Тема . ММО (Московская математическая олимпиада)
Теория чисел на ММО
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела ммо (московская математическая олимпиада)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73199

Найдите наименьшее натуральное n,  для которого число nn  не является делителем числа 2008!

Источники: ММО-2008, 11.2(см. mmo.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Если n2 ≤2008,  то 2008!  делится на nn  (так как числа n,2n,...,(n − 1)n  и n2  содержатся среди чисел 1,2,...,2007,2008  ). Так как   2         2
44 < 2008 <45 ,  то достаточно проверить делимость 2008!  на n
n  при n >45.

Ясно, что 2008!  делится на   45   45  90
45  =5  ⋅3 ,  так как среди чисел 1,2,...,2007,2008  заведомо найдётся 45  чисел, кратных 5,  и  90  чисел, кратных 3  (5⋅45= 22< 2008  и 3⋅90= 270<2008  ).

2008!  делится на   46  46  46
46  = 2 23 ,  так как среди чисел 1,2,...,2007,2008  заведомо найдётся 46  чётных чисел и 46  чисел, кратных 23  (23⋅46= 1058< 2008  ).

2008!  не делится на  47
47  ,  так как число 47  простое, и поэтому среди чисел 1,2,...,2007,2008  есть лишь 42  числа, кратных 47  (47⋅42 =1974< 2008 <2021= 43 ⋅47  ).

Ответ:

 47

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!