Тема . Уравнения без логарифмов и тригонометрии
Иррациональные уравнения с радикалами
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела уравнения без логарифмов и тригонометрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85024

Решите неравенство

√6-+-x−-x2-  √6+-x−-x2
---2x-+5-- ≥ --x-+4---
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим и корни и дроби, поэтому сразу же считаем ОДЗ!

Подсказка 3

Неравенство 1/(2x + 5) ≥ 1/(x+4) нетрудно решается, но оно будет ещё легче, если посмотреть какие по знаку (положительные или отрицательные) будут знаменатели на ОДЗ. А мы знаем, что умножение на положительное выражение будет равносильным переходом.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Запишем ОДЗ:

(                   (  (x− 3)(x +2)≤ 0       ( x ∈[−2,3]
|||{ 6+ x− x2 ≥0       ||||{                       ||||{
  2x+ 5⁄= 0     ⇐ ⇒     x⁄= − 5          ⇐⇒     x ⁄=− 5     ⇐⇒   x∈ [− 2,3]
|||( x+ 4⁄= 0           ||||(      2                ||||(      2
                       x⁄= −4                  x ⁄=− 4

Рассмотрим два случая. Во-первых,

∘ --------                           [
  6+ x− x2 =0 ⇐⇒   6+ x− x2 = 0 ⇐⇒     x= 3
                                       x= −2

Во-вторых, √ ------2-
  6+ x− x >0,  значит, на него можно сокращать. Так же заметим, что на ОДЗ выражения 2x+ 5  и x+4  положительны.

  1      1
2x+-5 ≥ x+-4

x +4≥ 2x+ 5

x≤ −1

Пересечём это с ОДЗ и получим в этом случае x∈ [− 2,−1].

В итоге, объединив все случаи, получим x ∈[−2,− 1]∪ {3}.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Аналогично, как в первом решении, запишем ОДЗ неравенства:

(                   (|  (x− 3)(x +2)≤ 0       (| x ∈[−2,3]
|||{ 6+ x− x2 ≥0       |||{                       |||{
| 2x+ 5⁄= 0     ⇐ ⇒  |  x⁄= − 5          ⇐⇒   | x ⁄=− 5     ⇐⇒   x∈ [− 2,3]
||( x+ 4⁄= 0           |||(      2                |||(      2
                       x⁄= −4                  x ⁄=− 4

Давайте перенесём теперь всё в одну часть и приведём разность дробей к общему знаменателю. Получится следующая дробь

∘ ----------(   − x− 1   )
  (3− x)(x+2) (2x+-5)(x+-4) ≥ 0

Умножим на − 1  неравенство и поменяем знак:

∘ ----------( ---x+-1----)
  (3− x)(x+2) (2x+ 5)(x+ 4) ≤ 0

Мы знаем нули этого выражения вместе с выколотыми точками. Поэтому давайте решим это неравенство методом интервалов, подставив значения точек из нужных интервалов. Но выколотые точки в знаменателе не удовлетворяют ОДЗ, поэтому не будем их рассматривать вовсе. Рассматривая промежуток [−2,− 1]  и подставляя, например, точку x =− 32,  получаем, что значение будет отрицательно(в числителе минус, в знаменателе обе скобки положительны). А рассматривая промежуток [−1,3],  можем подставить x= 0  и получить, что знак плюс. Итого, решение получается x∈ [−2,−1]∪{3} (не забываем, про не выколотые точки).

Ответ:

[−2,−1]∪{3}

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!