Векторы на плоскости. Операции над векторами. —Каталог задач по Высшей математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Другое - Высшая математика
Векторы на плоскости. Операции над векторами.

Тема Аналитическая геометрия

01 Векторы на плоскости. Операции над векторами.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела аналитическая геометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#35749

Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного $n$ -угольника с его вершинами, равна нулю (т.е. нулевому вектору).

Показать ответ и решение

Мы приведём очень красивое геометрическое доказательство. Но, однако, оно в то же время может показаться "слишком простым". $\text{[math]}$ Разумеется, у этой задачи есть и более алгебраическое, например, координатное решение. Попробуйте придумать его сами.

Геометрически, то есть через векторы, это очень просто доказать.

Пусть мы имеем дело с $n$ -угольником. То есть, мы хотим понять, чему равна сумма $−→ −→ −→ v1+ v2+...+ vn$ векторов, идущих из центра этого $n$ -угольника к его вершинам. Обозначим результат этой суммы за $−→ v.$ Т.е. пускай $−→ −→ −→ −→ v1+ v2+ ...+vn = v.$

Сделаем такой трюк: повернём наш $n$ -угольник на $2πn-$ вокруг его центра. С одной стороны, раз мы повернули картинку, то и результирующий вектор $−→ v$ должен повернуться на $2nπ.$ С другой стороны, понятно, что сумма $−→ −→ −→ v1+ v2+ ...+ vn$ от поворота не изменилась, ведь наш $n$ -угольник как раз симметричен относительно такого поворота, т.е. при повороте на $2πn-$ он перешёл сам в себя.

Следовательно, вектор $−→v,$ который является результирующим вектором суммы $−→v1+ −→v2+ ...+ −→vn$ с одной стороны не изменился, а с другой - повернулся на $2nπ.$ Но вектор, который не меняется при повороте на любой ненулевой угол, может быть только $−→0 .$ Значит, тем самым, ничего не остаётся, кроме как того, что $−→v =−→0.$ Что и требовалось доказать.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#35746

Даны радиус-векторы $−→rA,−→rB$ и $−→rC$ трёх последовательных вершин трапеции $ABCD$ и отношение её оснований $|AD | : |BC | = k.$

Найти радиус-вектор $−→ rD$ четвёртой вершины.

Показать ответ и решение

Для наглядности давайте сначала нарисуем картинку:

$PIC$

Мы здесь ввели прямоугольную декартову систему координат, и все наши радиус-векторы откладываем от точки начала координат, то есть на рисунке от точки $O.$

Далее, поскольку для любой точки $P$ радиус вектор $−r→ P$ есть не что иное, как разность между точками $P$ и началом координат $O,$ то есть $−→ −−→ rP = P O.$

Таким образом, легко видеть, что $−−→ −→ −→ BC = rC − rB$ и $−−→ −→ −→ AD = rD − rA.$
Далее, поскольку основания трапеции параллельны, то вектора $−−B→C$ и $−−A→D$ - одинаково направлены. А по условию нам дано отношение их длин, оно равно: $|AD | : |BC | = k.$

Воспользуемся этим для того, чтобы нужный нам вектор $−−→ AD$ выразить через известный нам по сути вектор $−−→ BC.$

Имеем: $−−→ −−→ AD = k ⋅BC.$ То есть, иными словами: $−→ −→ −→ −→ rD − rA = k ⋅(rC − rB ).$

Следовательно, у нас готов ответ: $−→ −→ −→ −→ rD = k ⋅(rC − rB) + rA.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#67950

В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AD, BE$ и $CF$ . Вычислить $< −−B→C, −−A→D > + < −C→A, −B−→E > + < −−A→B,−C−F→ >$ .

Показать ответ и решение

Введём ортонормированную систему координат с центром в точке $A$ , осью $Ox$ вдоль стороны $AC$ так, что абсцисса точки $C$ имеет положительную координату и вершина $B$ расположена в первом квадранте. Координаты вершин и векторов:

A = (0,0),B = (p,q),C = (k,0), D = 1 (p + k,q),F = 1(p,q),E = 1(k,0) , 2 2 2 −A−→D = 1(p+ k, 1 q),−B−C→ = (k− p,− q),−C→A = (− k,0) 2 2 −B−→E = (1k− p,− q),−−A→B = (p,q),−−C→F = (1p − k, 1q) 2 2 2

Таким образом, искомая сумма равна

1 ((p+ k)(k− p)− q2 − k2 + 2kp+ p(p− 2k)+ q2) = 0 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#67949

Какой угол образуют векторы $s$ и $t$ , если известно, что векторы $p = s + 2t$ и $q = 5s− 4t$ взаимно перпендикулярны, а длина векторов $s$ и $t$ равна 1?

Показать ответ и решение

Выпишем условие перпендикулярности векторов $p$ и $q$ :

0 = < p, q >= < s+ 2t, 5s− 4t >= 5 < s, s > +6 < t, s > − 8 < t, t > .

По условию длина векторов $s$ и $t$ равна 1, следовательно $< s, s >= 1$ и $< t, t >= 1$ .

Таким образом, из условия перпендикулярности имеем

< t, s >= 1. 2

В то же время, из определения скалярного произведения:

< t, s >= |t|⋅|s|⋅cosφ = cosφ,

где $φ$ – угол между $t$ и $s$ .

Таким образом, $1 cosφ = 2$ , откуда $π φ = 3-$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#39794

Найти площадь треугольника, натянутого на векторы $v = (10,0,− 2)$ и $u = (1,1,14)$

Показать ответ и решение

По определению векторного произведения, длина вектора $[v,u]$ равна площади параллелограмма, натянутого на $v$ и $u.$ Но ясно, что площадь треугольника, натянутого на $v$ и $u,$ равна половине этой площади.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#39736

В пространстве дан ортонормированный репер $Oe1,e2,e3$ и пусть его ориентация положительна. То есть, по определению это означает, что кратчайший поворот, если наблюдать его с конца вектора $e3,$ от вектора $e1$ к вектору $e2$ происходит против часовой стрелки, Тогда найти ориентацию:

a) Репера $e2,e1,e3$ ;
b) Репера $− e ,e ,e 1 2 3$ ;
с) Репера $e3,e1,e2$ ;
d) Репера $e ,e ,e 3 2 1$ ;
e) Репера $e1,e2,e2$ ;

Показать ответ и решение

Сделаем общее наблюдение, что, во-первых, если поменять два вектора в репере местами, то ориентация у этого базиса сменится. И если один из векторов репера развернуть в другую сторону (т.е. вместо $v$ взять $− v$ ), то ориентация репера тоже сменится. Это наблюдение и поможет нам решить нашу задачу.

a) Cменили первый и второй векторы местами, значит будет отрицательная ориентация;
b) Умножили один из векторов на $− 1,$ то есть развернули в другую сторону, значит будет отрицательная ориентация;
с) Сменили местами сначала первый и третий векторы, а потом второй и третий. Значит ориентация не изменилась, то есть она положительна. ;
d) Сменили местами первый и третий векторы. Значит, ориентация будет отрицательная.
e) Ориентация компланарной тройки не определена.

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#36862

Доказать, что если нам даны точки $A (a1,a2)$ и $B (b1,b2),$ причём $A ⁄= B$ (т.е. эти две точки определяют невырожденный отрезок), то, если мы захотим этот отрезок $AB$ разделить в отношении $λ , μ$ то в этом отношении он будет делиться точкой $X (x1,x2),$ координаты которой вычисляются по формулам:

μai +-λbi xi = μ+ λ , i = 1,2.

(в трёхмерном пространстве формулы абсолютно аналогичные).

Показать ответ и решение

Очевидно, что при данных условиях задачи координаты векторов $−−→ AX$ и $−−→ XB$ равны, соответственно $(x1 − a1,x2 − a2)$ и $b1 − x1,b2 − x2$ (мы просто вычли из координат конца вектора координаты его начала).
Ну а что значит, что точкой $X$ мы хотим разбить отрезок $AB$ в отношении $λ μ$ (считая от вершины $A$ )? Это значит, что $μ−A−→X = λ−X−→B,$ ни больше ни меньше. В координатах эти условия записываются как:

({ μ(x1 − a1) = λ(b1 − x1) ( μ(x2 − a2) = λ(b2 − x2)

Эта система уравнений с неизвестными $x1,x2$ имеет единственное решение (считаем $λ ⁄= 0$ и $μ ⁄= 0$ ):

μai +-λbi xi = μ+ λ , i = 1,2.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#36861

Докажите следующие свойства скалярного произведения:
1. $∀ −→x ,−→y$ выполнено: $< −→x,−→y >=< −→y ,−→x >$ - симметричность.
2. $∀ λ ∈ ℝ,∀ −→x ,−→y$ выполнено: $< λ−→x,−→y >= λ < −→x ,−→y >$ - вынесения множителя за знак скалярного произведения из первого аргумента.
3. $∀ −→x ,−→y ,−→z$ выполнено: $< −→x + −→y ,−→z >= < −→x,−→z > + < −→y ,−→z >$ - аддитивность по первому аргументу.
4. $−→ ∀ x$ выполнено: $−→ −→ −→ 2 < x, x >= |x | ≥ 0$ - положительная определённость и связь с длинной.

Показать ответ и решение

1. Это свойство симметричности следует напрямую из нашего определения скалярного произведения: $< −→x ,−→y >= |−→x ||−→y |cos α$ , где $α$ - кратчайший угол поворота от вектора $−→x$ к вектору $−→y .$
Действительно, если мы просто поменяем $−→ x$ и $−→ y$ местами, то в формуле $|−→x ||−→y |cosα$ просто поменяются местами сомножители, а угол $α$ останется прежним - всё равно мы берём кратчайший угол поворота от одного вектора к другому, а что от $−→ x$ к $−→ y ,$ что от $−→ y$ к $−→ x$ кратчайший угол один и тот же.

2. Рассмотрим три случая:
2.1. $λ = 0.$ Тогда $−→ −→ −→ −→ −→ < λx ,y >= < 0,y >= |0||y |cosα = 0,$ т.к. первый сомножитель - т.е. длина нулевого вектора - равна $0.$
2.2. $λ > 0.$ Тогда $< λ−→x ,−→y >= |−λ→x||−→y |cosα = λ|−→x||−→y |cosα =$ $λ < −→x ,−→y >$ , т.к. при $λ > 0$ направление вектора $−→ x$ не меняется, а, значит, угол $α$ остаётся прежним.
2.3. $λ < 0$ Здесь всё аналогично предыдщуему случаю 2.2. Однако при $λ < 0$ вектор $−→ x$ сменит направление, и, значит, ближайшим углом поворота будет уже не $α,$ а $π− α,$ а $cos(π − α) = − cosα$ - по формулам приведения. Значит, косинус сменит знак, и мы вновь получим, что $< λ−→x ,−→y >= λ < −→x,−→y >$ (отрицательный знак у лямбды и смена знака косинуса друг друга компенсируют).

3. Докажем это свойство, пользуясь формулой для вычисления скалярного произведения на плоскости (в пространстве всё будет работать аналогично):

$−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ < x + y ,z >= < (x1 + y1,x2 + y2),(z1,z2) >= (x1 + y1)z1 + (x2 + y2)z2 = x1z1 + x2z2 + y1z1 + y2z2 =< x,z > + < y , z > .$

4. Имеем $−→ −→ 2 2 −→ 2 < x,x >= x1x1 + x2x2 = x1 + x2 = |x | ≥ 0,$ и мы всё доказали.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#36859

На множестве всех векторов на плоскости и в трёхмерном пространстве у нас определены $2$ операции:
1. Сложение двух векторов $−→x + −→y .$ Сложение геометрически определяется через правило параллелограмма, известное из школы. А именно: вектор $−→ −→ x + y$ есть диагональ параллелограмма, построенного на векторах $−→x$ и $−→y$ (начинающаяся в той же точке, что и вектора $x$ и $y$ ).

$PIC$

2. Умножение вектора $−→x$ на любой скаляр $λ ∈ ℝ.$ Геометрически это означает, что мы просто длину вектора $−→x$ умножаем на $λ$ (притом если $λ < 0,$ то наш вектор после умножения на $λ$ меняет направление на противоположное, а если $λ > 0$ - то смотрит туда же, куда и раньше.)

Задача. Докажите следующие свойства этих операций:
a) $∀−→x,−→y$ выполнено: $−→x +−→y = −→y + −→x$ - коммутативность сложения.
b) $∀−→x,−→y ,−→z$ выполнено: $−→x +(−→y + −→z ) = (−→x + −→y ) + −→z$ - ассоциативность сложения
c) $−→ −→ ∀x ∃y$ такой, что выполнено: $−→ −→ −→ x + y = 0$ - существование у любого вектора обратного.

Показать ответ и решение

a) Это свойство с очевидностью следует из геометрического определения сложения векторов. Действительно, в каком бы порядке мы ни взяли вектора $−→x$ и $−→y ,$ параллелограмм, построенный на них, будет одним и тем же, а, значит, одной и той же будет сумма, вне зависимости от порядка: $−→ −→ −→ −→ x + y = y + x$
b) Доказательство проводится методом пристального взгляда на картинку: Сначала сложим вектора в одном порядке: $−→ −→ −→ x + (y + z )$ :

$PIC$

А затем, в другом $(−→x + −→y )+ −→z$ :

$PIC$

Нетрудно видеть, что получается одно и то же, то есть $−→x + (−→y + −→z ) = (−→x + −→y )+ −→z .$
с) Геометрически это более-менее очевидно. В качестве обратного к вектору $−→ x$ нужно взять вектор $− −→x ,$ то есть вектор, коллиеарный и противоположно направленный к вектору $−→ x$ .
Он будет иметь ту же длину, что и $−→ x ,$ но противоположное направление. Тем самым, по правилу параллелограмма, их сумма будет равна $−→0 .$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#36858

Среди следующих векторов найти:
a) пары равных;
b) пары коллинеарных, но не равных;
c) пары векторов одинаковой длины.

$−→ x1 = (− 3,7),$ $−→ x2 = (4,11),$ $−→ x3 = (1,0),$ $−→ x4 = (0,1),$ $−→ x5 = (1,10),$ $−→ x6 = (0,12),$ $−→x7 = (− 3,0),$ $−→x8 = (6,8),$ $−→x9 = (10,10),$ $−x→10 = (5,7),$ $−x→11 = (5,5),$ $−x→12 = (16,2),$ $−x→13 = (1,10),$ $−x→14 = (16,2),$ $−x→15 = (10,0).$

Чтобы решить эту задачу, возможно, понадобится нарисовать картинку и изобразить все эти векторы на плоскости (впрочем, так делать и не обязательно). Но когда наши вектора заданы так как здесь - только двумя числами, то на самом деле совершенно неочевидно, как их все рисовать? А именно: для всех этих векторов из нашего задания, как и для любого другого вектора, заданного лишь своими двумя координатами, существует бесконечно много эквивалентных способов его нарисовать.

Смотрите сами: возьмём, к примеру, вектор $−→ x2 = (4,11).$ С одной стороны, логично его нарисовать вот так - отложить $4$ по иксу и $11$ по игреку.

$PIC$

Ну а с другой стороны, кто нам мешает нарисовать тот же самый $−→ x2 = (4,11),$ скажем, вот так?

$PIC$

На этом рисунке нарисован вектор, равный вектору на предыдущем рисунке. Действительно, они коллинеарны, одинаково направлены, и равны по длине.

И действительно, это только краткая иллюстрация того, что у нас есть большой произвол, как рисовать вектор, если заданы только две его координаты.
Произвол этот, если задуматься, состоит лишь в том, как мы выберем точку приложения, то есть начало вектора. Как только мы определимся, от какой точки откладывать наши вектора, мы уже любой вектор сможем однозначно нарисовать по двум (или трём, если речь идёт о трёхмерном пространстве) координатам.

Именно так в математике возникает договорённость все вектора рисовать ИЗ НАЧАЛА КООРДИНАТ. То есть из точки $O(0,0)$ перечения координатных осей $Ox$ и $Oy.$
Таким образом, для нас в каком-то смысле "правильным" $\text{[math]}$ будет только первый вариант рисунка:

$PIC$

Впрочем, конечно, эту задачу можно решить и без рисунков.

Показать ответ и решение

a) Как только мы с вами договорились раз и навсегда, что вектора при их координатном задании мы будем откладывать из начала координат, то есть начинать их в точке $O (0,0),$ то равными при координатном задании могут быть только векторы, у которых равны и первая и вторая координаты.

Среди нашего списка, если внимательно посмотреть, есть только две пары равных векторов: $−→ −→ x5 = (1,10) = x13.$ И $−→ −→ x12 = (16,2) = x14.$
b) Векторы $−→x$ и $−→y$ коллинеарны, если координаты одного отличаются от координат другого умножением на константу. То есть $−→x$ коллинеарен с $−→y ,$ если $∃λ ∈ ℝ$ такая, что $−→ −→ x = λ y .$
Имеем: $−→ −→ x15 = 10x3.$ Значит, $−→ x15$ и $−→ x3$ - коллинеарны (сонаправлены).
Ещё заметим, что $−x→7 = − 3−→x3.$ Значит, $−→x7$ и $−x→3$ - коллинеарны (противоположно направлены).
Кроме того, $−→ −→ x9 = 2x11.$ Значит, $−→ x9$ и $−→ x11$ - коллинеарны (сонаправлены).
c) Напомним, что длина вектора $−→x$ вычисляется по формуле : $|−→x | = ∘x2-+-x2. 1 2$
Таким образом, среди наших векторов равную длину имеют: $|−→x5| = |−x→13|,$ т.к. эти векторы просто равны, и $|−→x12| = |−x→14|,$ т.к. они тоже просто равны.
Кроме того, $−→ −→ |x3| = |x4| = 1$ (такие векторы мы будем называть единичными, имея в виду то, что их длина равна $1$ ). Ещё заметим, что $|−→x8|$ = $|−x→15| = 10.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#36857

Это нетрудная задача на повторение тех понятий, которыми мы будем пользоваться при работе с векторами. Вспомните:

1.: Что мы называем вектором? В чём отличие вектора от отрезка?
2.: Что мы называем длиной вектора?
3.: Какие векторы мы называем коллинеарными? А какие - сонаправленными? Противоположно направленными?
4.: А какие векторы мы называем компланарными?
5.: А какие векторы мы называем равными?

Показать ответ и решение

1.: Вектор (на плоскости или в трёхмерном пространстве) - это упорядоченная пара точек. В каком смысле упорядоченная? В том смысле, что мы выбираем первую (скажем, $A$ ) и вторую (скажем, $B$ ) точку и запоминаем, в каком порядке мы их выбрали. Точку, выбранную первой, в нашем случае $A,$ мы будем называть началом вектора $−A−→B.$ Точку же, выбранную второй, в нашем случае $B,$ мы, разумеется, будем называть концом вектора $−−→ AB.$ Таким образом мы и задаём направление: как бы из точки $A$ по направлению к точке $B.$ Вот и получается, что, чтобы задать направление вектора, нужно определиться, какая точка будет первой, а какая - второй.

Разница с отрезком именно в этом и состоит. Когда мы определяем отрезок (на плоскости или в пространстве), нам неважно, в каком порядке мы брали точки, которые его определят.
Таким образом, с некоторой долей формализма, можно сказать, что отрезок - это неупорядоченная пара точек, а вектор - упорядоченная. И отсюда уже можно извлечь такое наблюдение: любой отрезок можно превратить в вектор, просто указав, какая точка у него первая, а какая - вторая, то есть указав, что считать началом этого отрезка, а что - концом.

Замечание: в некотором смысле школьная запись отрезка $[a;b]$ - это скорее запись вектора, потому что здесь мы понимаем, что $a$ - это начало отрезка, $b$ - его конец. Но в аналитической геометрии мы отойдём от такой традиции записи.

А векторы, в свою очередь, мы будем записывать вот так: $−A−→B,$ где стрелочка означает, что это не отрезок, а именно вектор; первая буква $A$ - это начало вектора; вторая буква $B$ - конец вектора.
2.: Под длиной вектора $−−→ AB,$ как и всегда, будет пониматься длина отрезка, соединяющего точки $A$ и $B.$

Немного забегая вперёд, можно сказать, что, когда мы введём систему координат, допустим, на плоскости, то длина $−−→ |AB |$ будет считаться по теореме Пифагора по формуле $|−A−→B | = ∘ (b1 −-a1)2 +-(b2-−-a2)2,$ где $A = (a1,a2),$ $B = (b1,b2)$ - координаты точек $A$ и $B$ соответственно:

$PIC$
3.: Коллинеарными мы называем вектора, лежащие на параллельных прямых (т.е. в некоторым смысле и сами эти вектора можно назвать "параллельными" $,$ но мы так делать не будем. Для этого есть отдельный термин: коллинеарные вектора.)
Соответственно, существует два различных случая, каким образом два вектора $−A−→B$ и $−−C→D$ могут быть коллинеарны. А именно: они могут быть либо сонаправленными (обозначение: $−−→ −−→ AB ↑↑ CD$ ), либо противоположно направленными (обозначение: $−−→ −−→ AB ↑↓ CD$ ).
4.: Понятие компланарности вводится только для векторов в трёхмерном пространстве. А именно, три вектора $−−→ AB,$ $−−→ CD,$ $−−→ EF$ называются компланарными, если существует плоскость $π,$ которой они все параллельны.
То есть, короче говоря, эти три вектора не задают никакого "объёма" $,$ а, будучи приведёнными к одному началу, будут лежать в одной плоскости.

(Внимание: для того, чтобы векторы $−−→ AB,$ $−−→ CD,$ $−−→ EF$ были компланарными, вообще говоря, НЕ НЕОБХОДИМО, чтобы они изначально лежали в одной плоскости. Попробуйте придумать такой пример.)
5.: Чтобы вектор $−−→ AB$ мы назвали равным вектору $−−→ CD,$ необходимо, чтобы было выполнено 3 условия:
a) $−−A→B$ и $−C−→D$ должны быть коллинеарны.
b) $−−→ AB$ и $−−→ CD$ должны быть одинаково направлены.
c) $−−→ AB$ и $−−→ CD$ должны быть равны по длине.

На рисунке приведён пример равных, но не совпадающих векторов:

$PIC$

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#35766

Проверить, что векторы, совпадающие с медианами любого треугольника, в свою очередь могут служить сторонами другого треугольника.

Показать ответ и решение

Что вообще означает, что тройка векторов может служить сторонами какого-то треугольника? Это означает, что если мы приставим эти вектора друг другу в каком-то порядке, то, начав с начала первого вектора и пройдя по всем трём, мы закончим в итоге в начале первого же вектора.

Нарисуем картинку:

$PIC$

Итак, пусть $−→ −→ AB = a,$ $−−→ −→ BC = b ,$ $−→ −→ CA = c..$ Далее, проведём медианы $AM,$ $BN$ и $CP$ соответственно. Дело всё в том, что условие того, что из каких-то векторов можно сформировать треугольник, равносильно тому, что сумма этих векторов в каком-то порядке равна $0.$

У нас, очевидно, $−→ −−→ −→ −→ −→ AB + BC +CA = −→a + b + −→c = 0.$

И нам достаточно доказать, что $−−→ −−→ −→ −→ AM + BN +CP = 0 .$ Для того просто выразим эти вектора, которые являются медианами, через уже данные нам вектора $−→a,−→b$ и $−→c.$

Из-за того, что точки $M,N$ и $P$ являются серединами соответствующих сторон, то очевидно получается, что

−−→ −→b −−→ −→ −→c −→ −→a AM =−→a +-2 ,BN = b + 2 ,CP = −→c + 2

Откуда, легко видеть: $−−→ −−→ −→ −→ −→ −→ AM +BN +CP = 32 ⋅(−→a + b + −→c )= 32 ⋅0 = 0$ (так как мы выше показали, что $−→a + −→b +−→c = −→0$ )
Следовательно, медианы $AM,$ $BN$ и $CP$ могут служить сторонами какого-то треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#35408

Доказать, что ортогональная проекция вектора $−→a$ на вектор $−→ b$ равна $−→ −→ −→ −p→ra = <a−→,b>-b . |b|2$

Показать ответ и решение

Понятно, что проекция вектора $−→a$ на направление вектора $−→b$ будет иметь то же направление, что и вектор $−→ b.$ Нужно только понять, какая будет длина этой проекции.

Для удобства отложим векторы $−→ a$ и $−→ b$ от одной точки. И рассмотрим прямоугольный треугольник как на рисунке.

$PIC$

Косинус угла $α$ будет равен как раз $−−→ |p|−→raa|| .$ С другой стороны, косинус этого же угла, из формулы для скалярного произведения, равен $<−→a,−→b>- |−→a|⋅|−→b|.$
Таким образом, мы имеем, равенство $|−p−→ra|= <−→a,→−b>, |−→a| |−→a|⋅|−→b|$ откуда $|−p→r |= <−→a,−→b>. a |−→b|$
Следовательно, $−p→ra = <−→a-,−→b>-−→b |−→b|2$ и мы всё доказали.

Ответ:

Предыдущий раздел

Следующий раздел