Криволинейные интегралы 1 и 2 рода. —Каталог задач по Высшей математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Другое - Высшая математика
Криволинейные интегралы 1 и 2 рода.

Тема Математический анализ

09 Криволинейные интегралы 1 и 2 рода.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#63549

Вычислить криволинейный интеграл II рода

∫ y2dx− x2dy γ

где $γ$ - окружность радиуса 1 с центром в точке $(1,1)$ , пробегаемая против часовой стрелки.

Показать ответ и решение

Эту окружность давайте представим в параметрическом задании:

x(t) = cost+ 1, y(t) = sin t+ 1

Тогда по формуле вычисления криволинейного интеграла II рода, когда кривая задана параметрически:

∫ ∫ ∫ 2 2 2π 2 2 2π 3 3 γ y dx − x dy = 0 ((sin t+1) (− sin t)− (cost+1) (cost))dt = 0 (− 2− sin t− cost− sin t− cos t)dt = − 4π

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63548

Вычислить криволинейный интеграл II рода

∫ (x − y2)dx + 2xydy γ

где $γ$ - ломанная $OP A$ , состоящая из отрезка $OP$ оси $Ox$ от точки $O (0,0 )$ до точки $P (1,0)$ , и затем отрезка $P A$ прямой $x = 1$ от точки $P$ до точки $A = (1,1)$ .

Показать ответ и решение

Давайте этот криволинейный интеграл по ломанной разобьём на сумму двух - по отрезку $OP$ и по отрезку $P A$ :

∫ ∫ ∫ (x − y2)dx + 2xydy = (x − y2)dx + 2xydy + (x − y2)dx + 2xydy OPA OP PA

Вдоль отрезка $OP$ у нас $dy = 0$ , поскольку $OP$ можно представить как функцию $y = y(x) ≡ 0$ :

∫ ∫ 2 1 1- OP (x− y )dx + 2xydy = 0 xdx = 2

Вдоль отрезка $P A$ у нас $dx = 0$ , поскольку $P A$ можно представить как функцию $x = x(y) ≡ 1$ :

∫ ∫ 1 (x− y2)dx + 2xydy = 2ydy = 1 PA 0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#63547

Вычислить криволинейный интеграл II рода

∫ 2xydx + x2dy γ

где $γ$ - участок кубической параболы $y = x3$ с началом в точке $(0,0)$ и концом в точке $(1,1)$ .

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой для вычисления криволинейного интеграла II рода для кривой, заданной явно, с учётом того, что на кривой $3 y = x$ у нас $2 dy = 3x$ , будем иметь:

∫ ∫ 1 ∫ 1 2xydx + x2dy = 2x4dx + 3x4dx = 5x4dx = 1 γ 0 0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#63546

Вычислить криволинейный интеграл I рода

∫ ye−xdl γ

где $γ$ - это участок кривой $x = ln (1 + t2)$ , $y = 2arctgt − t+ 3$ между точками, отвечающими значениям параметра $t = 0$ и $t = 1$ .

Показать ответ и решение

$x′(t) = 12+tt2$ , $y′(t) = 12+t2-− 1 = 11−+tt22$ , и тогда нетрудно видеть, что $x′t2+ y′t2= 1$ .

С учётом этого, согласно формулам вычисления криволинейного интеграла I рода имеем:

∫ ∫ 1 2 ∫ 12 arctg t− t+ 3 ye−xdl = (2arctgt− t + 3)e− ln(1+t)dt = ---------2-----dt γ 0 0 1+ t

Здесь, понятное дело, для вычисления определенного интеграла поможет замена $arctgt = u$ . С учётом этих вычислений, получим в конце концов:

∫ ∫ 1 2 ye−xdl = 2-arctg-t−-t+-3dt = π--− 1-ln2 + 3π- γ 0 1+ t2 16 2 4

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#63545

Вычислить криволинейный интеграл I рода

∫ ydl γ

где $γ$ - это участок параболы $y2 = 2px$ между началом координат $(0,0)$ и точкой $(x ,y ) 0 0$ .

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой для вычисления криволинейного интеграла I рода, когда функция задана явно:

∫ ∫ x ∫ x ydl = 0y(x)∘1--+-y′2(x)dx = 0∘y2-(x)-+-y2(x)y′2(x)dx γ 0 0

Далее, поскольку $y′(x) = √-p-- 2px$ , $y′2(x) = -p2 2px$ , $y2(x)y′2(x) = p22px-= p2 2px$ , то будем иметь:

∫ ∫ x0 ∘ -------- ydl = 2px+ p2dx = 1-((p2 + 2px0)32 − p3) γ 0 3p

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#63544

Вычислить криволинейный интеграл I рода

∫ xydl γ

где $γ$ - это четверть эллипса $2 2 xa2 + yb2-= 1$ , лежащая в первом квадранте ( $x > 0,y > 0$ ).

Показать ответ и решение

Зададим эллипс параметрически:

x(t) = a cost, y (y) = bsint

И поскольку нам нужна только четверть, лежащая в первом квадранте, то $t$ будем брать только $π t ∈ [0,2 ]$ .

Далее, $′ ′ ∘ -′2----′2- ∘ -2---2----2---2-- x (t) = − asint,y(t) = b cost, xt + yt = a sin t+ b cos t$ .

Тогда по формулам вычисления криволинейного интеграла I рода имеем:

∫ ∫ π xydl = 2a costbsin t∘a2--sin2-t+-b2cos2tdt γ 0

Далее, $∘ -------------------- ∫ π2 ∘ -2---2-----2---2- ab-∫ π2 21−cos2t 2 1+cos2t 0 acos tbsint a sin t + b cos tdt = 2 0 sin 2t a 2 + b 2 dt$ .

Если теперь в последнем интеграле положить $cos2t = z$ , то тогда $sin2tdt = − 1dz 2$ , и будем иметь: $∫ π ∘ -------------------- ∫ ∘ ------------- ab2 20 sin 2t a21−c2os2t+ b2 1+co2s2tdt = − a4b 1−1 a2+2b2 + b2−2a2zdz =$
$∫ 1 ∘ -2--2---2--2-- 2 2 = ab4 − 1 a-+2b-+ b−2a-zdz = ab3 a-+aab++bb$ .

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел