Прогрессии на Физтехе —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Прогрессии на Физтехе

Тема Физтех

Прогрессии на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80755

Найдите все действительные значения $x,$ при каждом из которых существует геометрическая прогрессия, состоящая из действительных чисел и такая, что её четвёртый член равен $∘ 15x+6- (x−3)3,$ десятый член равен $x+ 4,$ а двенадцатый член равен $∘ ------------ (15x+ 6)(x− 3).$

Источники: Физтех - 2024, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если нам даны какие это конкретно члены прогрессии, то давайте просто запишем чему они равны через знаменатель прогрессии и первый член. При этом, хотелось бы в таком случае получить равенство на х, ведь тогда мы получим уравнение на 1 переменную, а не на 3. Какое равенство можно написать, используя 4, 10 и 12 член геометрической прогрессии?

Подсказка 2

К примеру, можно написать вот такое равенство: (bq^9)^4 = (bq^11)^3*(bq^3). Значит, получили уравнение на х, так как и 4, и 10, и 12 член выражены только через х. Осталось преобразовать уравнение к виду (15x + 6)^2 = (x + 4)^4 , разложить на сумму квадратов и получить ответ.

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии это $b,$ а знаменатель прогрессии это $q.$ Тогда запишем систему, исходя из условий задачи

(| ∘ 15x+-6- ||||{ bq3 = (x−-3)3 ||||| bq9 =x∘+4----------- ( bq11 = (15x+ 6)(x− 3)

Заметим, что $(bq9)4 =(bq11)3⋅(bq3).$ Запишем это равенство через $x$ :

∘------- (∘ (15x+-6)(x−-3))3⋅ 15x-+6-= (x +4)4 (x − 3)3

2 4 2 2 (15x+ 6) =(x+ 4) ⇔ (x − 7x+ 10)(x +23x+ 22)=0

Из последнего уравнения получаем следующую совокупность решений

⌊ x= −22— не подходит, так как bq9 и bq11 разных знаков || x= −1 || x= 2— не подходит под ОД З ⌈ x= 5

В итоге, получаем, что $x =− 1$ или $x =5$ .

Ответ:

${−1; 5}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#80754

Углы выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию, имеющую разность $2∘$ и начинающуюся с угла $143∘.$ Какое наибольшее число вершин может быть у такого многоугольника?

Источники: Физтех - 2024, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним формулу для подсчета суммы углов у правильного многоугольника и формулу суммы арифметической прогрессии.

Подсказка 2

Приравняв эти суммы, сможем получить квадратное уравнение. Но точно ли все значения этого уравнения подойдут?

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — искомое число вершин. Тогда сумма углов пятиугольника равна $180∘(n− 2).$ С другой стороны эту же сумму можно выразить через сумму арифметической прогрессии, которая равна $∘ n(n−1) ∘ 143 ⋅n+ 2 ⋅2 .$ Приравняем эти суммы и получим следующее уравнение.

∘ ∘ n(n − 1) ∘ 180 ⋅(n − 2)= 143 ⋅n +--2---⋅2

n2− n+ 143n − 180n+ 360= 0

2 n − 38n+ 360= 0

Из последнего уравнения получаем, что $n= 18$ или $n = 20.$ Но $n= 20$ не подходит, так как тогда наибольший угол многоугольника равен $143∘ +2∘⋅19= 181∘,$ что больше $180∘.$

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#33347

$S$ - сумма первых $10$ членов возрастающей арифметической прогрессии $a ,a,a ,... 1 2 3$ , состоящей из целых чисел. Известно, что $a6a12 >S +1,a7a11 < S +17$ . Укажите все возможные значения $a1$ .

Источники: Физтех-2021, номер 1, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Вопрос: С чего начать?

Ввести обозначения для первого члена и разности прогрессии и составить неравенства.

Показать ответ и решение

Обозначим разность прогрессии через $d$ . Данные в условии неравенства можно преобразовать следующим образом:

{ (a + 5d)(a + 11d)> S+ 1, { a2+ 16a d+ 55d2 >S +1 (a1+ 6d)(a1+ 10d)< S+ 17 ⇔ a12+ 16a1d+ 60d2 <S +17 1 1 1 1

Вычитая из второго неравенства первое (а это можно сделать, так как они разного знака), получаем $5d2 < 16$ . Из условия следует, что $d ∈ℤ$ , поэтому $d= 1$ ( $|d|≤1$ и прогрессия возрастает). Тогда $a10 = a1+ 9$ и $S = a1+a10⋅10= 2$ $5(a1 +a1+ 9)=10a1+ 45$ , и система неравенств принимает вид

{ a2+ 16a1+55> 10a1+45+ 1, { a2+ 6a1+9 >0, { a1 ⁄= −3, a12+ 16a1+60< 10a1+45+ 17 ⇔ a12+ 6a1− 2 <0 ⇔ a1 ∈ (− 3− √11;−3+ √11). 1 1

Так как $a1 ∈ ℤ$ , то $a1 ∈ {− 6;−5;−4;−2;−1;0}$ .

Ответ:

$− 6;−5;−4;− 2;−1;0$

Критерии оценки

Составлена система неравенств относительно одного из членов прогрессии и её разности – отдельно не оценивается; найдена разность прогрессии – 2 балла; получено неравенство на разность прогрессии вида 0 < 𝑑 < √ 𝑎, но забыто, что разность целая, и поэтому разность не найдена – 1 балл вместо 2; составлена и решена система неравенств относительно первого члена прогрессии – 2 балла; если при этом приобретена одна лишняя точка, то 1 балл вместо 2; указаны целочисленные значения переменной – 1 балл (этот балл ставится, даже если приобретена одна лишняя точка).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#85032

Дана конечная арифметическая прогрессия $a ,a,...,a 1 2 n$ с положительной разностью, причём сумма всех её членов равна $S$ , а $a >0. 1$ Известно, что если разность прогрессии увеличить в 3 раза, а её первый член оставить неизменным, то сумма $S$ увеличится в 2 раза. А во сколько раз увеличится $S$ , если разность исходной прогрессии увеличить в 4 раза (оставив первый член неизменным)?

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формуле арифметической прогрессии

2a+ (n − 1)d S = a+ (a+d)+ ...+ (a +(n− 1)d)=----2-----⋅n

Из формулы суммы арифметической прогрессии с разностью $3d$ получаем:

2a+ (n − 1)3d 2S =a +(a+ 3d)+ ...+ (a +3(n− 1)d)= -----2-----⋅n

Пусть сумма арифметической прогрессии с разностью $4d$ была в $k$ раз больше, чем сумма исходной. Тогда получаем:

$kS = a+(a+ 4d)+...+ (a+ 4(n− 1)d)= 2a+-(n− 1)⋅4d⋅n 2$

Из первых двух равенств получаем, что

2a+-(n-− 1)d⋅n⋅2= 2a+-3(n-− 1)d⋅n 2 2

4a+ 2(n − 1)d= 2a +3(n− 1)d

2a =(n− 1)d

Тогда $2a+ 2a S = --2---⋅n= 2an$ . Откуда из выражения для третьей суммы получим

k⋅2an= 2a+-4(n2-− 1)d= 2a+2-8a⋅n= 5an

Значит, $k= 2.5$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

$(t+ 1)$ -ый член прогрессии с первым членом $a$ и разностью $d,3d,4d$ можно выразить, как $a+ td,a+3td,a +4td$ соответственно.

Представим $(t+1)$ -й член прогрессии с разностью $4d$ следующим образом:

a+ 4td= α(a+ td)+ β(a +3td)

При этом хотим найти такие $α,β$ , чтобы равенство было выполнено при любых $t$ и любых $a,d$ . Тогда нужно приравнять коэффициенты в левой части перед $a$ и $d$ , чтобы получилось тождество:

( {a =(α+ β)⋅a, (4td= αtd +β ⋅3td,

( { 1= (α+ β), ( 4= α+ 3β,

То есть $β = 1.5,α= −0.5$ . Так как данное равенство при $β =1.5,α =− 0.5$ выполняется при любых значениях $t$ , будет выполнено равенство для сумм прогрессий:

kS = αS+ β⋅2S =− 0.5S+ 1.5⋅2S = 2.5S

Значит, $k= 2.5$

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31350

Дана геометрическая прогрессия $b ,b ,...,b , 1 2 3000$ все члены которой положительны, а их сумма равна $S.$ Известно, что если все её члены с номерами, кратными $3$ (т. е. $b3,b6,...,b3000),$ увеличить в $50$ раз, сумма $S$ увеличится в $10$ раз. А как изменится $S,$ если все её члены, стоящие на чётных местах (т. е. $b2,b4,...,b3000),$ увеличить в $2$ раза?

Источники: Физтех-2020, 10.2, (см.olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишите все условия (их тут много, следим аккуратно за вычислениями!). Тогда a*(d^(3000) - 1)/(d-1) = S. Запишем теперь сумму членов с номерами, делящимися на 3. Это ведь тоже геометрическая прогрессия! С множителем d^3 и начальным членом ad^2.

Подсказка 2

Действительно, сумма прогрессии с номерами, кратными трем, записывается как: G = ad^2*(d^(3000) - 1)/(d^3-1). Тогда если увеличить все члены в 50 раз, то сумма увеличится в 10! Это значит, что 10S = S + 49G, так как 50G + все остальные члены, это то же самое, что 49G + S!

Подказка 3

Попробуйте теперь подставить формулы для S и G в предыдущее уравнение и найти из этого d!

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии это $b,$ а знаменатель прогрессии равен $q.$ Тогда

3∑000 3000 S = bi = bq-q−−11 i=1

1∑000 q3000− 1 b3k = bq2-q3−-1 k=1

Если все её члены с номерами, кратными $3$ (т. е. $b3,b6,...,b3000),$ увеличить в $50$ раз, сумма $S$ увеличится в $10$ раз:

10S = S+ 49bq2q3000−-1 q3− 1

q3000− 1 q3000− 1 9⋅b--q− 1-= 49bq2-q3−-1-

3 9 ⋅ q-− 1-=49q2 q− 1

0 =49q2− 9(q2+q +1)= 40q2− 9q− 9 =(5q− 3)(8q+3)

$q >0,$ поэтому подходит только $q = 35.$

Осталось понять, как изменится $S,$ если все её члены, стоящие на чётных местах (т. е. $b2,b4,...,b3000),$ увеличить в $2$ раза:

S +bqq3000−-1= S+ Sq q−-1-= 11S q2− 1 q2− 1 8

Замечание.

Если $q = 1,$ то все $bi$ равны, а тогда при увеличении трети членов в $50$ раз сумма не может вырасти всего в $10$ (пользуемся тем, что $bi > 0).$

Ответ:

увеличится в $11- 8$ раза

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#79925

Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если отношение суммы кубов всех её членов к сумме всех членов этой прогрессии равно $48 7 ,$ а отношение суммы четвертых степеней членов к сумме квадратов членов этой прогрессии равно $144 17$ .

Показать ответ и решение

Известно, что сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b 1$ и знаменателем $q$ равна $b1(1−qn). 1−q$ Для бесконечно убывающей пеометрической прогрессии $|q|< 1,$ поэтому при $n,$ стремящемся к бесконечности, $n q$ стремится к нулю, а сумма членов стремится к $b1- 1−q.$ Кубы членов данной прогрессии ${bn}$ также образуют геометрическую прогрессию с первым членом $3 b1$ и знаменателем $3 q$ , четвёртые степени членов - прогрессию с первым членом $4 b1$ и знаменателем $4 q$ , a квадраты - прогрессию с первым ч.леном $2 b1$ и знаменателем $2 q$ . Суммы этих членов равны соответственно $b3 b4 11−q3,1−1q4$ и $b2 1−1q2$ Из условия получаем систему уравнений

( b3 ( b2 { 11−q3-: b11−q = 478, ⇔ { 1+q1+q2 = 487 ( 1b41−q4-:1b21−q2-= 14147- ( 1b+21q2 = 11447

Делим почленно первое уравнение на второе и получаем $2 11++qq+q2 = 1271 ⇔ 4q2− 17q+ 4= 0,$ откуда $q =4$ или $q = 14.$ Так как прогрессия является бесконечно убывающей, $|q|<1,$ и подходит только значение $q = 14.$ Тогда $b21 = 11447-(1+ q2)= 9$ и $b1 = ±3.$

Ответ:

$b = ±3,q = 1 1 4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#39770

Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма всех её членов с нечётными номерами на $2$ больше, чем сумма всех членов с чётными номерами. А разность между суммой квадратов всех членов на нечётных местах и суммой квадратов всех членов на чётных местах равна $36- 5$ . Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Источники: Физтех-2019, 11.3, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии присутствуют утверждения о сумме нечетных и четных членов геометрической прогрессии, поэтому имеет смысл ввести буквенные обозначения и записать уравнения по условию. Подумаем, что же образуют нечетные и четные члены нашей прогрессии?

Подсказка 2

Пусть первый член прогрессии это b, второй равен bq, |q|<1. Тогда все нечетные члены прогрессии образуют новую прогрессию с первым членом b и знаменателем q², аналогично четные члены образуют прогрессию с первым членом bq и знаменателем q². Значит, мы можем просто посчитать их сумму и записать уравнение) А как быть с суммой квадратов членов прогрессии?

Подсказка 3

Они тоже образуют две прогрессии! Одна из них с первым членом b², другая - с первым членом b²q² и обе со знаменателем q⁴. Осталось лишь записать уравнения на разности получившихся сумм и решить их. Это можно сделать, например, если выразить b² через q двумя способами, приравнять их и найти q! Остаётся найти b :)

Показать ответ и решение

Пусть $b = b,b = bq,|q|< 1 1 2$ . Сумма всех нечётных членов равна $-b1-= -b-- 1−q2 1−q2$ , а сумма чётных $-b2-= -bq- 1−q2 1−q2$ , поскольку каждая сумма задаётся первым членом и знаменателем $2 q$ и также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Аналогично, для квадратов знаменателем будет $4 q$ , а первыми членами $2 b$ и $22 b q$ , то есть суммы равны $-b2-- 1− q4$ и $-b2q2 1−q4$ . Запишем равенства из условия

({ -b-- -bq-- ({ --b(1−-q)-- { 1−q22 − 1−b2qq22 =2 ⇐ ⇒ (1−qb2)((11−+qq2)) = 2 =⇒ b2 = 43(16+ q)2 ( 1b−q4 − 1−-q4-= 365 ( (1−q2)(1+q2) = 365 b2 = 5-(1+ q2)

Получим

36 1 4(1+ 2q+q2)= 5-(1 +q2) ⇐ ⇒ 16q2− 40q+ 16= 0 ⇐⇒ q = 2,2

Поскольку $|q|< 1$ , то $q = 12$ . Отсюда $b= 2(1+ 12)=3$ — единственное решение.

Ответ:

$3;1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#46084

Известно, что числа $x,y,z$ образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $α= arccos(− 3) 7$ , а числа $--1 -7- -1- cosx,cosy,cosz$ также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите $2 cos y$ .

Источники: Физтех-2017, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сведем все к максимум двум переменным, пусть это будет y и α. Тогда, по условию, х = у-α, а z = y+α.

Подсказка 2

Основное свойство арифметической прогрессии: удвоенный член прогрессии равен сумме его двух соседей. Примените это к дробям и воспользуйтесь формулой суммы косинусов. Дальше и появится то, что мы ищем - cos(y)^2, не усложняйте себе жизнь поиском самого cos(y) :)

Показать ответ и решение

Используем критерий того, что три числа образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию

14 1 1 14 2cosx+zcosx−z cosy = cosx + cosz ⇐ ⇒ cosy-= 1(cos(x-+2z)+-cos2(x-− z) 2

Кроме того, $x+ z = 2y$ по тому же критерию. Дополнительно мы знаем разность первой прогрессии из условия, откуда $z − z =2α$ , подставим всё это в равенство выше и получим

--7-= -2cosycosα-- cosy cos2α + cos2y

Раскроем двойные углы и перемножим

2 2 2 2 7 − 7cos2 α 14cosα − 7+ 14cos y− 7= 2cosycosα ⇐⇒ cosy =-7-− cosα

Подставляя $cosα= − 37$ , имеем $cos2y = 1103$ .

Ответ:

$10 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31043

Известно, что числа

x,y,z

образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $α= arccos(− 2) 5$ , а числа

3+ sinx,3+sin y,3+ sinz

образуют в указанном порядке непостоянную геометрическую прогрессию. Найдите $sin y$ .

Источники: Физтех-2017, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Решать задачу с 3 переменными, конечно, полная жуть. К тому же, если нам надо найти sin(y), то удобно в конце концов получить что-то хорошее относительно него. Поэтому , используя условие на x, y, z, как мы можем облегчить себе жизнь?

Подсказка 2

Верно, можем обозначить x, как y-α, а z, как y+α, и подставить вместо них соответственно. Подумаем теперь над второй тройкой чисел. Они образуют геометрическую прогрессию. Но что нам известно про тройку таких членов?

Подсказка 3

Ага, ведь произведение крайних членов равно квадрату среднего. Теперь можно попробовать свести всё к решению уравнения относительно sin(y). Осталось только понять, что, если нам известно arccos(-2/5), то sin(α) и cos(α) мы без проблем найдём, учитывая ограничение.

Показать ответ и решение

По условию $cosα =− 2 5$ . Тогда $sin2α =1 − cos2α = 21 25$ . Так как $α =arccos(− 2) 5$ , то $α∈ [0,π]$ , и значит, $sinα ≥0$ и $sinα= √21 5$ .