Если число целое при , то оно чётное. Обозначим . Тогда . Возводя это равенство в квадрат, получаем

Число чётное: , где .

Тогда

Поскольку числа и взаимно просты, следует рассмотреть два случая:

1) , где ;

2) , где .

В первом случае имеем , то есть даёт остаток 2 при делении на 3 . Это невозможно, так как точный квадрат может давать при делении на 3 только остатки 0 или 1.

Во втором случае получаем - точный квадрат.

Пусть натуральное число таково, что делится на Тогда делится на и на поэтому — нечётное число, имеющее остаток при делении на Помимо того, делится на Заметим, что если два числа сравнимы по модулю (т.е. дают одинаковые остатки при делении на ), то седьмые степени этих чисел также сравнимы по модулю Это означает, что для нахождения искомого числа достаточно рассмотреть все целые числа из промежутка удовлетворяющие сравнению

Мы будем пользоваться следующим утверждением. Пусть — простое число, — многочлен степени с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого не делится на тогда сравнение имеет не более решений среди целых чисел

Найдём теперь все решения сравнения на отрезке Нам известны два решения: , Заметим, что если — решение сравнения то для любого натурального числа также являются решениями. Следовательно, решениями данного сравнения являются числа

Итак, мы нашли семь решений на отрезке Так как число простое, по сформулированному выше утверждению других решений на этом отрезке нет. Из них нечётными и имеющими остаток при делении на являются и Из них наименьшее, большее есть

По неравенству о средних:

Пусть наименьшее подходящее число имеет вид Из условия следует, что среди его цифр нет и Если в числе есть цифры или то их можно заменить на или соответственно и получить меньшее число с тем же свойством. Таким образом, искомое число состоит из цифр от до

Рассмотрим соседние цифры и По условию числа с замененными семеркой цифрами и делятся на следовательно, их разность также кратна то есть для любого Значит, запись числа может быть устроена только следующим образом: за следует за следует (поскольку цифры в числе нет) и так далее.

По условию исходное число, у которого вместо последней цифры стоит делится на Следовательно, исходное число без последней цифры делится на Используя несколько раз сравнение получаем:

Поскольку не делится на заключаем, что делится на поэтому наименьшее возможное равно Таким образом, наименьшее возможное число состоит не менее чем из восьми знаков. Остается заметить, что число удовлетворяет условию задачи, а поскольку оно начинается с то это число и будет наименьшим.

Предпоследняя цифра числа равна так как число без последней цифры делится на Значит, число хотя бы четырехзначное. Заметим, что число, оставшееся после стирания последней цифры, не может равняться по условию. Также это число не может равняться и так как числа вида и не делятся на Для существует единственный пример:

С одной стороны, поскольку и имеем

То есть число даёт остаток при делении на С другой стороны, кубы натуральных чисел дают только остатки и при делении на Значит, сумма кубов двух натуральных чисел может дать лишь остатки или при делении на но не может дать

Данное равенство при условии, что и определены, эквивалентно равенству откуда где Следовательно, разность делится нацело на а значит, на и на Поскольку сумма всех цифр делится на то каждое из чисел и делится на

Наибольшее пятизначное число, все цифры которого различны, равно Ближайшее к нему меньшее число, делящееся на равно и содержит повторяющиеся цифры. Последовательно уменьшая это число на получаем числа Первые два из них также содержат повторяющиеся цифры. Третье состоит из различных цифр, но поскольку то его тангенс не определён. Число также состоит из различных цифр. Если взять, например, то получим поэтому число искомое.

По условию (где число, составленное из всех цифр, кроме первой, — первая цифра). Пусть – количество цифр в числе . Отсюда

Если , то у числа , а значит, и у искомого числа, есть две совпадающие цифры (два нуля на конце). Если же , то

Ясно, что чем больше , тем больше исходное число. При число состоит из 4 цифр, а не из трех. При мы получаем , а исходное число равно 3750. Значит, наибольшее искомое число равно 3750.

Обозначим через и сумму цифр, стоящих на чётных и нечётных местах соответственно. Из признаков делимости на 9 и на 11 следует, что кратно 9, а кратно 11. Но все цифры чётные, поэтому делится на 18, а — на 22. Также заметим, что . Если , то . Но из этого следует, что , чего не может быть в силу чётности и . Если , то в нашем числе будет не менее 7 цифр, поскольку 8·6 = 48 < 54. Пусть . Тогда или . В первом случае одно из чисел и равно 29, а другое – 7, чего не может быть. Во втором случае . Заметим, что 18 нельзя представить в виде суммы менее чем трёх чётных цифр, поэтому наше число хотя бы шестизначное. Осталось заметить, что наименьшее шестизначное число, удовлетворяющее условиям задачи, — это 228888. Действительно, первая цифра не может быть меньше 2, вторая — тоже, поскольку если она равна 0, то общая сумма цифр не больше .

Положим и построим по индукции такие числа , что десятичная запись оканчивается на единицу, а десятичная запись числа оканчивается на комбинацию из n единиц и двоек.

Пусть число уже построено, то есть выполнено предположение для . Рассмотрим числа вида , где . Десятичная запись каждого из них оканчивается на 1. Кроме того,

Посмотрим на последние цифр десятичной записи каждого из слагаемых этой суммы.

Запись числа оканчивается на комбинацию из единиц и двоек по предположению индукции. Обозначим через -ю с конца цифру этого числа. Нетрудно видеть, что десятичная запись оканчивается на нулей, перед которыми идет последняя цифра числа (так как оканчивается на единицу). Десятичная же запись слагаемого оканчивается на нулей.

Имеем, что последние цифр десятичной записи чисел совпадают с последними цифрами десятичной записи числа . При этом -я с конца цифра числа совпадает с последней цифрой суммы . Если нечётно, то для некоторого сумма оканчивается на единицу (помним, что . Если чётно, то для некоторого k сумма оканчивается на двойку. Следовательно, одно из чисел можно взять в качестве числа .

Итак, мы получили числа, которые заканчиваются на какую-то комбинацию из единиц и двоек. Более того, мы даже знаем, что последняя цифра всегда будет единицей.

Пусть и . Тогда в силу получаем

Следовательно, найдётся такое натуральное число , которое не меньше , но меньше . Тогда десятичная запись квадрата этого числа начинается на единиц.

Рассмотрим число , где больше количества цифр в десятичных записях чисел и . Тогда первые цифр десятичной записи числа

совпадают с первыми цифрами десятичной записи числа , а последние цифр — с последними цифрами десятичной записи числа . Следовательно, число удовлетворяет условию задачи.

Если то делится на (так как числа и содержатся среди чисел ). Так как то достаточно проверить делимость на при

Ясно, что делится на так как среди чисел заведомо найдётся чисел, кратных и чисел, кратных ( и ).

делится на так как среди чисел заведомо найдётся чётных чисел и чисел, кратных ().

не делится на так как число простое, и поэтому среди чисел есть лишь числа, кратных ().

Хотя бы одно из простых чисел нечётно, потому число кратно двум. Пусть это , где . Далее будем находить числа по порядку

Число содержит , делителем может быть только , поскольку остальные делители больше , откуда оно равно и . Подойдёт , пойдём дальше.

Число содержит , делителями могут быть только , но оба они меньше , потому . Подойдёт .

Число содержит , может быть равно только , поскольку . В первом случае составное, во втором и подходит .

Пусть теперь число содержит , отсюда равно одному из чисел , где все числа, увеличенные на один, будут составными, откуда больше четырёх простых чисел быть не может.

Пусть НОД Тогда где и взаимно просты. По условию делится на поэтому делится на Аналогично делится на Значит, то есть и взаимно просты. Тогда и число взаимно просто с Число делится на Поскольку и взаимно просты, то делится на Но это возможно только при Действительно, в противном случае Непосредственная проверка всех оставшихся вариантов дает восемь решений

Правая часть при делении на должна давать тот же остаток, что и левая, то есть Поэтому чётно. Аналогично, левая часть делится на с остатком поэтому тоже чётно. Итак,

Обе скобки справа являются степенями двойки. Пусть и где и Тогда,

Отсюда Значит, делится на Тогда четное, но не делится на поскольку нечетное целое число. Таким образом и Поскольку четное число, тоже чётно, Тогда

 – произведение двух чисел, отличающихся на и являющихся степенями тройки. Следовательно, эти множители это и Значит,

Докажем, что оно является полным квадратом большего единицы числа:

Так как каждое делится на НОД НОД , то для всех Предположим, что при некотором Тогда, с одной стороны, НОД НОД (так как делится на ), а с другой стороны, поскольку делится на то НОД Противоречие.

Так как каждое делится на НОД НОД , то для всех Предположим, что при некотором Тогда, с одной стороны, НОД НОД (так как делится на ), а с другой стороны, поскольку делится на то НОД Противоречие.

Первое решение.

Докажем утверждение методом математической индукции.

База индукции: делится на . Действительно, .

Шаг индукции: покажем, что если число указанного вида делится на , то и следующее за ним делится на

Для этого достаточно доказать, что разность двух соседних чисел делится на В самом деле:

Эта разность делится на , так как

Второе решение.

Вставим произвольное число троек, получим , умножим это число на , получится . Нам требуется доказать, что это число кратно (умножение на на это свойство никак не влияет).

Добавим к полученному числу (очевидно, что на делимость это тоже не влияет), имеем , которое кратно ().

Пусть и — исходные трехзначные числа. Число, составленное из них, равно Тогда из условия имеем уравнение

Так как и трехзначные числа, то С учетом этого наше уравнение принимает вид

Это уравнение в целых числах. Так как и то и Пусть тогда После подстановки уравнение примет вид

Разделим уравнение на

Ясно, что так как при получаем но это противоречит условию о том, что число — трехзначное.

Так как то Так как — первое число, большее или равное делящееся на Тогда имеет остаток при делении на Таким образом, или

• При уравнение имеет вид откуда Так как то
• При уравнение имеет вид откуда Но — трехзначное число. Противоречие

Пусть на доске было написаны семизначные числа в виде После того, как ученик стёр знак умножения, получилось число, равное По условию имеем

Первое решение.

Так как то при некотором и

Число семизначное, поэтому , тогда . Если , то получаем противоречие.

При имеем противоречие с тем, что в уравнении левая часть делится на , а правая не делится.

При имеем , откуда .

При имеем противоречие с делимостью на .

Второе решение.

Так как то при некотором и

Как отношение семизначных чисел , поэтому . Следовательно, . Значит, , то есть . Лишь одно число в этом интервале делится на это . Поэтому .