Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Составить уравнения ортогональной проекции прямой на плоскость .
Проведем через нашу прямую плоскость, перпендикулярную данной плоскости. И тогда
пересечение этих плоскостей и будет ортогональной проекцией нашей прямой на данную
плоскость.
Из канонического уравнения прямой мы знаем:
направляющий вектор прямой:
точка, принадлежащая прямой:
Чтобы новая плоскость содержала нашу прямую, она должна содержать точку и быть
параллельной веткору .
А чтобы новая плоскость была перпендикулярна плоскости , нужно, чтобы она
была параллельна вектору нормали к этой плоскости, то есть вектору . Получаем
параметрическое уравнение плоскости:
В целом, этого достаточно.
Или можем переписать уравнение новой плоскости в общем виде: .
Ответ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Составить уравнения биссекторных плоскостей двугранных углов между плоскостями:
- 1)
- ;
- 2)
- .
- 1)
- Найдем какую-нибудь точку пересечения плоскостей и (она нам пригодится в
конце). Например, подойдет точка . Найдем направляющий вектор линии
пересечения плоскостей, т.е. такой вектор , который параллелен обеим
плоскостям:
Например, подойдет вектор .
Тогда в качестве плоскости, перпендикулярной обеим данным, можно взять плоскость .
Найдем направляющий вектор пересечения с , т.е. вектор , удовлетворяющий системе:
Например, подойдет вектор .
Найдем направляющий вектор пересечения с , т.е. вектор , удовлетворяющий системе:
Например, подойдет вектор .
Можно проверить, что и имеют одинаковую длину (нам просто повезло; в отсутствие такого везения пришлось бы их отнормировать).
Векторы и по построению являются перпендикулярами к линии пересечения плоскостей и , поэтому одна биссекторная плоскость натянута на векторы и , а вторая – на векторы и .
Найдем вектор нормали к первой биссекторной плоскости, т.е. , удовлетворяющий системе:
например, подойдет вектор .
Тогда первая биссекторная плоскость задается уравнением вида , находится из условия принадлежности этой плоскости точки , которую мы нашли в начале:
Итак, первая биссекторная плоскость имеет уравнение .
Вторая ищется совершенно аналогично. Сначала из системы
находим вектор , перпендикулярный и , т.е. вектор нормали ко второй биссекторной плоскости. Получаем .
Тогда вторая биссекторная плоскость задается уравнением вида , где находится из условия принадлежности этой плоскости точки :
Итого, вторая биссекторная плоскость задается уравнением .
- 2)
- Снова начнем с поиска пересечения плоскостей. Точка удовлетворяет обоим
уравнениям, следовательно лежит на линии пересечения (понадобится в конце). Направляющий
вектор линии пересечения находится из системы
которая говорит о том, что вектор параллелен и . Например, подойдет вектор .
Плоскость натянута на векторы и . Найдем вектор плоскости , который перпендикулярен вектору , т.е. линии пересечения плоскостей и :
Положим . Тогда .
Плоскость натянута на векторы и . Найдем вектор плоскости , который перпендикулярен вектору :
Положим . Тогда . Можно проверить, что векторы и имеют равные длины.
Тогда первая биссекторная плоскость натянута на векторы и , а вторая – на векторы и .
Нормаль к первой биссекторной плоскости удовлетворяет системе
Например, можно взять . Тогда первая биссекторная плоскость задается уравнением вида , где находится подстановкой точки (нашли ее в начале решения).
Нормаль ко второй биссекторной плоскости удовлетворяет системе
Например, подойдет . Тогда вторая биссекторная плоскость задается уравнением вида , где определяется подстановкой точки .
Таким образом, получены ответы и .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти точку, симметричную точке относительно плоскости .
Чтобы точка была симметрична точке относительно плоскости , нужно, чтобы прямая
была перпендикулярна плоскости и чтобы точка пересечения плоскости и прямой делила
отрезок попалам.
Проведем через точку прямую, перпендикулярную плоскости. Направляющим
вектором данной прямой будет нормаль к плоскости. Таким образом, мы можем взять как
направляющий вектор прямой. Получаем:
Это и будет нашей прямой .
Найдем значение параметра , соответствующего точке пересечения этой прямой и нашей
плоскости:
Точке соответствует , середине отрезка соответствует , следовательно, точке
соответствует .
Отсюда: .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти точку , симметричную точке относительно прямой
Найдем точку на прямой такую, что .
Любая точка прямой имеет вид при некотором . Соответственно, вектор , проведенный в точку прямой , имеет координаты . Условие означает равенство нулю скалярного произведения направляющего вектора прямой и вектора :
Точку теперь можно найти так: , т.е.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти расстояние от точки до прямой:
Идея решения: прямая у нас задана пересечением плоскостей. Проведем через точку
плоскость , перпендикулярную нашей прямой. Тогда мы сможем найти точку пересечения
плоскости и нашей прямой. Эта точка пересечения будет основанием перпендикуляра, опущенного
из точки на нашу прямую (так как вся плоскость перпендикулярна прямой, то и будет ей
перпендикулярно).
Таким образом, расстояние от точки до прямой будет равно расстоянию от до точки
.
Заметим, что так как прямая задана пересечением плоскостей, то нормали к этим плоскостям
перпендикулярны нашей прямой. То есть мы можем использовать векторы и как
направляющие для плоскости .
Таким образом, мы можем записать параметрическое уравнение , используя векторы и
и точку (так как нам нужно, чтобы плоскость проходила через эту
точку):
Теперь найдем точку пересечения этой плоскости и нашей прямой:
Получаем, что точкой пересечения будет .
Тогда расстояние от до нашей прямой = расстоянию между точками и , что равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Составить уравнение плоскости, проходящей через ось и равноудаленной от точек и .
Рассмотрим плоскость , задающуюся уравнением . Расстояние от нее до точки равно . Расстояние от нее до точки равно . Таким образом, эта плоскость не удовлетворяет условию задачи.
Все остальные плоскости, проходящие через ось , имеют вид (однопараметрическое семейство). Вектор нормали к плоскости имеет вид .
«Пройдем» в направлении от точки так, чтобы попасть на плоскость, т.е. найдем такое , что :
Таким образом, расстояние от точки до плоскости равно длине вектора :
Аналогично, найдем такое , что :
Расстояние от до равно
Из условия находим или .
Итого, нам подходят две плоскости: и .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Установить в каждом из следующих случаев, лежит ли прямая в плоскости , параллельна плоскости или пересекает ее; в последнем случае найти точку пересечения прямой и плоскости:
- 1.
- ,
- 2.
- ,
- 3.
- ,
- 4.
- ,
- 5.
- ,
Заметим, что чтобы прямая была параллельна плоскости или лежала в ней, необходимо, чтобы её
направляющий вектор был параллелен этой плоскости ( направляющий вектор прямой был
перпендикулярен нормали к плоскости). Соответственно, так как плоскости заданы общим
уравнением , то мы будет проверять, перпендикулярен ли направляющий
веткор прямой вектору через скалярное произведение (если вектора перпендикулярны, то их
скалярное произведение равно 0).
Чтобы различить лежит ли прямая в плоскости или она ей параллельна, нужно будет проверить, лежит
ли какая-то одна точка прямой на плоскости (подставив точку в уравнение плоскости).
- 1.
- ,
Прямая задана каноническим уравнением, так что мы сразу получаем:
Направляющий вектор прямой:
Точку на прямой:
Проверим, пересекает ли прямая плоскость:
- получаем, что прямая либо параллельна, либо принадлежит плоскости.
Проверим, лежит ли прямая в плоскости:
- получаем, что прямая не принадлежит плоскости. Значит, параллельна.
- 2.
- ,
Прямая задана каноническим уравнением, так что мы сразу получаем:
Направляющий вектор прямой:
Точку на прямой:
Проверим, пересекает ли прямая плоскость:
- получаем, что прямая пересекает плоскость
Чтобы найти в какой именно точке это происходит, перепишем уравнение прямой в параметрическом виде, а потом подставим получившиеся соотношения в уравнение плоскости:
Подставляем:
Получаем точку:
- 3.
- ,
Прямая задана каноническим уравнением, так что мы сразу получаем:
Направляющий вектор прямой:
Точку на прямой:
Проверим, пересекает ли прямая плоскость:
- получаем, что прямая либо параллельна, либо принадлежит плоскости.
Проверим, лежит ли прямая в плоскости:
- получаем, что прямая принадлежит плоскости
- 4.
- ,
Так как прямая здесь задана пересечением плоскостей, то можем сразу найти есть ли у прямой и плоскости общие точки. Если есть одна общая точка, то прямая пересекает плоскость , если общих точек бесконечно много, то прямая лежит в плоскости , а если общих точек нет, то прямая плоскости параллельна.
Общие точки (если они есть) будут принадлежать и плоскости , и плоскостям, пересечение которых образует прямую . Таким образом общие точки будут решением системы:
У этой системы есть одно решение: . Значит, прямая пересекает плоскость.
- 5.
- ,
Так как и здесь прямая задана пересечением плоскостей, то будем решать аналогично предыдущему пункту. Запишем систему:
У этой системы решений нет. Следовательно, прямая параллельна плоскости.
Ответ.
- 1.
- параллельна
- 2.
- пересекает в точке
- 3.
- прямая лежит в плоскости
- 4.
- пересекает в точке
- 5.
- параллельна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каком необходимом и достаточном условии четыре плоскости образуют тетраэдр?
Если наши четыре плоскости образуют тетраэдр, то это означают, что любые три плоскости из этих
четырех имеют только одну общую точку.
Это означает, что никакая тройка нормалей к этим четырем плоскостям некомпланарна. То
есть:
Далее, нам нужно, чтобы все четыре плоскости не пересекались в одной точке, иначе никакого
тетраэдра не получится.
Четыре плоскости не пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Провести плоскость через параллельные прямые:
Пусть уравнение плоскости . Нам известны 2 точки на плоскости и вектор направления прямых . Найдем еще один вектор, лежащий на этой плоскости . Теперь мы можем найти вектор нормали плоскости , используя то, что вектор нормали перпендикулярен двум векторам:
Получаем вектор . Осталось найти свободный член, подставив в уравение плоскости точку:
Тогда уравнение плоскости:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Составить уравнения прямой, которая проходит через точку и образует с осями координат углы, соответственно равные . Система координат прямоугольная.
Направляющий вектор прямой, в соответствии с условием, имеет координаты
Таким образом, канонические уравнения прямой в пространстве
или, что то же самое,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости и пересекающей прямую
но не имеющей общих точек с прямой
.
Заметим, что прямая лежит в плоскости . Это можно понять, если подставить формулы для , , из параметрического уравнения в общее уравнение , и увидеть, что будет:
То есть тождественное равенство нулю вне зависимости от . Таким образом, любая точка,
лежащая в , лежит также и в .
Далее, поскольку искомая прямая тоже лежит в плоскости и не пересекает , она должна быть
параллельна . Следовательно, за направляющий вектор искомой прямой можно взять
направляющий вектор прямой , то есть .
Определим, в какой точке пересекаются прямая и плоскость , для этого решим систему:
|
Ее решением является точка . Таким образом, искомая прямая должна проходить через эту точку, т.е. ее каноническое уравнение
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Определить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают. Если плоскости пересекаются, найти канонические уравнения линии пересечения:
- 1.
- 2.
- 3.
- 4.
- 5.
- 6.
- 1.
- . Так как вектора нормали не коллинеарны, то плоскости пересекаются. Вектор направления прямой будет векторным произведением нормалей к плоскостям. Нормали , тогда векторное произведение: . Точка, через которую проходят обе плоскости, . Тогда каноническое уравнение линии пересечения: .
- 2.
- . Мы можем второе уравнение плоскости поделить на 3 и от этого плоскость не изменится: , получится первое уравнение, то есть плоскости совпадают.
- 3.
- . Вектора нормали и , они отличаются умножением на константу, следовательно коллинеарны. Если поделим на два второе уравнение, то получим: . Отличается только свободный член, значит, плоскости параллельны.
- 4.
- Нам даны направляющие векторы плоскостей
и . Нужно понять являются ли они компланарными, для этого
запишем их в матрицу и найдем ранг. Если ранг равен двум, то 4 вектора компланарны,
значит, плоскости либо совпадают, либо параллельны.
Ранг получился три, то есть вектора не компланарны. Следовательно, плоскости пересекаются. Найдем вектор направления прямой пресечения этих двух плоскостей как векторное произведение нормалей. Нормали к этим плоскостям, в свою очередь, найдем как векторное произведение направляющих векторов плоскости: , .
Далее: - направляющий вектор искомой прямой пересечения. Осталось найти точку на прямой. Для этого давайте сначала запишем уравнение первой и второй плоскости в общем виде:И нам нужна точка, удовлетворяющая и первому и второму уравнению. Подойдёт, например, точка Тогда можем записать каноническое уравнение прямой пересечения наших плоскостей:
- 5.
- Нам даны направляющие векторы плоскостей и . Найдем нормали этих плоскостей , . Заметим, что вектора нормали коллинеарны, значит, плоскости либо параллельны либо совпадают. Если они совпадают, то любая точка, принадлежащая первой плоскости, принадлежит и второй. Проверим точку : из первого равенства для , следует, что , подставляя это значение во второе для , получим , тогда . Следовательно, точка принадлежит второй плоскости. Следовательно, параллельными эти плоскости быть не могут. Значит, они совпадают.
- 6.
- Рассмотрим нормаль к первой плоскости: . Заметим, что у второй плоскости такой же вектор нормали. Значит, они либо параллельны, либо совпадают. Если они совпадают, то любая точка, принадлежащая первой плоскости, принадлежит и второй. Проверим точку , лежащую в первой плоскости и подставим её координаты во второе уравнение: , точка не лежит на второй плоскости. Значит, плоскости параллельны.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и отсекающей на осях координат равные по длине отрезки.
Напомним, что общее уравнение плоскости имеют вид: , где - вектор
нормали к данной плоскости.
Пусть плоскостей отсекает от осей координат равные по длине отрезки. Это означает, плоскость будет
проходить через точки вида , и .
Тогда подставим такие точки в общее уравнение плоскости, получим:
, , .
Отсюда следует, что , а, значит, и .
Получили, что нормалями к плоскостям из условия будут вектора вида .
Заметим, что нормали вида и вида задают параллельные плоскости (то есть
нам достаточно взять только одну нормаль из подобной пары).
Мы можем взять любой для нормали, например, . Тогда получаем следующие
возможные нормали: , .
Получаем, что возможные плоскости имеют вид:
Осталось понять, какие выбрать , чтобы плоскости проходили через нужную точку. Для этого
подставим точку в уравнения плоскостей:
Ответ.
, , ,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
От общего уравнения плоскости
перейти к её параметрическому уравнению.
По сути, параметрическое уравнение плоскости является просто-напросто общим решением вот этого уравнения
Из этого уравнения следует, что . Обозначим .
Тогда . Далее, надо и просто выразить через и .
Ясно, что , . Получаем параметрическое уравнение:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей и и параллельной вектору .
Пусть общее уравнение искомой плоскости есть
Тогда, во-первых, найдём направляющий вектор линии пересечения плоскостей
и . Он равен векторному произведению нормалей пересекающихся плоскостей
и . То есть, направляющий вектор прямой
есть .
Следовательно, раз искомая плоскость проходит через эту прямую, то её нормаль
ортогональна к . Получаем, таким образом, первое условие на коэффициенты:
Далее, видно, что на прямой лежит, например, точка . Значит, получаем второе условие:
Кроме того, по условию нам дано, что искомая плоскость параллельна вектору . Таким образом, получаем третье условие:
так как нормаль к плоскости должна быть ортогональна этому вектору.
Таким образом, имеем систему с четырьмя неизвестными и тремя уравнениями:
Поскольку уравнений на одно меньше, чем неизвестных, то система имеет бесконечно много решений - но это и так понятно, поскольку общее уравнение плоскости определено с точностью до умножения на ненулевой скаляр. Тогда, зафиксировав одно из чисел или получим, например, такое решение системы:
то есть уравнение плоскости будет
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Установить , лежит ли прямая в плоскости параллельна плоскости или пересекает ее; в последнем случае найти точку пересечения прямой и плоскости:
Направляющий вектор прямой можно сразу увидеть из её канонического уравнения. Он равен
.
Нормаль же к плоскости тоже сразу видна из её общего уравнения - это вектор .
И, поскольку (т.к. их скалярное произведение не равно 0), то прямая точно не лежит в
плоскости - иначе бы её направляющий вектор был бы перпендикулярен нормали к плоскости.
Из канонического уравнения легко соорудить её параметрическое уравнение:
Попробуем найти точку их пересечения, подставив параметрическое задание прямой в уравнение плоскости и найдя при котором получается пересечение:
Откуда . Значит, прямая пересекает плоскость при то есть в точке
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Составить уравнение плоскости, проходящей через 3 точки
Наша плоскость проходит через точку и имеет направляющие векторы и
Значит, любая точка нашей плоскости удовлетворяет уравнению
Раскрывая определитель, получим такое уравнение
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти угол между прямыми
и
Для начала, нужно вычислить направляющие векторы прямых заданных как пересечения
плоскостей.
Направляющий вектор первой прямой находится по формуле
где - нормали к первой и второй плоскости, которые пересекаются по прямой Таким
образом,
Аналогично, направляющий вектор второй прямой находится по формуле
где - нормали к первой и второй плоскости, которые пересекаются по прямой Таким
образом,
Тогда угол между и - это то же самое, что угол между их направляющими векторами и
Значит, он вычисляется по формуле
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельную прямой
Раз точка должна лежать в этой плоскости, то обязательно должно быть выполнено, что Кроме того, нормаль к нашей плоскости обязана быть коллинеарна нормали прямой
Нормаль к прямой - это любой вектор, ортогональный её направляющему вектору
Можно, к примеру, взять вектор
Таким образом, наше уравнение плоскости имеет вид притом
обязательно следовательно, Итого имеем уравнение нашей плоскости
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Написать каноническое уравнение линии пересечения плоскостей
и
Ясно, что, поскольку нормальные векторы и неколлинеарны, то наши
плоскости пересекаются.
Таким образом, нам нужно написать каноническое уравнение прямой в трёхмерном пространстве
по которой пересекаются эти плоскости.
Направляющий вектор этой прямой должен быть ортогонален обоим нормалям Таким
образом, проще всего этот направляющий вектор найти как векторное произведение и
То есть
Осталось только найти точку, которая принадлежит обеим плоскостям.
Для этого достаточно найти частное решение системы уравнений
Подойдёт, например, точка
Таким образом, каноническое уравнение прямой пересечения будет иметь вид