1. Это свойство симметричности следует напрямую из нашего определения скалярного произведения: , где - кратчайший угол поворота от вектора к вектору
Действительно, если мы просто поменяем и местами, то в формуле просто поменяются местами сомножители, а угол останется прежним - всё равно мы берём кратчайший угол поворота от одного вектора к другому, а что от к что от к кратчайший угол один и тот же.

2. Рассмотрим три случая:
2.1. Тогда т.к. первый сомножитель - т.е. длина нулевого вектора - равна
2.2. Тогда , т.к. при направление вектора не меняется, а, значит, угол остаётся прежним.
2.3. Здесь всё аналогично предыдщуему случаю 2.2. Однако при вектор сменит направление, и, значит, ближайшим углом поворота будет уже не а а - по формулам приведения. Значит, косинус сменит знак, и мы вновь получим, что (отрицательный знак у лямбды и смена знака косинуса друг друга компенсируют).

3. Докажем это свойство, пользуясь формулой для вычисления скалярного произведения на плоскости (в пространстве всё будет работать аналогично):



4. Имеем и мы всё доказали.