Теория чисел на МВ (Финашке) —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Теория чисел на МВ (Финашке)

Тема МВ / Финашка (Миссия выполнима. Твоё признание — финансист)

Теория чисел на МВ (Финашке)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела мв / финашка (миссия выполнима. твоё признание — финансист)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#76730

Десятичная запись суммы $1+ 11+ 111+ ...+ 11...1$ оканчивается на 2023. Каким наименьшим может быть количество цифр в последнем слагаемом?

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.3 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим на эту сумму по модулю 10000: она должна быть равной 2023. С другой стороны, чему она равна, если у нас, например, n слагаемых в ней?

Подсказка 2

Она равна 1+11+111+1111(n-3), где n какое-то натуральное число. Как из этого выразить n через m?

Подсказка 3

Осталось понять, при каком минимальном m у нас найдётся такое n, выделив целую часть или посмотрев по модулю 1111)

Показать ответ и решение

Указанную сумму обозначим через $S$ , а количество слагаемых в ней (совпадающее с количеством цифр в последнем слагаемом) - через $n$ . Тогда сумма остатков слагаемых от деления на 10000 равна $123 +1111(n− 3)$ , и дает при делении на 10000 такой же остаток, что и $S$ .

Поэтому выполнено равенство $123+ 1111(n− 3)= 10000m+ 2023$ , где $m$ - некоторое натуральное число. Отсюда

10000m + 2023− 123 m + 789 n− 3= ------1111------= 9m + -1111- +1

Наименьшее $m$ , при котором $m+ 789$ делится на 1111, равно 1111-789=322.

Следовательно, искомое решение $n$ равно $3+ 9322 +1+ 1= 2903$ .

Ответ: 2903

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63947

Десятичная запись суммы $3 +33+ 333 +...+ 33...3$ оканчивается на $2023.$ Каким наименьшим может быть количество цифр в последнем слагаемом?

Источники: Миссия выполнима-2023, 11.3 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подсказка 2

Она равна 3+33+333+3333(n-3), где n какое-то натуральное число. Как из этого выразить n через m?

Подсказка 3

Осталось понять, при каком минимальном m у нас найдётся такое n, выделив целую часть или посмотрев по модулю 3333)

Показать ответ и решение

Пусть в последнем слагаемом $n$ цифр. По условию десятичная запись суммы $3+ 33+333+ ...+ 33...3 ◟ ◝◜n-◞$ оканчивается на $2023:$

2023 ≡ 3+ 33 +333+ ...+3◟3.◝.◜.3◞ ≡ 3+ 33+ 333+ 3333(n − 3) 10000 n 10000

то есть при некотором натуральном $m$ верно

3+ 33 +333+ 3333(n − 3)= 2023 +10000m = 2023+ 3333⋅3m + m

2023− (3+-33+333)+m n= 3+ 3m+ 3333

откуда с учётом натуральности $m$ сразу следует условие для сократимости дроби

2023− (3 +33+ 333)+ m ≥3333 ⇐⇒ m ≥1679

Следовательно,

n≥ 3+ 3⋅1679+ 1= 5041

В обеих оценках достигается равенство, при котором выполнено условие.

Ответ: 5041

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#76733

Докажите, что для любого натурального $n$ существует натуральное число, которое больше своей суммы цифр в $11...11 ◟--◝◜n-◞$ раз.

Источники: Миссия выполнима-2022, 10.1 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для каких чисел проще всего проверить делимость на число, состоящее из одних единиц?

Подсказка 2

Для чисел, состоящих из одинаковых цифр, или тех, которые получаются из вышесказанных домножением на какое-нибудь число. Попробуем найти такое число, полученное из числа, состоящего из девяток.

Подсказка 3

Найдите число с суммой цифр 9n, удовлетворяющее требованием из предыдущих подсказок.

Показать доказательство

Рассмотрим десятичную запись числа $n(10n − 1).$ Пусть число $n$ оканчивается на $k$ нулей. Если последняя ненулевая цифра числа $n$ равна $x$ , то у числа $n n(10 − 1)$ последняя ненулевая цифра будет $10 − x.$ Если предпоследняя цифра $y$ , то у числа $n n(10 − 1)$ предпоследняя цифра будет $9− y$ и т.д. А в начале числа $n n(10 − 1)$ будут идти цифры числа $n$

$PIC$

Далее легко видеть, что сумма цифр $n(10n − 1)$ будет равна $9n$ .

Таким образом, условию удовлетворяет число $n(10n− 1)$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#76536

Число $a >0$ таково, что неравенства $2≤ an ≤ 4$ выполняются ровно при $5$ натуральных значениях $n.$ При скольких натуральных значениях $n$ могут выполнятся неравенства $n 4≤a ≤8?$

Источники: Миссия выполнима-2022, 11.7 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пользоваться изначальным неравенством, где n стоит в показателе степени, неудобно. Предположим logₐ 2 = 𝜶 и зададим обычные ограничения на n. Если при заданном а значений n ровно 5, то как можно записать это в виде неравенства?

Подсказка 2

Верно, числа от n до n+4 принадлежат промежутку от 𝜶 до 2𝜶, при этом n-1 уже меньше 𝜶, а n+4 больше 2𝜶. Теперь попробуем преобразовать наше неравенство так, чтобы "зажать" и найти количество значений n, лежащих в промежутке от 2𝜶 до 3𝜶.

Подсказка 3

И не забудьте для каждого количества решений привести примеры!

Показать ответ и решение

Ясно, что $a> 1.$ Полагая $log 2= α, a$ неравенство $2≤an ≤4$ перепишем в виде $α≤ n≤ 2α,$ а неравенства $4≤ an ≤8$ - в виде $2α ≤n ≤3α.$ Согласно условию, для некоторого натурального числа $m$ выполнены неравенства $m − 1 <α ≤ m< m + 4≤2α <m + 5.$ Из них следует, что

2m − 2< 2α ≤2m < 2m +3< 3α< 2m +5.

Таким образом, неравенствам $2α ≤n ≤3α$ обязательно удовлетворяет четвёрка чисел ${2m;2m +1;2m+ 2;2m + 3}$ и, возможно , одно или оба числа пары ${2m − 1;2m +4}.$

Приведём три соответствующих примера. При $α= 4,6$ имеем $m =5$ и

2m − 1 <2α <3α <2m + 4;

при $α= 5,2$ имеем $m =6$ и выполняются неравенства

2α< 2m − 1 <3α <2m + 4;

наконец, если $α =5,4,$ то $m =6$ и

2α< 2m − 1 <2m + 4< 3α.

Ответ: четыре, пять или шесть

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#76732

На доске написаны все натуральные числа от $1$ до $100.$ Можно любую пару чисел $x,y$ заменять на $xy − 29x− 29y +870.$ Какое число останется после $99$ таких операций?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сходу непонятно, почему при изменении порядка произведения операций в итоге должно остаться одно и то же число. Скорее всего наша операция устроена как-то хитро. Вас не смущает какой-то намек на число 29?

Подсказка 2

Наша операция как-то сильно связана с числом 29. Может, при подстановке 29 будет что-то интересное. Попробуйте подставить пару (a, 29) и посмотреть, что получится...

Подсказка 3

Хммм... При такой подстановке функция выдает значение 29. Очевидно, что и при подстановке пары (29, а) значение будет также равняться 29. Какое же тогда число скорее всего останется в конце?

Подсказка 4

Верно, 29! Ведь если сейчас на доске есть число 29, то после применения операции оно также останется на доске. Т.к. изначально оно присутствует, то и в конце тоже.

Показать ответ и решение

Заметим, что $xy− 29x− 29y+870= (x− 29)(y − 29)+29$ . Если одно из пары заменяемых чисел $x,y$ равно $29$ , то эта пара чисел заменяется на $29$ . Следовательно, на доске всегда одно из чисел будет равно $29$ . Именно это число останется после $99$ рассматриваемых операций.

Ответ: 29

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#76052

Пусть $p(x)$ — такой многочлен с целыми коэффициентами, что $p(7)= 6.$ Может ли число $p(2019)$ быть полным квадратом?

Показать ответ и решение

По теореме Безу $(p(x)− p(y)) ..(x− y). .$ Тогда

.. (p(2019)− p(6)). (2019− 6)

т.е. $(p(2019)− 6)$ делится на 2012, а значит, и на 4. Отсюда следует, что $p(2019)$ имеет остаток $2$ по модулю $4,$ чего не бывает у полных квадратов.

Ответ:

Нет

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#77220

Экстравагантный миллиардер Единицын решил тратить на поддержку образования каждый год одну и ту же сумму денег, равную $N$ рублей. При этом все цифры числа $N$ равны $1.$

а) В первый год к нему обратились $3$ университета, и он смог разделить эту сумму между ними поровну. Во второй год к нему обратилось уже $9$ университетов, и Единицын также смог разделить деньги между ними поровну. Какую сумму тратил миллиардер на поддержку образования каждый год?

б) Если предположить, что денег у Единицына неограниченно, то смог бы он выделить такую сумму $N,$ чтобы её можно было разделить поровну между $43$ университетами?

Показать ответ и решение

a) Заметим, что подходят только числа $N$ , содержащие $9k, k ∈ℕ$ единиц, чтобы была делимость на $3$ и $9$ . То есть подходят $109k−1 N = 9 , k∈ ℕ.$

б) Да, смог бы. Рассмотрим числа вида $1,11,111,....$ Их бесконечно много, поэтому остатки от деления на $43$ где-то повторятся. Тогда разность большего и меньшего этих двух чисел имеет вид $m d= 1...10...0= 1...1⋅10$ , и она делится на $43$ . И так как $43$ не делится на $10$ , то и $-d- 10m$ делится на $43$ и имеет вид $1 ...1.$

Ответ: см. решение

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел