Первое решение.

По формуле арифметической прогрессии

Из формулы суммы арифметической прогрессии с разностью получаем:

Пусть сумма арифметической прогрессии с разностью была в раз больше, чем сумма исходной. Тогда получаем:

Из первых двух равенств получаем, что

Тогда . Откуда из выражения для третьей суммы получим

Значит, .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

-ый член прогрессии с первым членом и разностью можно выразить, как соответственно.

Представим -й член прогрессии с разностью следующим образом:

При этом хотим найти такие , чтобы равенство было выполнено при любых и любых . Тогда нужно приравнять коэффициенты в левой части перед и , чтобы получилось тождество:

То есть . Так как данное равенство при выполняется при любых значениях , будет выполнено равенство для сумм прогрессий:

Значит,