Последовательности и прогрессии на ПВГ —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Последовательности и прогрессии на ПВГ

Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Последовательности и прогрессии на ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71441

Последовательность $a n$ задана формулами $a = 4043,a =a3− 3a2+ 3a. 1 2022 n+1 n n n$ Найдется ли натуральное число $n$ такое, что $|a |≤ 2022? n 2021$ Обоснуйте свой ответ.

Источники: ПВГ-2022, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу заметим кое-что в формуле последовательности: да это же выглядит как полный куб! Только единички не хватает) Как тогда будет выглядеть наша последовательность?

Подсказка 2

Раз там не хватало единицы, прибавим ее к обеим частям. Тогда, например, раз a_n = 1 + 2021/2022, то a2+1 = 1 + (2021/2022)^3. Можете ли вы тогда вывести формулу для последовательности?

Подсказка 3

Конечно можете! Это будет a_n = 1 + (2021/2022)^(3^n)! Т.е. у нас какое-то число, меньшее единицы по модулю, возводится в все большую и большую степень....Что это значит?

Подсказка 4

Это значит, что оно уменьшается все время) Теперь просто попробуйте подобрать n, чтобы выполнялось условие!

Показать ответ и решение

Перепишем данную в условии формулу в виде

3 an+1 = (an− 1) +1

Находим, что если $an = 1+ 𝜀$ , то $an+1 =1 +𝜀3.$ В предложенной задаче $a1 = 1+ 2021, 2022$ поэтому

( 2021)3 (2021)3n−1 a2 =1 + 2022- ,...,an = 1+ 2022

Так как

a ≤ 2022⇔ 1+ (2021)3n−1 ≤ 1+-1--⇔ (2021)3n−1 ≤--1- n 2021 2022 2021 2022 2021

Это неравенство при достаточно больших $n$ выполняется. Для того, чтобы это утверждать, нужно или доказать, что предел этой последовательности равен 0 , или сделать оценку

( 1 ) ( 1 ) 3n−1 ≥ log22002122 2021- ⇔ n≥ 1+ log3 log202022122021-

Отсюда следует, что для любого

[ ( )] n ≥ 1+ log3 log 2022-2021 + 1 2021

неравенство выполняется.

Ответ: да

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69856

Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности $6,7,8,9,10,...$ , если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить числа $3 2 2 ) 8= 2 ,9 =3 ,16= 4,...$ ?

Источники: ПВГ-2022, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Наверное, чтобы найти число, которое стоит на 2022 месте, надо посчитать количество полных квадратов и кубов среди чисел от 6 до 2027. Как это можно сделать?

Подсказка 2

Для начала найдем количество квадратов. Можно заметить, что 2116=46²>2027>45²=2025. Поэтому количество квадратов равно 43 (1² и 2² не лежат в нашей последовательности). А сколько кубов находится в этой последовательности...

Подсказка 3

Их 11, ведь 2197=13³>2027>12³=1728 (1³ мы не считаем). Кажется, что некоторые числа мы посчитали дважды... Какие же?

Подсказка 4

Если n=t⁶, то n мы посчитали дважды. Таких n всего 2: 64 и 729. Как завершить решение?

Подсказка 5

Так как мы вычеркнули 43+11-2=52 числа, то надо прибавить к 2027 52. Осталось только проверить, не было ли среди чисел от 2027 до 2079 точных квадратов или кубов и наслаждаться победой!

Показать ответ и решение

Так как чисел от 1 до 5 нет в последовательности, то изначально на $2022$ месте стоит число $2027.$

Среди первых $2022$ членов последовательности $43$ полных квадрата, так как $2 46 = 2116$ уже больше 2027, а $2 45 = 2025$ ещё меньше и при этом из 45 первых квадратов не учитываются $2 1$ и $2 2 .$

Среди первых $2022$ членов последовательности $11$ полных кубов, так как $3 13 =2197$ уже больше 2027, а $3 12 = 1728$ ещё меньше и при этом из 12 первых кубов не учитывается $3 1 .$

При удалении квадратов и кубов числа, являющиеся $6$ степенью натуральных чисел, были посчитаны дважды. Их среди первых $2022$ членов последовательности $2$ , а именно $6 6 2 и 3$ , так как $6 4096= 4$ уже больше, чем 2027, а $6 3 =729$ ещё меньше, и при этом $6 1$ учитывать не надо.

Итак, после удалений на $2022$ месте будет стоять число $2027+ 43+ 11 − 2= 2079.$

Ответ: 2079

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#39761

Сумма шести первых членов геометрической прогрессии, состоящей из положительных чисел, в $344$ раза больше суммы трех ее первых членов. Найдите знаменатель прогрессии.

Источники: ПВГ-2019, 11.1 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим первый член прогрессии b, а знаменатель q. Тогда что хорошего можно увидеть, когда мы запишем равенство на суммы из условия?

Подсказка 2

Верно, и слева, и справа есть b, на которое можно сократить и получить уравнение относительно одной переменной. Теперь применим формулу для суммы геометрической прогрессии. У нас получается там 6 степень... Как можно упростить себе жизнь, вспомнив, что это q^3 в квадрате?

Подсказка 3

Ага, мы можем разложить скобку слева по формуле разности квадратов! Теперь мы можем сократить общую часть и легко найти q.

Показать ответ и решение

Пусть $b = b,b = bq. 1 2$ Тогда условие можно переписать в виде

5 2 1−-q6 1− q3 b+ bq +...bq = 344(b+ bq+ bq) ⇐⇒ 1− q = 3441− q ⇐ ⇒

⇐⇒ (1− q3)(1+ q3)= 344(1− q3) ⇐ ⇒ q = 7

Здесь мы считаем $q ⁄=1,$ однако легко видеть, что при $q = 1$ условие не выполнено.

Ответ:

$7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#87800

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если её второй член равен 3, а сумма первых трёх её членов равна 13.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31346

Сумма пяти первых членов геометрической прогрессии равна $93,$ а сумма следующих пяти членов равна $2976.$ Найдите сумму первых семи членов прогрессии.

Источники: ПВГ-2016, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишем условие через a и d. Тогда можно заметить, что сумма из первого условия и сумма из второго условия отличаются в d⁵. И в 32 раза. Значит, что d⁵ = 32!

Подсказка 2

Теперь, зная d, мы можем найти а!

Показать ответ и решение

Пусть первый член последовательности равен $b,$ а знаменатель прогрессии равен $q.$ Тогда

2 3 4 q5−-1 b+ bq+bq + bq + bq =b q− 1 = 93

5 bq5+ bq6+ bq7 +bq8+ bq9 = bq5q-−-1= 2976 q− 1

Первая и вторая сумма отличаются ровно в $q5$ раз. Значит, $q5 =32 ⇔ q = 2.$ Тогда

b+ bq +bq2+bq3+ bq4 = bq5−-1= 31b =93 q − 1

b=3

Значит, сумма первых семи членов прогрессии равна

93+3 ⋅25+ 3⋅26 = 381

Ответ:

$381$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#63699

Две арифметические прогрессии содержат по $2015$ членов каждая. Отношение последнего члена первой прогрессии к первому члену второй равно отношению последнего члена второй прогрессии к первому члену первой и равно $4.$ Отношение суммы всех членов первой прогрессии к сумме всех членов второй равно $2.$ Найдите отношение разностей этих прогрессий и приведите пример таких прогрессий.

Источники: ПВГ-2015, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По традиции при виде сумм арифметической прогрессии используем формулу суммы. Для начала попробуйте аккуратно записать все условия (отношения членов и отношения сумм), приравнять равные 4 отношения членов, и уже после этого подумать, как получить желаемое!

Показать ответ и решение

Пусть это $a ,a +d ,...a +2014d ,a,a + d,...a + 2014d . 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2$ Запишем то, что дано по условию

a1+-2014d a2+-2014d a2 = a1 =4

{ a1+ 2014d1 = 4a2 a2+ 2014d2 = 4a1

{ 2014d1 =4a2− a1 2014d2 =4a1− a2

Далее напишем условия на суммы

2a1+2014d1 2a2+-2014d2 2 ⋅2015= 2 2 ⋅2015

2a1+ 2014d1 = 4a2+ 4028d2

подставим сюда представления для $2014d∗,$ получим

2a1+ 4a2− a1 = 4a2+ 8a1− 2a2

2a2 = 7a1

d1 4a2−-a1- d2 = 4a1− a2 = 26

В качестве примера: $-26- -1- a1 = 2,a2 =7,d1 = 2014,d2 = 2014.$

Ответ:

$26$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#87802

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $b ,b,b,... 1 2 3$ равна 70, сумма квадратов членов этой прогрессии равна 2100. Найдите сумму новой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен $(−b1)$ , а знаменатель отличается от знаменателя исходной геометрической прогрессии только знаком.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#73116

Дана бесконечная числовая последовательность $a,a ,..., 1 2$ о которой известно следующее: $a = 20,a = a a ,n ∈ℕ. 1 n+1 n n+2$ Найдите все значения, которые может принимать $a2014.$

Источники: ПВГ-2014, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Запишем это условие для двух последовательных членов

a = a ⋅a ak+1= ka k⋅+a2 =⇒ 1 =ak ⋅ak+3 или ak+1 ⋅ak+2 = 0 k+2 k+1 k+3

Подставим во втором случае $k =1,$ тогда $ak ⁄= 0,$ откуда $a2 = a3 = 0,$ далее можно подставить $k= 3 =⇒ a4 = 0$ и так далее по индукции. В итоге возможно $a2014 =0.$ В первом случае $a4 = 1-=-1. a1 20$ Перейдём от $a1$ к $a4,$ действуем аналогично, теперь либо $a5 = a6 = ...= 0,$ либо $a7 = 1-. a4$ Совершая такие переходы, приходим к другому возможному значению $a2014 = a1+3⋅671 =-1 = 1. a1 20$ Остальные значения невозможны.

Ответ:

$0, 1 20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#39771

Несколько чисел образуют арифметическую прогрессию, причём их сумма равна $63$ , а первый член в полтора раза больше разности прогрессии. Если все члены прогрессии уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы первый член прогрессии был равен разности прогрессии, то сумма всех чисел уменьшится не более, чем на $8$ , но не менее, чем на $7$ . Определите, какой может быть разность этой прогрессии.

Источники: ПВГ-2013, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии присутствуют утверждения о сумме членов прогрессии, поэтому имеет смысл ввести буквенные обозначения. Пусть d - разность прогрессии. Тогда изначально первый член был равен 1.5d, а после стал равен d. Запишем сумму членов этой прогрессии и подумаем, что же можно сделать с ней дальше?

Подсказка 2

Изначально сумма была равна nd(n+2)/2, после стала равна dn(n+1)/2. Первое значение в точности равно 63, второе лежит на отрезке [55, 56]. Как можно преобразовать получившиеся выражения для дальнейшей работы? Видим в обеих дробях dn, видим деление на 2, на что это намекает?)

Подсказка 3

Поделим двойное неравенство (про принадлежность отрезку) на равенство, чтобы избавиться от d! Получаем новую цепочку неравенств, по ней находим n! Подставляем и находим d :)

Показать ответ и решение

Пусть $a (i∈{1,2,...,n}) i$ — прогрессия из условия, у которой $a = 3d, 1 2$ тогда её сумма

3dn nd(n+-2) a1+a2+ ...+ an = 2 + d+ 2d +...+(n− 1)d= 2 = 63

После уменьшения получится новая прогрессия $′ ai,$ у которой $′ a1 = d,$ тогда сумма станет равна

dn(n+ 1) a′1 +...+ a′n = dn+ d+ 2d+...+(n− 1)d =--2--- ∈[55;56]

Поделим второе двойное неравенство на первое равенство:

dn(n-+1)⋅---2--- ∈[55;56] 2 nd(n+ 2) 63 63

55 ≤ n+-1≤ 56 63 n+ 2 63

55n+ 110 ≤63n+ 63≤ 56n +112

{ 8n ≥47 7n ≤49

47 8-≤ n≤ 7

Так как $n ∈ℕ,$ то $n = 6$ или $n =7.$ Подставляя в любое из равенств, получаем, что $21 d = 8-$ или $d= 2.$

Ответ:

${21;2} 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#64353

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма её членов, взятых через один, начиная со второго, равна $2,$ а сумма её членов, взятых через один, начиная с третьего, равна $1.$

Источники: ПВГ-2011, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, у нас с вами сложное условие, давайте записывать его в виде равенств. Запишите условия через b и q. Тогда первое условие говорит, что bq/(1-q ²) = 2

Подсказка 2

А второе условие - bq²/(1-q²) = 1, соедините эти два равенства и найдите q!

Показать ответ и решение

Пусть это прогрессия $b =b,b = bq,b =bq2,.... 1 2 3$ Тогда из первого условия получаем

3 5 2 4 --1-- bq+ bq + bq +...=bq⋅(1+q + q +...)= bq⋅1− q2 = 2

Аналогично из второго условия

bq2+ bq4+ ...= bq2 ⋅-1-2-=1 = 1⋅2= 1⋅bq⋅--1-2 =⇒ q = 1 1− q 2 2 1− q 2

b= 2(1−-q2)= 4⋅ 3 =3, q 4

в итоге получаем

2 --b- b+bq+ bq + ...= 1− q = 6.

Ответ:

$6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#71666

Положительные числа $b,b,b,b ,b 1 2 3 4 5$ составляют геометрическую прогрессию. Сумма логарифмов по основанию $3$ от этих чисел равна $10.$ Найдите эти числа, если

log3b1⋅log3b5 =3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним, что числа образуют геометрическую прогрессию! Поэтому все числа можно выразить через первый член прогрессии. В таком случае, что можно получить из условия того, что сумма логарифмов по основанию 3 от этих чисел равна 10?

Подсказка 2

Да, мы получим, что произведение первого члена и знаменателя прогрессии равно 9, а еще можно выразить первый член прогрессии через её знаменатель. Теперь воспользуемся вторым условием! Можно ли найти с помощью него знаменатель прогрессии?

Подсказка 3

Да, можно! Будем пользоваться свойствами логарифма и преобразовывать выражение. Тогда мы найдем знаменатель прогрессии и уже через него все члены последовательности!

Показать ответ и решение

Пусть $q$ — знаменатель прогрессии. Так как члены прогрессии положительные, то $q > 0$ . Тогда члены прогрессии: $2 3 4 b1, qb1, qb1, qb1, q b1$

По условию

2 3 4 log3b1+ log3qb1+log3q b1+log3qb1+ log3qb1 = 10

5 10 log3b1 ⋅q = 10

2 9- b1q =9 =⇒ b1 = q2

Подставляя во второе условие получаем

9 9 log3q2 ⋅log3q4⋅q2 =3

log3-92 ⋅log3 9q2 = 3 q

(2− log q2)⋅(2+ log q2)= 3 3 3

log2q2 = 1 3

q2 = 3±1

И так как

q >0,

то

q = 3±0.5; b1 = 9 q2

Легко видеть, что прогрессии

1.5 2 2.5 3 3, 3 , 3 , 3 , 3

3 2.5 2 1.5 3 , 3 , 3 , 3 , 3

удовлетворяют условию про сумму логарифмов и условию на первый и пятый члены.

В ответ можно записать найденные числа, они одинаковые для обеих подходящих прогрессий.

Ответ:

$3, 31.5, 32, 32.5, 33$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#48857

Сколько членов арифметической прогрессии, состоящей из $2009$ чисел, с первым членом $12$ и разностью $3,$ являются также членами бесконечной геометрической прогрессии, первый член и знаменатель которой равны $3?$

Источники: ПВГ-2009 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Начнём с геометрической — в ней лежат числа $3,9,27,81,243,729,2187,6561$ . Поскольку максимальный член арифметической прогрессии равен $12+ 3⋅2008= 6036$ , то $6561$ уже туда не входит. Но числа $27,81,243,729,2187$ будут в ней лежать, поскольку кратны трём и лежат от $12$ до $12 +3⋅2008$ . Легко видеть, что в арифметической прогрессии лежит каждое кратное трём число оттуда.

Ответ:

$5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#85033

Первый член арифметической прогрессии равен $− 12,$ разность равна $24. 11$ Найдите сумму первых $n$ членов этой прогрессии при условии, что она меньше $− 39.$

Показать ответ и решение

Сумма первых $n$ членов имеет вид $−24+-2411⋅(n−1)⋅n= 12n(n−12) 2 11$ . По условию это выражение меньше $− 39$ , то есть отрицательно, однако число $12n 11$ положительно, значит число $n − 12$ — отрицательно. То есть $n$ — натуральное число из отрезка $[1;12]$ . Осталось перебрать все возможные значения и убедиться, что подходит только $n =6$ .