Системы на Физтехе —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Системы на Физтехе

Тема Физтех

Системы на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80763

Решите систему уравнений

{ √x+-3− √4−-x−-z+5 =2∘y-+-x−-x2-+z; |y+ 1|+ 3|y − 12|=√169-− z2.

Источники: Физтех - 2024, 11.2 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое уравнение выглядит не очень приятным, так что попробуем разобраться со вторым уравнением. Тут у нас ограниченный корень и сумма модулей. Чем можно воспользоваться?

Подсказка 2

Правильно, оценкой. Аккуратно оценим обе части уравнения и подумаем при каких условиях достигается равенство.

Подсказка 3

Отлично, у нас получилась единственная пара (y,z), которую можно подставить в первое уравнение и найти x.

Подсказка 4

Чтобы не возводить в много раз в квадрат уравнение, сделаем замену корней на a и b. Тогда можно записать систему и найти x.

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы. Правая часть не больше 13, так как

∘------2 √--- 169− z ≤ 169=13

Попробуем оценить левую часть второго уравнения. Рассмотрим $|y+ 1|+ |y − 12|,$ которое не меньше $13,$ так как $|a|+|b|≥ a+ b,$ где $a =y+ 1, b= 12− y.$ В итоге имеем

|y+ 1|+|y− 12|≥ 13

Прибавим к последнему неравенству $2|y− 12|,$ тогда получим

|y+1|+ 3|y− 12|≥ 13+ 2|y− 12|

Из последнего выражения делаем вывод, что левая часть второго уравнения системы не меньше $13.$ В итоге, получили, что левая часть не меньше $13,$ а правая часть не больше $13.$ Следовательно, чтобы достигалось равенство необходимо, чтобы $y = 12, z = 0.$ Подставим полученные значения $y$ и $z$ в первое уравнения системы для нахождения $x.$

√x+-3− √4−-x−-0+ 5= 2∘12-+-x−-x2+0

---------- √x-+-3− √4-−-x+5 − 2∘ (x +3)(4− x)= 0

Сделаем замену

{ √ ---- a =√-x+-3, a≥ 0, b= 4 − x, b ≥0

Заметим, что $2 2 a + b =7.$ Запишем систему

{ a−2 b+25− 2ab= 0 a + b =7

(| b−-5- ||{ a= 1− 2b || ( )2 |( 1b−− 52b + b2 =74x4− 4x3− 26x2+18x+ 18

4 3 2 4b-− 4b-−-26b-+2-18b-+18= 0 (1 − 2b)

Рассмотрим, когда числитель становится равным 0

4b4− 4b3− 26b2+18b+ 18 =0 ⇐ ⇒ 2(b2+b− 3)(2b2− 4b− 3)=0

Из последнего уравнения получаем совокупность решений

√-- ⌊ b= −1±--13- || 2 |⌈ 2± √10 b= --2---

С учетом ограничений получаем следующие $b$

⌊ √-- b= −1+--13- ||| 2 ⌈ 2+-√10 b= 2

Тогда сделаем обратную замену

⌊ √-- √4-− x-=-13−-1 ||| 2 ⌈ √ ---- 2+√10- 4− x = 2

⌊ √-- √-- | x= 4− 7−2-13= 1+-213 ||⌈ √-- √-- x= 4− 7+-2-10= 1−-2-10 2 2

Ответ:

$1+-√13 1− 2√10 ( 2 ;12;0), ( 2 ;12;0)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#70774

Решите систему уравнений

({ 3y− 2x= √3xy−-2x− 3y+-2 ( 3x2+ 3y2 − 6x− 4y = 4

Источники: Физтех-2022, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала запишем ОДЗ для первого уравнения, а после этого можем возвести в квадрат. Давайте теперь попробуем перебрать известные нам способы решения. Вот некоторые из них: сложение и вычитание уравнений, решение однородного уравнения, замены различные, решение квадратного уравнения относительно x или y. Какие из них целесообразно здесь применить? Попробуйте сделать это!

Подсказка 2

Попробовали? Скорее всего, заменой ничего не вышло, потому что общих частей особо нет, да и к однородному вряд ли получилось свести. А что если решить первое уравнение, как квадратное относительно одной из переменных? Кажется, что страшное выражение и ничего не выйдет, но не попробуете — не узнаете!

Подсказка 3

Верно, например, после решения квадратного уравнения относительно y в дискриминанте получается полный квадрат, а значит, мы можем выразить y через x. Осталось только подставить каждое из выражений во второе уравнение, найти x и y, и победа! Но не забудьте учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

Первое уравнение при условии $3y− 2x ≥0$ равносильно уравнению

2 (3y− 2x) = 3xy− 2x − 3y+ 2

2 2 4x +(2− 15y)x+ (9y + 3y− 2)= 0

Решая это уравнение как квадратное относительно переменной $x,$ имеем

⌊ x= 3y − 1 D =(2− 15y)2− 16(9y2+3y− 2)= (9y− 6)2 ⇒ ⌈ 3 1 x= 4y+ 2

Подставляем во второе уравнение исходной системы.

Если $x= 3y− 1,$ то

⌊ √-- | y = 4+6-10 6y2− 8y +1= 0⇔ |⌈ 4− √10 y = --6---

Получаем две пары $√-- √-- y = 4+610,x = 2+210$ и $√-- √-- y = 4−610,x= 2−210.$

Если $x= 34y+ 12,$ то

⌊ 2 y =2 3y − 4y− 4= 0⇔ ⌈ y =− 2 3

Также имеем две пары $y =2,x= 2$ и $y = − 2,x= 0. 3$

Из четырёх найденных пар чисел неравенству $3y ≥2x$ удовлетворяют только две из них: $(2;2),(2−√10;4−-√10) . 2 6$

Ответ:

$(2;2),(2−-√10;4−√10) 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#33593

Найдите количество пар целых чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих системе неравенств

{ y > 2x+ 3⋅265 y ≤ 70+(264− 1)x

Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более двух слагаемых.

Источники: Физтех-2020, 11.7, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $f(x)=2x +3⋅265,g(x)=70+ (264− 1)x$ . В силу того, что $f(x)$ выпукла вниз, а $g(x)$ - линейная, графики функций $f(x)$ и $g(x)$ могут иметь не более двух общих точек (достаточно взять вторую производную разности). Координаты обеих точек легко подобрать. Действительно, $6 65 64 ( 64 ) f(6)=2 + 3⋅2 =64+ 6⋅2 =70+ 2 − 1 6= g(6)$ и $70 65 6 64 64 (64 ) f(70)= 2 + 3⋅2 =2 ⋅2 + 6⋅2 = 70+ 2 − 170= g(70)$ . На промежутке $6< x< 70$ график $f(x)$ лежит ниже графика $g(x)$ . Поэтому система имеет целочисленные решения только при целых $x∈ [7;69]$ (так как первое неравенство системы строгое, точки пересечения графиков не являются решениями системы).

Заметим, что на отрезке $[7;69]$ графики функций $f(x)$ и $g(x)$ лежат выше оси $x$ . Поэтому искомое количество целочисленных точек мы получим, если из количества $S1$ целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком $g(x)$ на отрезке $[7;69]$ , вычтем количество $S2$ целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком $f(x)$ на отрезке $[7;69]$ . При этом мы учтём, что первое неравенство системы строгое, а второе — нет.

Найдём $S1$ . Так как на отрезке $[7;69]$ лежат $69− 7+ 1= 63$ целочисленные точки, то

( ) ( ) S1 =70⋅63+ 264− 1 (7+ 8+ ...+ 69)= 70⋅63+ 264− 1⋅38⋅63=

= 32⋅63+ 264⋅38⋅63= 2016+ 265⋅1197

Найдём $S2 :$

( 7 65) (8 65) (69 65) S2 = 2 + 3⋅2 + 2 + 3⋅2 + ...+ 2 + 3⋅2 =

7 8 69 65 70 7 65 5 65 65 65 = 2 +2 + ...+ 2 + 3⋅2 ⋅63= 2 − 2 + 3⋅2 ⋅63 =2 ⋅2 − 128+ 189⋅2 = 221 ⋅2 − 128

Искомое количество равно

S1− S2 = 2016+ 265⋅1197− (221⋅265 − 128)=

= 2144+ (1197− 221)⋅265 =2144+ 976⋅265 = 2144+ 61⋅269

Ответ:

$61⋅269+2144$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31392

Решить систему уравнений

{ √2 sinx− √3cosy = 5; siny+ √2cosx = − 32. 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие удачные коэффициенты собрались перед синусами и косинусами! К сожалению, синус и косинус х находятся в разных уравнениях. Давайте совместим их в одно, вычитая из первого равенства второе.

Подсказка 2

Нам хочется воспользоваться вспомогательным углом, ведь коэффициенты перед функциями от х это √2 и √2, а перед у это 1 и √3. Для того, чтобы эти коэффициенты стали синусом и косинусом известных нам углов, необходимо поделить выражение на 2!

Показать ответ и решение

Вычтем второе уравнение из первого и применим метод вспомогательного угла:

π π 2sin(x− 4)− 2sin(y+ 3)= 4

Оба слагаемых не превосходят 2, значит равенство возможно лишь в том случае, если:

{ π sin(x− 4π)= 1 sin(y+ 3)= −1

Откуда $3π 5π- x= 4 + 2πn;y = − 6 +2πk,n,k∈ℤ$ . Осталось подставить эти значения в уравнения системы и убедиться в том, что они подходят.

Ответ:

$(3π+ 2πn;− 5π+ 2πk),n,k ∈ℤ 4 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#79923

Найдите все пары положительных чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих системе уравнений

({ √-- ∘ y- y − 2 xy − x + 2= 0 ( 3x2y2+ y4 =84

Показать ответ и решение

Обозначим $∘ y= u, √xy-= v x$ (при этом $u> 0, v > 0$ ). Тогда $uv = ∘-y⋅√xy = ∘y2-=|y|=y x$ , $v = √xy :∘ y= √x2-=|x|=x u x$ , так как по условию $x$ и $y$ положительны. Система принимает вид

{ uv− 2v− u+ 2= 0, { (v− 1)(u− 2)= 0 4 44 ⇔ 4 4 4 3v + u v =84 3v + u v = 84

Из первого уравнения следует, что $v = 1$ или $u= 2$ . Если $v = 1$ , то $3+u4 =84$ , откуда $u= 3$ ; тогда $x= v = 1,y =uv =3 u 3$ . Если $u =2$ , то $4 4 3v + 16v =84$ , откуда $4∘-84- v = 19$ ; тогда $v 4∘21 4∘ 84- x= u = 76,y = uv = 2⋅ 19$ .

Ответ:

$(1;3),(4∘-21;2⋅ 4∘ 84) 3 76 19$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#51858

Решите систему

{ x2 +y2 ≤ 2; 81x4− 18x2y2+ y4− 360x2− 40y2+ 400 =0.

Источники: Физтех-2014, 11.4 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Второе уравнение очень напоминает квадрат тройной суммы, но, к сожалению, им не является, однако можно написать его в таком виде

2 2 2 2 (9x +y − 20)= (6xy)

Что эквивалентно

[ 9x2+ y2 − 20= 6xy [ (3x − y)2 = 20 [ 3x − y =±2√5 9x2+ y2 − 20= −6xy ⇐⇒ (3x +y)2 = 20 ⇐⇒ 3x +y =±2√5-

Остаётся разобрать 4 полученных случая. Например, если $3x− y =2√5$ , то из первого неравенства

x2+ (3x − 2√5)2 ≤ 2 ⇐⇒ 10x2− 12√5x+ 20 ≤2 ⇐ ⇒ (√10x− 3√2-)2 ≤0 ⇐⇒ x= √3- 5

И $1√- y = 5$ . Остальные случаи точно также дают ровно одно решение, откуда получаем ответ.

Ответ:

$(−√3,√1),(− 3√-,−√1),(√ 3-,− 1√-),(√3,√1) 5 5 5 5 5 5 5 5$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31181

Решите систему

(| 1 + 1--= − 2-; |{ x1 y+1z- 125 ||( y1 +-x+1z = −31; z +x+y = −4.

Источники: Физтех-2015, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Домножим на знаменатели, учитывая все ограничения, и сложим три уравнения, упростив итоговое.

Подсказка 2

Мы смогли выразить три попарных произведения через x+y+z и какой-то коэффициент. Учитывая ограничения, мы на сумму переменных запросто можем поделить, а значит выразить две каких-то буковки через третью и найти её :)

Показать ответ и решение

Домножив каждое уравнение на произведение знаменателей, получим систему

( −7,5(x+ y+ z)= xy+ xz |{ |( −1,5(x+ y+ z)= xy+ yz −4(x +y+ z)= xz+yz

Сложив почленно все три уравнения и разделив полученное равенство пополам, получаем равенство

xy+ xz+ yz =− 6,5(x+ y+z)

Вычитая из него каждое из уравнений последней системы, находим, что

(|{ − 2,5(x+ y+z)= xy (x+ y+ z)=yz |( − 5(x+ y+ z)=xz

Разделив первое уравнение на второе (это возможно, так как из ОДЗ исходной системы следует, что $xyz ⁄=0$ ), получаем, что $x =− 2,5z$ , а разделив первое на третье - что $y = 0,5z$ . Тогда второе уравнение принимает вид $− z = 0,5z2$ , откуда $z =−2,x= 5,y = −1$ .

Ответ:

$(5;− 1;−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31983

Решите систему уравнений

{ x2− 4xy+ 4y2 = 2x− 4y+3; √3x-− 6y = 2− xy.

Источники: Физтех-2014, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

С учётом замены $t=x − 2y$ первое уравнение равносильно $t2 =2t+ + 3⇐⇒ t= −1$ или $t= 3$ , однако для неотрицательности подкоренного во втором уравнении $t≥ 0$ , откуда подходит только $t= x− 2y =3$ . С учётом первого уравнения системы второе уравнение превращается в $2 − xy = 3⇐ ⇒ xy = −1$ . Мы преобразовали систему из условия к:

{ x= 2y+3; (2y+ 3)y +1= 0.

Тогда $y = −3±√9−-8,x = −3±1-+3 = 3±1- 4 2 2$ .

Ответ:

$(1;− 1),(2;−1∕2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#49486

Решите систему уравнений

(| 2x2 = yz− 2x; { 2y2 = −xz+ 2y; |( 2 2z = −xy+ 2z.

Источники: Физтех-2010, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1. заметим, что у нас уравнения симметричные. тогда вычтем, например, из второго третье и разложить на множители. из-за симметрии и слева, и справа будет общий множитель (y-z). тогда можно на него сократить и выразить из оставшегося х через y и z! // не забываем, что нельзя делить на ноль

Подсказка 2!

2. осталось аккуратно подставить, разобрать оба случая (деление на ноль и нет деления на ноль), не забываем сделать проверку, если у вас неравносильные переходы

Показать ответ и решение

Вычтем третье уравнение из второго

2 2 2(y − z)= x(y− z)+ 2(y − z) ⇐⇒ z− y = 0 или 2y+ 2z = x+2

В первом случае подставим $z = y$

{ 2x2 = z2 − 2x 2z2 =− zx+2z =⇒ z = 0 или 2z =− x+2

Для $y = z = 0$ имеем $2x2+ 2x= 0 ⇐⇒ x= 0,− 1$ , иначе $x =2 − 2z$ и

8z2 − 16z+ 8= z2 − 4+ 4z ⇐⇒ 7z2 − 20z+ 12 =0 ⇐ ⇒ z = 6 или z =2 7

Получаем тройки $(2,6,6) 7 7 7$ и $(−2,2,2)$ ,

Во втором случае $2y+ 2z = x+ 2$ , получаем

(| yz = 2x2+2x (| 8yz =16x2+ 16x { 2y2+ 2z2 = −x(y+ z)+2y+ 2z =⇒ { 4y2 +4z2 = −x2− 2x+2x +4 |( 2y+ 2z = x+2 |( 4y2 +8yz+ 4z2 =x2+ 4x+ 4

Отсюда

16x2+16x− x2+ 4= x2 +4x+ 4 ⇐⇒ 14x2 +12x= 0 ⇐⇒ x= 0,− 6 7

В первом случае $yz = 0$ , не умаляя общности, $y = 0$ , тогда $2z2 = 2z$ , откуда добавляется решение $(0,0,1)$ , а также $(0,1,0)$ для $z =0$ в силу симметрии.Bо втором $y+ z = x+2 = 47,yz = 2x2+ 2x = − 1429$ . Отсюда легко найти оставшиеся две тройки $(− 67,− 27,67),(− 67,67,− 27)$ . Проверкой убеждаемся, что они подойдут.

Ответ:

$(0,0,0),(−1,0,0),(2,6,6),(−2,2,2),(− 6,− 2,6),(− 6,6,− 2),(0,1,0),(0,0,1) 7 7 7 7 7 7 7 7 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#79281

Решить систему уравнений

{ 3x+y+1+7 ⋅3y−2 = 8 ∘x-+-y2 =x +y

Источники: Вступительные в МФТИ - 2001 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое уравнение выглядит проще и что с ним можно сделать, как преобразовать?

Подсказка 2

Конечно, второе уравнение выглядит приятнее, и мы можем просто возвести обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня. И оно сразу на скобочки раскладывается, как тогда можем продолжить решение?

Подсказка 3

Мы знаем, чему равен x, тогда можем просто подставить это в первое уравнение, чтобы найти y! Получаются показательные уравнения, которые уже легко решаются через замену

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы. Потребуем, чтобы $x +y > 0$ и возведем его в квадрат, тогда получим:

2 2 2 x+ y = x + 2xy +y

Откуда получаем

x(x+ 2y − 1)= 0

Тогда либо $x = 0,$ либо $x =1 − 2y.$

Если $x= 0$ (подставим в первое уравнение системы):

3y+1+ 7⋅3y−2 = 8

( ) 3y 3+ 7 =8 9

( ) 3y = 36⇒ y =log3 36 17 17

Если же $x =1 − 2y :$

32−y+ 7⋅3y−2 = 8

-1--+7⋅3y−2 = 8 3y−2

Сделаем замену $t= 3y−2$ и получим уравнение:

7t2− 8t+1 =0

Корни которого будут равны $t1 =1$ и $t2 = 1. 7$

При $t1 = 1$ нужно решить уравнение $3y−2 = 1⇒ y =2$ . Получаем, что $x= 1− 2y =− 3.$ Вспоминаем, что $x +y >0,$ значит, это решение не подходит.

При $t2 = 1 7$ нужно решить $3y− 2 = 1, 7$ то есть $y = 2− log3 7,$ а $x= 2log37− 3.$ Проверим, что $x+ y > 0.$

x+ y = log37− 1> log33− 1= 0

Значит, это решение нам подходит.

Ответ:

$(0, log (36)) , (2log 7− 3, 2− log 7) 3 17 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#79128

Дана система неравенств

(| |x|+ |y|≤2 { x2+y2 ≥4(x+ y− 1), |( (y − 3x− 2)(3y− x+ 2)≤ 0.

Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:

(a) первому неравенству системы;

(b) первым двум неравенствам системы;

Источники: Вступительные в МФТИ - 1999 (см. olymp.mipt.ru))

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С первым неравенством всё понятно, а чтобы построить график функции из второго неравенства, нужно выделить полные квадраты. Чтобы понять, какие точки удовлетворяют третьему неравенству, нужно рассмотреть части плоскости, на которые 2 прямые её делят, и понять, какие знаки в этих частях имеет каждая из линейных функций. И всё, картинка готова!

Подсказка 2

Не забываем, что площадь сегмента находится как разность площадей соответствующего сектора и треугольника, и на этом знаний нам достаточно. Осталось внимательно найти нужные площади и радоваться жизни!

Показать ответ и решение

(a) Первому неравенству удовлетворяют точки, лежащие в квадрате (рис.) с вершинами $A(−1; 0), B(0; 1), C(1; 0), D (0; − 1).$ Площадь этого квадрата $S1 = 8.$

$PIC$

(b) Второму неравенству, которое можно записать в виде

(x− 2)2+ (y − 2)2 ≥ 4,

удовлетворяют точки, лежащие вне круга радиуса $2$ с центром в точке $E (2; 2).$

Площадь заштрихованного на рис. сегмента равна $π− 2,$ а площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют первым двум неравенствам, равна

S2 = 8− (π− 2)= 10− π

(c) Прямые $y− 3x− 2 =0$ и $3y− x+ 2= 0$ пересекаются в точке $F(−1; 1)$ и проходят соответственно через точки $B$ и $C.$

Третьему неравенству удовлетворяют точки двух вертикальных углов с вершиной $F,$ один их этих углов — угол, образуемый лучами $FB$ и $FC$ и содержащий точку $O.$

Пусть $S3$ — площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют всем трем неравенствам системы, $S4$ — сумма площадей треугольников $ABF$ и $CDF.$ Тогда

S4 = 1S1 =4, S3 =S2− S4 = 6− π 2

Ответ:

$(a) 8$

$(b) 10− π$

$(c) 6− π$

Предыдущий раздел

Следующий раздел