Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Это нетрудная задача на повторение тех понятий, которыми мы будем пользоваться
при работе с векторами. Вспомните:
- 1.
- Что мы называем вектором? В чём отличие вектора от отрезка?
- 2.
- Что мы называем длиной вектора?
- 3.
- Какие векторы мы называем коллинеарными? А какие - сонаправленными? Противоположно направленными?
- 4.
- А какие векторы мы называем компланарными?
- 5.
- А какие векторы мы называем равными?
- 1.
- Вектор (на плоскости или в трёхмерном пространстве) - это упорядоченная
пара точек. В каком смысле упорядоченная? В том смысле, что мы
выбираем первую (скажем, ) и вторую (скажем, ) точку и
запоминаем, в каком порядке мы их выбрали. Точку, выбранную первой,
в нашем случае мы будем называть началом вектора Точку же,
выбранную второй, в нашем случае мы, разумеется, будем называть
концом вектора Таким образом мы и задаём направление: как бы из
точки по направлению к точке Вот и получается, что, чтобы задать
направление вектора, нужно определиться, какая точка будет первой, а
какая - второй.
Разница с отрезком именно в этом и состоит. Когда мы определяем отрезок (на плоскости или в пространстве), нам неважно, в каком порядке мы брали точки, которые его определят.
Таким образом, с некоторой долей формализма, можно сказать, что отрезок - это неупорядоченная пара точек, а вектор - упорядоченная. И отсюда уже можно извлечь такое наблюдение: любой отрезок можно превратить в вектор, просто указав, какая точка у него первая, а какая - вторая, то есть указав, что считать началом этого отрезка, а что - концом.
Замечание: в некотором смысле школьная запись отрезка - это скорее запись вектора, потому что здесь мы понимаем, что - это начало отрезка, - его конец. Но в аналитической геометрии мы отойдём от такой традиции записи.
А векторы, в свою очередь, мы будем записывать вот так: где стрелочка означает, что это не отрезок, а именно вектор; первая буква - это начало вектора; вторая буква - конец вектора. - 2.
- Под длиной вектора как и всегда, будет пониматься длина отрезка,
соединяющего точки и
Немного забегая вперёд, можно сказать, что, когда мы введём систему координат, допустим, на плоскости, то длина будет считаться по теореме Пифагора по формуле где - координаты точек и соответственно: - 3.
- Коллинеарными мы называем вектора, лежащие на параллельных прямых (т.е. в
некоторым смысле и сами эти вектора можно назвать "параллельными" но мы
так делать не будем. Для этого есть отдельный термин: коллинеарные вектора.)
Соответственно, существует два различных случая, каким образом два вектора и могут быть коллинеарны. А именно: они могут быть либо сонаправленными (обозначение: ), либо противоположно направленными (обозначение: ). - 4.
- Понятие компланарности вводится только для векторов в трёхмерном
пространстве. А именно, три вектора называются
компланарными, если существует плоскость которой они все параллельны.
То есть, короче говоря, эти три вектора не задают никакого "объёма" а, будучи приведёнными к одному началу, будут лежать в одной плоскости.
(Внимание: для того, чтобы векторы были компланарными, вообще говоря, НЕ НЕОБХОДИМО, чтобы они изначально лежали в одной плоскости. Попробуйте придумать такой пример.) - 5.
- Чтобы вектор мы назвали равным вектору необходимо, чтобы было
выполнено 3 условия:
a) и должны быть коллинеарны.
b) и должны быть одинаково направлены.
c) и должны быть равны по длине.
На рисунке приведён пример равных, но не совпадающих векторов:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!