Зададим плоскость

параметрически.

Её параметрическое задание будет таким:

Подставляем эти формулы в уравнение конуса и получаем

Упрощая, получаем

Далее, посчитаем инварианты кривой второго порядка. Поскольку

то, поскольку

то это эллипс.

Как было доказано, через каждую точку гиперболоида проходит по одной прямолинейной образующей из каждого семейства:

Поскольку и первая и вторая образующая должна проходить через точку , то, как мы помним, для первого семейства это означает, что

То мы получим, что для первого семейства

И мы получаем, что образующая из первого семейства имеет уравнение

(Она задается как пересечение двух указанных плоскостей).

Аналогично, для прямой из второго семейства вычисляем

Получаем, что образующая из второго семейства имеет уравнение

Зададим плоскость

параметрически.

Её параметрическое задание будет таким:

Подставим это параметрическое задание в уравнение гиперболоида и получим

Упрощая:

Делая замену

получаем

Осталось лишь сделать замену , и увидеть, что это гипербола.

Зададим плоскость

параметрически.

Её параметрическое задание будет таким:

Подставляя это параметрическое задание в уравнение эллипсоида, получим

Или, раскрывая все скобки

Нетрудно понять, что это уравнение эллипса, поскольку можно вычислить инварианты кривой второго порядка:

Таким образом, можно однозначно заключить, что это эллипс.

Координаты центра этого эллипса находятся из аналогичной системы, как делали для поверхностей, то есть из системы

Получаем систему

Её решением является пара Подставляя эти значения параметров в

находим декартовы координаты центра эллипса:

a) Точка является центром поверхности тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе

В нашем случае мы получаем систему

Однако, если домножить второе уравнение на 2, то получим

При этом третье уравнение имеет вид

И видим, что эти уравнения несовместны. Следовательно, у системы нет решений. Значит, у нашей поверхности нет центров.

b) Составляем аналогичную систему

Получаем

Решая систему, получаем, что она не только совместна, но еще и имеет бесконечно много решений. Общий вид решения будет

Или, записывая в параметрическом виде

Таким образом, у нашей поверхности есть целая прямая центров. Параметрическое уравнение этой прямой центров в : .

Во-первых, давайте поймем, что получится при пересечении гиперболоида и конуса. Давайте выразим из второго уравнения

и подставим его в первое уравнение

Таким образом, получим

Это - цилиндр над окружностью с центром в ноле радиуса 2. Его проекция на плоскость будет, разумеется, просто окружностью в этой плоскости с центром в ноле радиуса 2.

Но будет поспешным думать, что в пересечении и после проекции на плоскость получается целая окружность, поскольку данное уравнение

является лишь следствием системы

Значит, мы можем сказать, что проекция на пересечения нашего гиперболоида и конуса заведомо содержится в окружности . Но конечно может и не совпадать с ней.

Не забудем о том, что когда мы выражали из второго уравнения

то он оказался равен

А, значит,

(поскольку квадрат не может быть отрицательным). Таким образом, проекция на пересечения гиперболоида и конуса будет не всей окружностью

А только двумя её дугами, получающейся пересечением с условием

(на рисунке эти две дуги окружности находятся в синих областях)

Что вообще за поверхность получается в результате вращения данной прямой вокруг ?

Ясно, что точка будет принадлежать данной поверхности вращения тогда и только тогда, когда она находится на том же расстоянии от оси , что и точка (точка с любыми другими и , но тем же самым ).

Расстояние от до равно , а расстояние от до равно . Следовательно, это последнее условие записывается как

или

Далее, исходя из того, что точка лежит на прямой вращения

то из этого следует, что , , таким образом, последнее уравнение превращается в

Или, преобразуя

или, что то же

Делая перенос начала координат по формулам

получим уравнение

Таким образом, мы получили уравнение однополостного гиперболоида.

Это следует из того, что уравнение конуса - однородное, то есть из его вида следует, что если какая-то точка принадлежит конусу, то принадлежит и любая точка . Соответственно, как только есть две точки, принадлежащие конусу - точка и точка , то есть и целая прямая, их соединяющая, и тоже принадлежащая конусу.

Из уравнения сферы, видим, что Подставляя это в уравнение параболоида, имеем:

То есть,

или, сокращая:

Откуда получаем, что - уравнения искомых плоскостей, в которых лежат сечения.

Ясно, что никакая прямая, пересекающаяся плоскость не может содержаться целиком в эллиптическом параболоиде (она будет иметь не больше двух точек пересечения с параболоидом).

А если рассмотреть сечение плоскостью параболоида, то в сечении имеем кривую

То есть эллипс или пустое множество. Следовательно, прямая не лежит ни в каком плоском сечении эллиптического параболоида. А это и означает, что у него нет прямолинейных образующих.

Выпишем матрицу квадратичной части Сначала по алгоритму нам нужно найти её собственные числа. Это в точности корни многочлена

Видно, что характеристическое уравнение имеет два корня:

Поскольку корень кратности два, то первые два собственных вектора, соответствующие ему, нужно самим выбрать ортогональными (поскольку мы хотим произвести ортогональную замену координат). Они находятся как два ортогональных частных решения системы уравнений то есть, в данном случае,

Можно взять, например, в качестве : а в качестве :

Видно, что они оба являются решением системы а также, поскольку то они ортогональны.

Далее, соответствующий третьему собственному значению ищется как любое частное решение системы

Например, подойдёт

Далее, поскольку мы хотим именно ортогональную замену, то собственные векторы нужно отнормировать (чтобы каждый из них имел длину 1):

Тогда матрица перехода в базис из собственных векторов имеет вид:

Тогда, делая замену координат по формулам

И подставляя в исходное уравнение поверхности вместо их выражения через получим:

Или, собирая полный квадрат:

деля на 3

Тогда, в новых координатах получим:

и это параболический цилиндр