Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При помощи алгоритма поиска собственных чисел, собственных векторов, и ортогональной замены координат привести следующую кривую второго порядка к каноническому виду
1. Матрица квадратичной части имеет вид
Её собственные числа - это корни уравнения
Вычисляя, получим, что , .
2. Следовательно, после ортогональной замены координат при будет стоять коэффициент , а при
будет коэффициент . Проверим это. Для этого найдем матрицу этой замены, то есть матрицу,
составленную из собственных векторов матрицы .
Собственный вектор, соответствующий будет, например, . Отнормируем его и получим
.
Собственный вектор, соответствующий будет, например, . Отнормируем его и получим
.
Следовательно, матрица перехода будет такой:
3. Сделаем соответствующую замену координат, то есть замену
Подставляя это всё дело в исходное уравнение
получим
Аккуратно всё раскрывая и сокращая, получаем такое уравнение в новых координатах:
Далее, собираем полный квадрат (в данном случае он только один - при ):
Осталось сделать сдвиг начала координат по формулам
И получим уравнение
Таким образом, видим, что это парабола с параметром .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При помощи алгоритма поиска собственных чисел, собственных векторов, и ортогональной замены координат привести следующую кривую второго порядка к каноническому виду
1. Матрица квадратичной части имеет вид
Её собственные числа - это корни уравнения
Вычисляя, получим, что , .
2. Следовательно, после ортогональной замены координат при будет стоять коэффициент , а при
будет коэффициент . Проверим это. Для этого найдем матрицу этой замены, то есть матрицу,
составленную из собственных векторов матрицы .
Собственный вектор, соответствующий будет, например, . Отнормируем его и получим
.
Собственный вектор, соответствующий будет, например, . Отнормируем его и получим
.
Следовательно, матрица перехода будет такой:
3. Сделаем соответствующую замену координат, то есть замену
Подставляя это всё дело в исходное уравнение
получим
Аккуратно всё раскрывая и сокращая, получаем такое уравнение в новых координатах:
Далее, собираем полные квадраты:
Осталось сделать сдвиг начала координат по формулам
И получим уравнение
Поделив всё уравнение на , получим:
Таким образом, видим, что это эллипс.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При помощи алгоритма поиска собственных чисел, собственных векторов, и ортогональной замены координат привести следующую кривую второго порядка к каноническому виду
1. Матрица квадратичной части имеет вид
Её собственные числа - это корни уравнения
Вычисляя, получим, что , .
2. Следовательно, после ортогональной замены координат при будет стоять коэффициент , а при
будет коэффициент . Проверим это. Для этого найдем матрицу этой замены, то есть матрицу,
составленную из собственных векторов матрицы .
Собственный вектор, соответствующий будет, например, . Отнормируем его и получим
.
Собственный вектор, соответствующий будет, например, . Отнормируем его и получим
.
Следовательно, матрица перехода будет такой:
3. Сделаем соответствующую замену координат, то есть замену
Подставляя это всё дело в исходное уравнение
получим
Аккуратно всё раскрывая и сокращая, получаем такое уравнение в новых координатах:
Далее, собираем полные квадраты:
Осталось сделать сдвиг начала координат по формулам
И получим уравнение
Поделив всё уравнение на , получим:
Таким образом, видим, что это эллипс.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Написать уравнение эллипса с вершинами и , зная, что на оси этот эллипс высекает хорду длины .
Запишем уравнение эллипса: .Нам даны вершины эллипса, которые лежат на одной
прямой, значит эта прямая одна из осей эллипса и центр эллипса находится на середине отрезка,
соединяющего вершины. Получается центр находится в точке , а так как от центра до вершины
расстояние 4, то коэффициент , ось эллипса совпадает с осью . Тогда наше уравнение
приобретает вид: .
Далее воспользуемся условием про хорду длины 6. В силу симметричности эллипса относительно осей (а одна наша ось это координатная ось ), получается, что точки пересечения оси и эллипса это точки и . Подставим точку , в уравнение и получим, что . Тогда уравнение эллипса:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Написать уравнение эллипса, пересекающего ось в точках и и касающегося оси в точке , зная, что его оси параллельны осям координат.
Запишем уравнение эллипса: . Схематичный рисунок выглядит так: Из него видно, что если оси эллипса параллельны осям координат, то точка касания лежит на оси эллипса. Из аналогичных соображений, вторая ось проходит через центр отрезка, соединяющего и (точка ), и перпендикулярна оси . Тогда центр эллипса лежит на пересечении прямых и , то есть имеет координаты . Тогда наше искомое уравнение проясняется, и теперь оно выглядит . Теперь подставим точку , чтобы найти коэффициент , он получается равен . Аналогично найдем коэффициент , подставив координаты точки , получим . В итоге, у нас получилась окружность . Откуда видно, что наш эллипс оказался на самом деле окружностью.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Написать уравнения эллипса и гиперболы с фокусами и , проходящих через точку .
Обозначим: , , .
Заметим, что так как фокальная ось совпадает с осью и центр отрезка (=
центр эллипса/гиперболы) совпадает с началом координат, то уравнения кривых будут
каноническими:
у эллипса будет: и у гиперболы:
-
Эллипс - это ГМТ, для которых сумма расстояний до фокусов и - величина постоянная (и равна ).
Так как сумма расстояний до фокусов постоянна для всех точек эллипса, то .
Получаем, что , а фокальное расстояние . Отсюда .
Получаем уравнение эллипса:
-
Гипербола - это ГМТ, для которых абсолютное значение разности расстояний до фокусов и постоянно (и равно ).
Получаем следующее соотношение: .
Отсюда: , .
Получаем уравнение гиперболы:
Ответ.
,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать оптическое свойство эллипса:
Луч света, выходящий из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса, попадает в другой его
фокус.
Лемма. Пусть дана некоторая прямая и две точки и , находящиеся по одну сторону от этой
прямой.
Пусть нужно найти такую точку на прямой , что сумма расстояний минимальна.
Утверждается, что такая точка обязательно существует и единственна и найти её можно следующим
образом - острые углы между и и между и совпадают.
(В оптике этот принцип называют принципом Ферма, или принципом угол падения равен углу
отражения, поскольку свет среди всех возможных траекторий выбирает ту траекторию,
которая минимизирует его время, а если среда однородна, то минимизация времени это то же
самое, что минимизация расстояния).
Доказательство леммы.
Построим точку симметричную относительно прямой . И давайте теперь будем искать такую
точку , что сумма расстояний от до и от до минимальна. То есть будем теперь
минимизировать величину
Но ясно, что если - это точка, обладающая указанным свойством, то есть такая точка, что острые углы между и и между и совпадают, то минимум величины
достигается именно при - это видно попросту из неравенства треугольника .
Но поскольку , то минимизация величины
равносильна минимизации величины
И мы только что доказали, что эта величина минимизируется только если совпадает
с той самой точкой , где угол падения равен углу отражения. Лемма доказана.
Доказательство оптического свойства эллипса.
Заметим вначале, что для любой точки вне эллипса сумма расстояний от до и от до
будет строго больше, чем .
Теперь проведем касательную к эллипсу в точке .
Поскольку сумма всегда равна , а для любой точки на касательной, находящейся
вне эллипса, как мы заметили, , то получается, что в точка минимизирует путь
от к через касательную. То есть в точке угол падения равен углу отражения.
Следовательно, свет пойдёт именно по этому пути.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Провести полное доказательство того, что для гиперболы отношение расстояния от любой точки на ней до фокуса к расстоянию от этой точки до ближайшей директрисы постоянно и равно эксцентриситету.
Рассмотрим левый фокус гиперболы . Пусть .
В то же время посчитаем расстояние до левой директрисы (если мы уж взяли левый фокус, то и
директриса должна быть левой). .
1 случай. Если мы сидим на левой ветви гиперболы. Тогда ,
, и тогда
2 случай. Если же мы сидим на правой ветви гиперболы. Тогда , , и тогда
И мы всё доказали.
Для случая правого фокуса всё доказывается аналогично.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Провести полное доказательство того, что геометрическое и алгебраическое определения гиперболы эквивалентны.
1. (из геометрического в алгебраическое).
Пусть дано ГМТ на плоскости, удовлетворяющее определению гиперболы.
То есть множество точек, таких, что модуль разности расстояний от этих точек до двух
фиксированных точек и постоянный и равен , где , - расстояние между
и .
Введем прямоугольную систему координат так, чтобы точки и имели координаты ,
.
Тогда условие
можно расписать так. Пусть произвольная точка на гиперболе имеет координаты :
, ,
Возведем обе части в квадрат:
Еще раз возводим в квадрат:
Делим теперь всё на :
И теперь делим на :
Осталось лишь обозначить за величину , и мы получим нужно нам уравнение
2. (из геометрического в алгебраическое).
Пусть дано множество точек на плоскости, удовлетворяющих уравнению
То есть
Тогда давайте выберем две точки и . Тогда утверждается, что модуль
разности расстояний от любой точки до и до равен .
Действительно, если обозначить за расстояние от до , то , если
обозначить за расстояние от до , то .
Далее, вычислим :
Абсолютно аналогично можно показать, что .
Причем заметим, что если мы находится на правой ветви гиперболы, то , а
и в таком случае , а если мы находимся на левой ветви гиперболы, то
, и вновь получаем, что .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Во что превратится гипербола, если в её определении положить ?
В таком случае мы получаем такое определение: геометрическое место точек плоскости,
модуль разности расстояний от которых до и до равен расстоянию между
и .
Нетрудно понять, что это будут два противоположно направленных луча, исходящих из и и
лежащие на прямой, проходящей через и .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Во что превратится эллипс, если:
a) в его определении положить ?;
b) в его определении положить ?
a) Если , то получаем такое определение: ГМТ, сумма расстояний от которых до двух
данных точек и равна расстоянию между и .
Тогда ясно, что это ГМТ будет ничем иным, как отрезком с концами , .
Действительно, любая точка этого отрезка удовлетворяет такому определению, а любая точка вне
этого отрезка ему не удовлетворяет по неравенству треугольника для треугольника .
b) Если , то два фокуса склеиваются в один и мы получаем такое определение: ГМТ,
находящихся на расстоянии от некоторой данной точки . Ясно, что это просто
окружность с центром радиуса .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Составить уравнение касательной к гиперболе
параллельной прямой .
Касательная к гиперболе в точке касания имеет уравнение
И, поскольку наша касательная должна быть параллельна прямой то нормали к нашей касательной и к прямой должны быть коллинеарны. То есть вектора и - коллинеарны. То есть, существует такое то . То есть, имеем
Или, исключая получим, что .
Не забудем также, что если - точка касания, то она лежит на гиперболе, то есть удовлетворяет
её уравнению:
Тогда мы имеем систему Из которой выражая и подставляя во второе
уравнение, получаем квадратное уравнение на .
Оно имеет 2 решения:
1 случай. тогда . Тогда уравнение касательной имеет вид
2 случай. тогда . Тогда уравнение касательной имеет вид
То есть существует две касательных, удовлетворяющих условию задачи.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Определить тип кривой, приведя к каноническому виду уравнение
Согласно алгоритму из доказательства теоремы о классификации, сначала нужно найти синус и
косинус угла поворота на который нужно повернуть оси, чтобы занулить смешанную часть
Он определяется условием то есть, в нашем случае
Значит, раз и то мы имеем, что то есть
Вспоминая, что при этом будем иметь, что а, значит,
То есть
А, значит,
Откуда уже легко найти, что, поскольку то имеем, что
а тогда понятно, что
Таким образом, наша первая замена будет иметь вид то есть
И, подставляя в уравнение
эту замену, будем иметь: Или, раскрывая скобки,
Тогда, собирая полные квадраты, получим
Или, иначе говоря
Делая, далее, замену получим уравнение в каноническом виде
Таким образом, получили каноническое уравнение гиперболы.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Определить тип кривой, приведя к каноническому виду уравнение
Согласно алгоритму из доказательства теоремы о классификации, сначала нужно найти синус и
косинус угла поворота на который нужно повернуть оси, чтобы занулить смешанную часть
Он определяется условием то есть, в нашем случае
Значит, раз и то мы имеем, что то есть
Вспоминая, что при этом будем иметь, что а, значит,
То есть
А, значит,
Откуда уже легко найти, что, поскольку то имеем, что
а тогда понятно, что
Таким образом, наша первая замена будет иметь вид то есть
И, подставляя в уравнение
эту замену, будем иметь:
Что преобразуется после раскрытия скобок в
Сокращая на 25, получаем уравнение То есть, у нас получалась парабола с параметром из теоремы о классификации.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Проверить, что в доказательстве теоремы о классификации кривых второго порядка у матрица поворота осей координат на угол против часовой стрелки определитель равен 1.
Действительно, по формуле вычисления определителя