быть получено противоречие), то нам надо понимать, как связан номер и значение a_m. Как зависит значение от m?

Подсказка 2

Для любых номеров m, которые располагаются между t(t + 1)/2 + 1 и (t + 1)(t + 2)/2, a_m = t + 1. Если от нас требуется доказать, что начиная с какого-то номера у нас b_i = 1, не будем мелочиться и докажем, начиная почти для всех(с какого-то маленького), по индукции. Но давайте, для начала, так сказать, для создания благоприятной обстановки, поймем, как все таки делать индукцию. Ведь переход от n к n + 1 здесь кажется странным. Однако переход от k(k + 1)/2 к (k + 1)(k + 2)/2 выглядит более разумно, ведь мы знаем все значения a_i, для i из этого отрезка.

Подсказка 3

Верно, переход такой нам легко дается, так как a_i из этого промежутка равно t + 1, а значит, это b_(t + 1), но для всех меньших мы доказали. Что осталось написать по этой задаче? Является ли это полным решением?

Показать доказательство

Возьмём число $m : t(t+1)+ 1≤ m ≤ (t+1)(t+2) 2 2$ , заметим, что для любого такого $m$ $a = t+1 m$ , тогда $b = b = a t+1 am bm$ , тогда если $bm =1$ , то $abm =1$ , тогда $bt+1 =1$ , и наоборот.

Значит, $bt+1 = 1 ⇐⇒ bm = 1$ для $t(t+1) (t+1)(t+2) m ∈ [ 2 + 1; 2 ]$

Значит, и $bt+1 ⁄=1 ⇐⇒ bm ⁄= 1$

Если $b3 =1$ , то

2× 3 3× 4 ∀m ∈ [-2-+ 1;-2--]:bm = 1 т.е. b4 = b5 =b6 = 1

Докажем тогда по индукции, что $∀m > 3 bm = 1.$

База уже есть. Переход будем делать от $m ∈ [3;t(t+21)]$ к $m ∈[3;(t+1)2(t+2)].$

Заметим, что $t+ 1< t(t+21)$ при $t>3 ⇒ bt+1 = 1$ , но по предположению индукции $∀m ∈ [t(t+21)+ 1≤ m≤ (t+1)2(t+2)]:bm =1$ , значит,

∀m ≥3 :bm = 1, если b3 = 1

Аналогичными рассуждениями

∀m ≥3 :bm ⁄= 1, если b3 ⁄= 1

Итого т.к. $bk =1$ , $k> 100$ , то $b3 =1$ , а значит, $∀m > 3$ :

bm = 1⇒ ∀m > k bm =1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#82287

Последовательность ${a } n$ задана рекуррентным соотношением

an = an−1 +an−2− an−3+k

и начальными условиями $a0 = a,a2 =a+ d$ . Можно ли по этим данным однозначно восстановить $a2m$ ?

Источники: ИТМО-2024, 11.2 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем немного угадать ответ. Если бы нельзя было восстановить член, то сходу не очень понятно, как решать задачу. Поэтому давайте поверим, что мы найдём этот член, и попробуем сделать это. Что первое хочется сделать, увидев рекуррентную формулу?

Подсказка 2

Верно, попробовать подставить что-то вместо n. Например, взять n-1 и посмотреть, что получится. В задаче же у нас спрашивают про чётный член. Тогда в теории надо как-то избавиться от членов вида n-1 и n-3 в формуле. Посмотрев на формулы для n и n-1, что можно попробовать сделать?

Подсказка 3

Да, давайте сложим две формулы, тогда останутся только члены с номерами n, n-2 и n-4. Теперь, записав полученное выражение как разность членов n, n-2 и n-2, n-4, можем найти формулу для разности 2k и 2(k-1) члена, через суммирование таких выражений. Как же теперь можно найти формулу для 2k-ого члена?

Подсказка 4

Верно, сложим аналогично выражения для всех k от 1 до m. Тогда слагаемые буду сокращаться и мы сможем выразить m-ый член. Победа!

Показать ответ и решение

Перепишем рекуррентную формулу:

an − an−2 =an−1− an−3+k

Записав её для $n − 1$ вместо $n,$ получим

an−1− an−3 = an−2− an−4 +k,

откуда

an− an−2 = an−2− an−4+ 2k

Поскольку $a2− a0 =d,$ то

a2i− a2(i−1) = d+2k(i− 1)

Значит,

m a2m = a+ ∑ (d+2k(i− 1))=a +md + km (m − 1) i=1

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#80755

Найдите все действительные значения $x,$ при каждом из которых существует геометрическая прогрессия, состоящая из действительных чисел и такая, что её четвёртый член равен $∘ 15x+6- (x−3)3,$ десятый член равен $x+ 4,$ а двенадцатый член равен $∘ ------------ (15x+ 6)(x− 3).$

Источники: Физтех - 2024, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если нам даны какие это конкретно члены прогрессии, то давайте просто запишем чему они равны через знаменатель прогрессии и первый член. При этом, хотелось бы в таком случае получить равенство на х, ведь тогда мы получим уравнение на 1 переменную, а не на 3. Какое равенство можно написать, используя 4, 10 и 12 член геометрической прогрессии?

Подсказка 2

К примеру, можно написать вот такое равенство: (bq^9)^4 = (bq^11)^3*(bq^3). Значит, получили уравнение на х, так как и 4, и 10, и 12 член выражены только через х. Осталось преобразовать уравнение к виду (15x + 6)^2 = (x + 4)^4 , разложить на сумму квадратов и получить ответ.

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии это $b,$ а знаменатель прогрессии это $q.$ Тогда запишем систему, исходя из условий задачи

(| ∘ 15x+-6- ||||{ bq3 = (x−-3)3 ||||| bq9 =x∘+4----------- ( bq11 = (15x+ 6)(x− 3)

Заметим, что $(bq9)4 =(bq11)3⋅(bq3).$ Запишем это равенство через $x$ :

∘------- (∘ (15x+-6)(x−-3))3⋅ 15x-+6-= (x +4)4 (x − 3)3

2 4 2 2 (15x+ 6) =(x+ 4) ⇔ (x − 7x+ 10)(x +23x+ 22)=0

Из последнего уравнения получаем следующую совокупность решений

⌊ x= −22— не подходит, так как bq9 и bq11 разных знаков || x= −1 || x= 2— не подходит под ОД З ⌈ x= 5

В итоге, получаем, что $x =− 1$ или $x =5$ .

Ответ:

${−1; 5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#80754

Углы выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию, имеющую разность $2∘$ и начинающуюся с угла $143∘.$ Какое наибольшее число вершин может быть у такого многоугольника?

Источники: Физтех - 2024, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним формулу для подсчета суммы углов у правильного многоугольника и формулу суммы арифметической прогрессии.

Подсказка 2

Приравняв эти суммы, сможем получить квадратное уравнение. Но точно ли все значения этого уравнения подойдут?

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — искомое число вершин. Тогда сумма углов пятиугольника равна $180∘(n− 2).$ С другой стороны эту же сумму можно выразить через сумму арифметической прогрессии, которая равна $∘ n(n−1) ∘ 143 ⋅n+ 2 ⋅2 .$ Приравняем эти суммы и получим следующее уравнение.

∘ ∘ n(n − 1) ∘ 180 ⋅(n − 2)= 143 ⋅n +--2---⋅2

n2− n+ 143n − 180n+ 360= 0

2 n − 38n+ 360= 0

Из последнего уравнения получаем, что $n= 18$ или $n = 20.$ Но $n= 20$ не подходит, так как тогда наибольший угол многоугольника равен $143∘ +2∘⋅19= 181∘,$ что больше $180∘.$

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#79608

Последовательность ( $a n$ ) удовлетворяет условиям

∘ -------- a1 = 1, an+1− an = an+ an+1 при всех n≥ 1.

Какие значения может принимать $a 2023$ ?

Источники: ОММО - 2024, задача 10 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала возведём в квадрат и посмотрим, что же у нас получается после приведения подобных. Во-первых, у нас получается симметричное уравнение относительно a_(n + 1) и a_n. А это значит, что то, что верно для a_(n - 1) верно и для a_(n + 1) относительно a_n. Что можно тогда заметить?

Подсказка 2

Мы можем заметить, что уравнению t^2 - (2a_n + 1)*t + a^2_n - a_n = 0 удовлетворяют и а_(n - 1), и a_(n + 1). Значит, по теореме Виета, a_(n - 1) + a_(n + 1) = 2a_n + 1. Теперь попробуйте найти первые несколько членов!

Подсказка 3

У нас получается такая прогрессия - 1,3,6,10….- это же значения суммы первых n натуральных чисел. Попробуйте это доказать, и тогда задача сведётся к тому, чтобы записать ответ.

Показать ответ и решение

Выписав условие $a − a ≥ 0 n+1 n$ , возведем равенство в квадрат и запишем его для двух соседних членов последовательности

2 2 an+1− 2an+1 ⋅an +an =an+ an+1

2 2 an− 2an⋅an−1+an−1 =an−1+ an

То есть получаем, что $a n+1$ и $a n−1$ — два корня уравнения

2 2 t − (2an+ 1)⋅t+ an− an = 0

По теореме Виета получаем

an−1+ an+1 =2an+ 1

an+1 = an+ (an− an−1)+1

Первые члены последовательности равны $1,3,6,10,...$ Это очень похоже на суммы первых $n$ натуральных чисел. Давайте по индукции докажем формулу:

an+1 = n(n+-1) 2

База очевидна: $a1 = 1= 1⋅22$

Переход ясен:

an+1 = n(n+-1)+n +1 = (n+-1)(n-+2) 2 2

Поэтому

2022⋅2023 a2023 = 2 = 2047276

Ответ: 2047276

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#79596

Все члены геометрической прогрессии положительны. Сумма первых $15$ членов прогрессии равна $58,$ а сумма обратных величин этих членов равна $14,5.$ Найдите восьмой член прогрессии.

Источники: ОММО - 2024, задача 1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В данной задаче самое главное и самое сложное это правильно записать то, что нам дано в условии. Давайте рассмотрим геометрическую прогрессию с первым членом b и знаменателем q. Вспомните формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии для дальнейшего решения.

Подсказка 2

По формуле суммы геометрической прогрессии сумма первых 15 членов будет равна b*(q¹⁵ - 1) / (q - 1). Заметьте, что сумма обратных величин довольно похожа на сумму обычных, подумайте, возможно, получится ее посчитать похожим образом.

Подсказка 3

Обратные величины так же являются геометрической прогрессией, только с первым членом равным 1/b и знаменателем равным 1/q. Как тогда можно записать наше изначальное условие?

Подсказка 4

По условию мы получаем систему из двух уравнений: b*(q¹⁵ - 1) / (q - 1) = 58 и (q⁻¹⁵ - 1) / b(q⁻¹ - 1) = 14,5. Для удобства работы умножим во втором уравнении числитель и знаменатель на -q¹⁵. Вспомните, что восьмой член прогрессии равен bq⁷. Как его можно найти с помощью полученных уравнений?

Показать ответ и решение

Пусть $b$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель. Тогда по условию $b, q > 0,$ так как все числа положительны.

Заметим сразу, что исходная прогрессия не является постоянной(то есть $q ⁄=1$ ), так как иначе каждый ее член был бы равен $58 15,$ и тогда сумма обратных величин была бы равна $225- 58 ⁄=14,5$

Запишем сумму первых 15 членов

q15− 1 b+bq+ bq2 +...+ bq14 = b-q−-1-= 58

Последовательность, составленная из обратных величин данной прогрессии также является геометрической прогрессией(со знаменателем $1q$ ), поэтому

( ) ( ) 1 15− 1 1 + 1-+ 1-+ ...+ -1- = 1 1+ 1 +...+ -1- = 1 -q------= 14,5 b bq bq2 bq14 b q q14 b 1− 1 q

Преобразовав второе равенство, получаем систему

(|| b⋅ q15−-1= 58 { q −1 15 ||( 1⋅-q14-−-1-= 14,5 b q (q− 1)

Поделив первое равенство на второе, получаем

b2⋅q14 = 58- 14,5

b2⋅q14 = 4

Так как $b, q > 0$ получаем значение восьмого члена прогрессии

b⋅q7 = 2

Ответ:

$2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#79330

При каком натуральном $n$ выражение $-n2-- 1,001n$ принимает наибольшее значение?

Показать ответ и решение

Рассмотрим последовательность $a = --n2-. n 1,001n$ Рассмотрим отношение соседних членов $a n$ и $a n+1$ и сравним его с $1.$ Оно равно $2 1,(n00+11n)2 .$ Нетрудно видеть, что при $n ≥ 2001$ оно больше $1,$ а при остальных — меньше, если составить соответствующее неравенство. Отсюда следует, что до $n =2001$ последовательность возрастает, а при $n> 2002$ — убывает, то есть максимум достигается при $n =2001.$

Ответ:

$2001$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#78964

Одиннадцати мудрецам завязывают глаза и надевают каждому на голову колпак одного из $1000$ цветов. После этого им глаза развязывают, и каждый видит все колпаки, кроме своего. Затем одновременно каждый показывает остальным одну из двух карточек — белую или черную. После этого все должны одновременно назвать цвет своих колпаков. Удастся ли это? Мудрецы могут заранее договориться о своих действиях (до того, как им завязали глаза); мудрецам известно, каких 1000 цветов могут быть колпаки.

Показать ответ и решение

Существует ровно $21111$ —разрядных последовательностей из $0$ и $1,$ из них с четным числом единиц — ровно половина, то есть $10 2 = 1024.$ Закодируем 1000 цветов тысячей таких последовательностей. Распределим разряды между мудрецами. Мудрец номер $k$ действует так: среди видимых им 10 цветов колпаков подсчитывает число $ak$ тех, у кого в $k$ -м разряде стоит $1.$ Если это число четно, он показывает черную, а иначе-белую карточку.

После этого каждый мудрец может вычислить все разряды в коде цвета своего колпака, кроме одного — за который он сам отвечает. Для этого он подсчитывает число $bk$ единиц в $k$ -х разрядах девяти мудрецов (кроме себя и мудреца номер $k$ ), и если четность $bk$ совпадает с показанной четностью $ak,$ у него в $k$ м разряде $0,$ иначе $1.$ Недостающий разряд восстанавливается благодаря четности общего числа единиц в коде.

Ответ:

Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#78963

Докажите, что все члены последовательности

∘ --2--- x1 = 0, xn+1 = 2xn+ 3xn+ 1, n= 1,2,...

являются целыми числами.

Показать доказательство

Заметим, что все члены последовательности неотрицательны, и

∘------ xn+1 = 2xn+ 3x2n+ 1> 2xn ≥ xn

Поэтому все члены последовательности различны. Перенеся $2xn$ в левую часть и возведя полученное равенство в квадрат, получаем

x2n+1− 4xn+1xn+ x2n = 1

Кроме того, также выполняется и равенство

x2n−1− 4xn−1xn+ x2n = 1

(получаемое уменьшением индексов на $1$ ). Это означает, что $xn+1$ и $xn−1$ являются корнями уравнения $2 2 x − 4xnx+ xn = 1.$ Тогда по теореме Виета получаем $xn+1+ xn−1 = 4xn,$ т. е. $xn+1 =4xn − xn−1.$ Отсюда в силу того, что первые два члена последовательности — целые числа, следует, что все $xn,$ вычисляемые с помощью полученной формулы, т. е. $xn = 4xn−1− xn−2,$ — целые числа.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#78962

Множество $S$ состоит из чисел

2 2 3 1,1+ b,1+ b+b ,1+b +b + b,...

где $b$ — некоторое натуральное число. Докажите, что если два числа из $S$ являются членами возрастающей арифметической прогрессии, то найдётся ещё одно число из $S,$ также являющееся членом этой прогрессии.

Показать доказательство

Решение. Пусть $1+b+ ...+ bn = a+ kd,1+ b+...+bm =a +ld,$ где $a$ и $d$ — первый член и разность прогрессии, $k,l∈ ℕ.$ Пусть $k< l$ и, соответственно $n< m.$ Тогда