Отбор ШВБ —Каталог задач по Олимпиадной математике

Тема ШВБ (Шаг в будущее)

Отбор ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#69995

Решите уравнение

-----15---- ∘3-----3- x( 3√35− 8x3) =2x+ 35− 8x

Источники: ШВБ-2022, отборочный тур (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что у нас в уравнениях есть общая "некрасивая" часть. Что тогда с ней хочется сделать?

Подсказка 2

Верно, мы можем заменить это выражение на t. А что тогда мы получаем из исходного уравнения и замены?

Подсказка 3

Точно, у нас получаются два уравнения с двумя неизвестными. То есть осталось только решить систему уравнений и не забыть учесть ОДЗ. А как же решать казалось бы эту страшную систему?

Подсказка 4

Можно выбрать такой путь. В исходном уравнении после замены у нас получается сумма кубов, которую можно разложить. Тогда одна из скобок нам уже будет известна. Теперь раскройте скобки, а дальше вернитесь к первой подсказке. Затем останется совсем немного доделать, и победа!

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

{ x⁄= 0 { x⁄= 0 3 ⇐ ⇒ 3√35 35− 8x ⁄=0 x⁄= 2

Сделаем замену $t= 3√35−-8x3$ . Тогда $t3 = 35− 8x3$

Получаем систему

{ t3+ 8x3 = 35 { (t+ 2x)3− 3⋅2xt2− 3⋅4x2t=35 15-=2x +t ⇐ ⇒ 15= 2x +t ⇐⇒ xt xt

{ (1x5t)3 − 3⋅2xt2 − 3⋅4x2t=35 { (15xt)3− 3⋅2(xt2+2x2t)=35 ⇐⇒ 1x5t = 2x+ t ⇐ ⇒ 15 =2x2t+ t2x ⇐ ⇒

{ ( ) ⇐ ⇒ 15xt-3− 3⋅2⋅15 =35 15 =2x2t+t2x

Преобразовав первое уравнение, получим

(15)3 xt = 125

xt= 3

Сделаем обратную замену

∘3------- x⋅ 35− 8x3 = 3

3 3 x (35− 8x) =27

Решив квадратное уравнение относительно $x3,$ получим

[ x= 1 x= 32

Ответ: 1; 1,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#73121

Петя задумал пять чисел (не обязательно целых). На доске он написал их попарные суммы: $7,9,12,16,17,19,20,21,22,29.$ Какие числа задумал Петя?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем набрать уравнения, которых будет достаточно для однозначного восстановления ответа! Для начала, мы можем расположить исходные числа по возрастанию, тогда мы точно знаем, из каких чисел было получено 7, 9, 22, 29.

Подсказка 2

Верно, 7 - это сумма двух минимальных чисел, 9 - это сумма первого и третьего, 22 - это сумма третьего и пятого, а 29 - это сумма четвертого и пятого! Также, поскольку нам даны все попарные суммы, то есть каждое число встречается ровно в двух суммах, то мы знаем и общую сумму чисел, она равна 43. Тогда, какое число мы уже точно-точно знаем?

Подсказка 3

Да, третье число(ведь мы знаем попарную сумму первого и второго, а также четвертого и пятого) и оно равно 7. Все оставшиеся числа легко восстанавливаются!

Показать ответ и решение

Поскольку все суммы разные, все числа тоже разные. Упорядочим эти числа в порядке возрастания и обозначим следующим образом: $x1 < x2 < x3 < x4 < x5$ Тогда

x1 +x2 = 7, x1+x3 =9, x3+ x5 = 22, x4+ x5 = 29

Кроме того,

4(x1+ x2+ x3 +x4+ x5)=7 +9+ 12+ 16 +17+ 19+20+ 21+ 22 +29,

(x +x )+ x +(x + x) =43 1 2 3 4 5

Решая систему, последовательно находим

x3 = 7, x1 = 2, x2 = 5, x5 = 15, x4 =14

Ответ:

$2,5,7,14,15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#69994

Решите уравнение

2 2 ∘ ----- x + y + 1+ xy− 6= 2|x− y|+2xy

Источники: ШВБ-2018 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнение пока вовсе не красивое… попробуем преобразовать так, чтобы |х-у| использовался еще где-то… на что нам намекают квадраты?

Подсказка 2

Переносим все в одну часть, выделяем (х-у)^2 и раскладываем на нулевую сумму двух слагаемых, каждое из которых неотрицательно. Значит, каждое из них равно нулю!

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение