Что вообще за поверхность получается в результате вращения данной прямой вокруг ?

Ясно, что точка будет принадлежать данной поверхности вращения тогда и только тогда, когда она находится на том же расстоянии от оси , что и точка (точка с любыми другими и , но тем же самым ).

Расстояние от до равно , а расстояние от до равно . Следовательно, это последнее условие записывается как

или

Далее, исходя из того, что точка лежит на прямой вращения

то из этого следует, что , , таким образом, последнее уравнение превращается в

Или, преобразуя

или, что то же

Делая перенос начала координат по формулам

получим уравнение

Таким образом, мы получили уравнение однополостного гиперболоида.