Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить при помощи метода Остроградского:
Применим метод Остроградского. Наш знаменатель
И его надо разложить на так, чтобы имел те же корни, что и , но кратности 1, а имел те же корни, что и , но кратности на 1 меньше, чем они были у . Таким образом получаем
И по методу Остроградского мы можем записать теперь, что :
Таким образом, с учетом ограничений на степени, можем записать это последнее равенство с неопределенными коэффициентами:
Продифференцируем его обе части:
Приводя правую часть к общему знаменателю, получим, что левая часть будет такой:
Теперь, если дробь в левой части домножить на , то получим, что и у левой и у правой части знаменатели равны и мы можем приравнять числители:
Или
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и в правой части, получаем такую систему уравнений
Решением этой системы является
И, значит, мы получаем, что
И последний интеграл считается разложением дроби
на простейшие
Приводим сумму справа к общему знаменателю, и получаем равенство
Откуда видим, что . Таким образом, получаем, что
И, следовательно,
Таким образом,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить, разлагая на простейшие, но без поиска разложения методом неопределенных коэффициентов:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить, разлагая на простейшие, но без поиска разложения методом неопределенных коэффициентов:
И здесь все интегралы, кроме второго, вычисляются элементарно. Второй же интеграл вычисляется
разложением дроби на сумму простейших.
А поэтому
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти неопределенный интеграл на каком-нибудь интервале при помощи интегрирования по частям
Пусть , тогда , значит
Проделаем с интегралом
вновь то же самое , тогда , значит
Таким образом, имеем:
Следовательно, если обозначит за
То получается функциональное уравнение
То есть
То есть
Эти вычисления верны на любом интервале в .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти неопределенный интеграл на каком-нибудь интервале при помощи интегрирования по частям
Пусть , тогда . И будем иметь
Эти вычисления верны на любом интервале в .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти неопределенный интеграл на каком-нибудь интервале при помощи интегрирования по частям
Пусть . Тогда и мы будем иметь
Этот последний интеграл
тоже возьмем по частям. Пусть , тогда . Таким образом,
Итого:
Проделанные вычисления справедливы на любом интервале, содержащемся в отрезке
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти неопределенный интеграл на каком-нибудь интервале при помощи занесения под дифференциал
Поскольку , то
(обозначим )
Эти вычисления верны на любом интервале в .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти неопределенный интеграл на каком-нибудь интервале при помощи занесения под дифференциал
Подынтегральная функция определена только на интервале . Внутри этого интервала мы и будет искать наш неопределенный интеграл:
Сделаем замену , и получим
Делая обратную замену, получаем итоговый ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти неопределенный интеграл на каком-нибудь интервале при помощи занесения под дифференциал
Табличным интегралом является следующий:
Но можно аналогично доказать, что и для любого будет верно, что
Мы будем этим пользоваться.
Обозначим и получим
Делая обратную замену, получим:
На каком же интервале мы нашли наш неопределенный интеграл? На любом, на котором справедливо было нахождение табличного интеграла, то есть на любом интервале, не содержащем точки вида .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти неопределенный интеграл на каком-нибудь интервале при помощи занесения под дифференциал
Но , поэтому:
Для удобства сделаем замену , тогда
Этот интеграл табличный.
Делаем теперь обратную замену:
На каком же интервале мы нашли наш неопределенный интеграл? На любом, на котором справедливо было нахождение табличного интеграла, то есть на любом интервале, на котором не зануляется , то есть на любом интервале, не содержащем точек вида .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Привести пример функции, не имеющей первообразной на интервале .
Например, это функция, заданная формулой
Действительно, она не имеет первообразной на . Давайте докажем это от противного.
Пусть существует такая (потенциальная первообразная), что для любого
выполнено
Таким образом, ясно, что при функция равна для какой-то константы . А при функция равна для какой-то константы . То есть мы получаем, что
Но, поскольку мы хотим, чтобы для любого выполнено
То это означает, что должна быть дифференцируема в каждой точке интервала . А,
значит, и непрерывна в каждой точке точке интервала , поскольку из дифференцируемости в
точке вытекает непрерывность в точке.
Но тогда, в частности, это означает, что должна быть непрерывна в точке .
То есть, во-первых, должен существовать
А, во-вторых, он должен быть равен .
Итак, раз должен существовать
То это означает, что должны существовать оба односторонних предела
И они должны быть равны между собой. Однако
Следовательно,
Откуда мы получаем, что , а, значит, . Допустим, (это никак не ограничивает общность) и тогда получается, что
Таким образом, получаем:
Но что же получается? А получается, что задается формулой
Но такая , разумеется, не будет дифференцируемой в точке .
(Это доказывается аналогично тому, что функция - недифференцируема в точке ).
Получили противоречие с тем, что должна быть всюду дифференцируема на интервале .
Отметим, что наш произвол в выборе констант и ни на что существенно не
повлиял, поскольку при другом выборе этих констант функция просто
сдвинулась бы вдоль оси , но принципиально в рассуждениях ничего бы не
изменилось.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить, применяя нужную замену для интеграла, содержащего радикал:
Давайте преобразуем подынтегральную функцию к более удобному виду:
Тогда ясно, что нужно сделать замену . Откуда , , .
Таким образом, будем иметь:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить, применяя нужную замену для интеграла, содержащего радикал:
Сделаем замену , то есть . Тогда и мы имеем:
И мы свели интеграл от рациональной функции от корня от к интегралу от рациональной функции от . Поделим числитель на знаменатель:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить при помощи метода Остроградского:
Как мы видим, у знаменателя куча кратных корней - корень 1 кратности 2 и корень кратности
3. Это более чем явный повод для того, чтобы воспользоваться методом Остроградского.
Итак, если знаменатель , то мы должны разложить его на ,
где имеет в точности те же корни, что , но кратности 1.
Таким образом, , .
Тогда, по методу Остроградского:
Где у многочленов и степень строго меньше, чем у знаменателей тех дробей, в которых
они стоят.
Таким образом, с неопределенными коэффициентами последнее равенство записывается
как:
Продифференцируем это равенство с неопределенными коэффициентами, и получим:
Приводим справа к общему знаменателю:
Заметим, что на справа можно сократить:
Ну а теперь, раз равны знаменатели, то можно приравнять и числители:
Откуда, приравнивая коэффициенты перед одинаковыми степенями икса, получаем такую систему уравнений на :
Слегка упростим систему:
Откуда получаем:
Таким образом, имеем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить при помощи разложения подынтегральной функции на простейшие дроби:
Дробь - правильная, т.е. степень многочлена в числителе меньше степени в знаменателе, поэтому можно её разложить в сумму простейших дробей. Прежде чем раскладывать её на простейшие, необходимо максимально разложить её знаменатель. Итак,
И дальнейшее разложение невозможно, поскольку мы уже разложили в произведение множителей
первой степени в каких-то степенях.
Согласно алгоритму разложения на простейшие, искать это разложение нужно в виде
Далее, приводим дробь справа к общему знаменателю, и имеем:
Тогда, раз у нас равны знаменатели, можем приравнять и числители:
Прежде чем выписывать систему уравнений на , давайте попробуем в последнее
равенство поподставлять какие-то иксы:
Например, при имеем: , следовательно, .
При имеем , следовательно, .
При имеем , следовательно, .
Число найдём, приравнивая коэффициенты при (в левой части равенства он, очевидно, равен
0): , следовательно, .
Таким образом, имеем разложение:
И, таким образом,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить при помощи разложения подынтегральной функции на простейшие дроби:
Поскольку степень многочлена в числителе больше, чем в знаменателе, то прежде чем раскладывать на
простейшие, разделим с остатком многочлен на . Это делается стандартным
алгоритмом - делением уголком.
В результате получим:
И, таким образом,
Поэтому нам нужно найти первообразную для правильной дроби . Для этого нам сначала
нужно эту дробь разложить в сумму простейших дробей.
Как и положено по алгоритму, чтобы получить разложение на простейшие, нужно сначала
разложить знаменатель на множители так, чтобы дальнейшее разложение было
невозможно (либо на линейные множители, либо на квадратичные, не имеющие в корней).
Это разложение имеет вид:
Где, как мы видим, квадратичный множитель уже дальше не раскладывается, поскольку в
корней не имеет.
Таким образом, будем искать разложение для нашей исходной дроби в виде:
Приведём к общему знаменателю справа:
Следовательно, раз равны знаменатели, то можем приравнять и числители, и получить следующую систему линейных уравнений на и :
Но прежде чем решать систему, заметим, что если в равенство
подставить , то получится, что . Тогда , . Следовательно, имеем:
А значит
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить ():
Для начала преобразуем подынтегральное выражение:
Теперь сделаем замену , . Подынтегральная функция имеет смысл при , поэтому можно считать, что , при этом и .
|
Поскольку , переходя к обратной замене окончательно имеем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти неопределённый интеграл
Если мы преобразуем подынтегральное выражение как то станет ясно, что мы имеем дело не с чем иным, как с дифференциальным биномом при И поскольку - целое, то применяют замену где знаменатель после сокращения дроби .
Тогда после взятия дифференциала от обеих частей
Для замены подынтегральную функцию можно преобразовать так:
В итоге получаем, что интеграл из условия равен
После обратной замены
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить
После замены , , интеграл принимает вид
|
Делая обратную замену, получаем ответ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить
После замены , , имеем:
|
Делая обратную замену, получаем ответ