Пусть имеет в своей записи цифру, тогда

где — это какое-то -значное число. Значит, после перестановки 3 в начало мы получим число

По условию получаем равенство

Следовательно, можем понять как выглядит

По условию должно делиться на 99, а следовательно оно делиться на 11. Значит, по признаку делимости на 11, знакопеременная сумма цифр числа должна делиться на 11. Но видно из его записи, когда чётно, то знакопеременная сумма равна 3, когда нечётно, то знакопеременная сумма равна 6. Следовательно, на 11 делиться не может.

В итоге делаем вывод, что чисел, подходящих под условия задачи, не существует.

Пусть - итоговое шестизначное число. Пусть также и . Заметим, что если Боря своим третьим ходом поставит цифру из множества , Аня выиграет, поскольку полученное число будет делиться на 2 . Значит, .

Пусть Аня первым ходом выберет цифру , а вторым ходом - цифру 9. Если Боря на первом или втором ходу выберет цифру из множества , то своим третьим ходом Аня заберет последнюю оставшуюся цифру из множества , и Боря вынужден будет взять свою цифру из , что приведет к его проигрышу. Значит, Боря вынужден взять первые две свои цифры и взяты из множества . Заметим, что Боря вынужден будет на последнем ходе выбрать либо цифру 1 , либо цифру 7 , которые дают одинаковый остаток 1 при делении на 3. Поэтому Ане достаточно подобрать цифру так, чтобы сумма цифр давала бы остаток 2 при делении на 3 . Поскольку и не влияют на остаток этой суммы, все зависит от остатка суммы . Покажем, как действовать Ане в каждом из случаев.

Если делится на 3 , то Аня выберет цифру из набора : поскольку до этого момента эти цифры мог выбирать только Боря, как минимум одна из этих трех цифр останется не выбранной.

Если дает остаток 1 при делении на 3 , Аня выберет цифру . Как мы помним, Боря не мог ее выбрать на первых двух ходах.

Наконец, если дает остаток 2 при делении на 3 , Аня выберет цифру из набора . Боря не мог выбрать обе эти цифры, поскольку тогда , а мы предположили, что дает остаток 2 при делении на 3 .

Таким образом, Аня выиграет.

Будем последовательно выбирать цифры от первого места к последнему.

На первом месте могла оказаться любая цифра, кроме На втором, третьем и четвертом местах могла оказаться любая цифра. Осталось выбрать цифру на последнее место. Для этого рассмотрим, какие могли быть остатки у суммы первых четырех выбранных цифр. Обозначим этот остаток через а последнюю цифру через

• Если то или
• Если то или
• Если то или
• Если то или
• Если то или

Заметим, что для каждого можно выбрать последнюю цифру двумя способами. Это значит, что последнюю цифру нашего числа можно выбрать двумя способами. Тогда количество чисел, сумма цифр которых делится на 5, равно

Воспользуемся тем, что натуральное число даёт такой же остаток при делении на 9 как и у суммы цифр этого числа. Пусть количество цифр 5 в числе равно тогда количество цифр 4 равно и нечётно. Теперь посчитаем сумму цифр этого числа:

Тогда остаток при делении на 9 равен 4.

В записи любого числа, получаемого перестановкой цифр, будут цифры и Чтобы число делилось на последняя цифра должна делиться на то есть должна быть равной либо либо При этом чтобы число делилось также и на последняя цифра должна быть четной. Поэтому подходит только цифра Но в данном в условии числе нет цифры поэтому добиться одновременной делимости и на и на нельзя.

По условию, эти числа записываются только цифрами Тогда трехзначные числа, кратные могут иметь на конце в точности вариантов: При этом на первом месте в каждом из этих вариантов может стоять одна из возможных цифр: В случае, если число двузначное, имеем вариантов. А также — однозначное натуральное число, кратное Итого,

Посчитаем на каких позициях останутся цифры после двух стираний. После первого стирания на доске останутся только цифры стоящие на нечётные местах. После второго стирания мы вычеркнем цифры на , , , …местах. Это числа, которые при делении на дают остаток . Это действительно так, потому что если мы вычернкнули цифру на месте , то останутся цифры на местах , , а следюущая — -ая будет вычеркнута. Числа и дают одинаковые остатки при делении на , а значит, мы действительно вычеркнем все цифры ,позиции которых дают остаток при делении на , так как первое вычеркнутое цифра будет -ой. То есть оставшиеся цифры разбиваются на пары, в которых первая позиция даёт остаток при делении на , а второая — . А при делении на их позиции дают остаток . Это означает, что остались цифры стоящие на местах, которые дают остаток и при делении на . Если пронумеровать пары оставшихся цифр, то в паре с номером будут стоять цифры на местах вида и . Цифры стоящие на -ом и -ом месте попадают в пару под номером . Это значит, что там будут цифры и исходного числа.

Теперь найдём что за цфиры там стоят. Числа от до занимают цифр, далее от до — ещё цифр, всего , числа от до — = и всего цифр. Числа от до дают нам цифр, а значит в этом промежутке стоит искать. Первая цифра встретится в числе , причём так как целое число, то это будет последней цифрой в . Вторая цифра, соотвественно, будет цифра в числе . В итоге получаем сумму .

После первого стирания на доске останутся только нечётные числа. Посмотрим на второе. Мы вычеркнем числа , , , …. Это числа, которые при делении на дают остаток . Это действительно так, потому что если мы вычернкнули число , то останутся числа , , а следующее — будет вычеркнуто. Числа и дают одинаковые остатки при делении на , а значит, мы действительно вычеркнем все числа, дающие остаток при делении на , так как первое вычеркнутое число равно . То есть оставшиеся числа разбиваются на пары, в которых первое число даёт остаток при делении на , а второе — . А при делении на эти числа дают остаток . Это означает, что остались числа дающие остаток и при делении на . Если пронумеровать пары оставшихся чисел, то в паре с номером будут стоять числа вида и . Числа стоящие на -ом и -ом месте попадают в пару под номером . Это значит, что там будут числа и . Их сумма равна .

Число, которое делится на , должно оканчиваться на или на . Зеркальное число оканчиваться на не может, так как тогда оно должно и начинаться на . Итак, первая и последняя цифры — это . Вторая и третья цифра могут быть любыми — от сочетания до сочетания — всего вариантов. Так как четвертая цифра повторяет вторую, всего различных чисел будет .

Заметим, что даёт только остатки по модулю для соответственно.

Для имеем

По условию нам нужно

В качестве примера рассмотрим . Здесь накладываются два условия . Уместно воспользоваться Китайской теоремой об остатках, которая говорит нам, что таких чисел будет ровно два в наборе , но можно и явно найти эти числа — . Здесь легко видеть, что от сдвига набора ничего не поменяется, поскольку нам важно только наличие всех остатков по модулю ровно по одному разу.

Абсолютно аналогично по два числа в каждом наборе из подряд идущего подойдут для остатков и , то есть в итоге из каждых нам подойдут чисел.

Поскольку , то из первых групп подойдут . Остаются числа чисел , из которых подходит . Получаем ответ

Предположим, что Косте удалось решить задачу. Обозначим число МАТЕ через , а число КА — через . Тогда делится на 137. Но делится на , а следовательно и на 137. Тогда делится на 137. Но , откуда , то есть буквам К и А соответствует одна и та же цифра — противоречие.

Можно считать, что стоимости монет в грошах взаимно просты. Действительно, если они имеют наибольший общий делитель , то деноминируем грош, приравняв один новый к старым. Тогда все условия задачи по-прежнему выполнены, но новые стоимости монет будут взаимно простыми. Пусть разбойников отняли монет на общую сумму в грошей. Так как при вычитании из стоимости любой монеты получим число, кратное , то стоимости всех монет дают при делении на один и тот же остаток . Так как стоимость любого набора из монет делится на , то делится на . Кроме того, и взаимно просты, поскольку любой их общий делитель является общим делителем стоимостей всех монет. Отсюда следует, что делится на .

Разобьем числа на блоки по 2, 3, 5 цифр соответственно. Тогда легко видеть, что каждое число будет делится на свой блок. То есть первое число будет делиться на 11, второе — на 111, третье — на 11111.

Рассмотрим некоторое четырехзначное число без цифр 0 и 9 в десятичной записи. Пусть оно равно . Рассмотрим число . Заметим, что сумма этих двух чисел делится на 101. Оба эти числа четырехзначные и не содержат цифр 0 и 9 в десятичной записи. Таким образом некоторые числа разбились на пары, а некоторое перешли сами в себя. Но любое число, которое перешло само в себя имеет вид , то есть делится на 101. Мы разбили все числа на группы, в каждой из которых сумма делится на 101, но тогда и вся сумма делится на 101.

Напишем на десяти карточках цифру 2, а на оставшихся девяти — цифру 1. Известно, что натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма , составленная из цифр данного числа, кратна 11. В числе, составленном из десяти цифр 2 и девяти цифр 1, выполняются неравенства . Сумма всех цифр нечётна (она равна 21), поэтому также нечётно. От -7 до 11 есть только одно нечётное число, кратное 11 — это число 11. Но для имеется единственная возможность – когда на нечётных местах стоят двойки, а на чётных – единицы.

Перепишем наше число как

Предположим, что это число является квадратом натурального числа. Тогда делится на 11. Поэтому и делится на 11. То есть нам осталось проверить для каждого из чисел является ли оно квадратом натурального числа, умноженного на 11. Легко видеть, что нам подходит только число 704, откуда , .

Заметим, что одно из чисел делится на 3, также среди этих трех чисел есть хотя бы одно четное. Тогда произведение делится на .

Чтобы доказать делимость произведения на 21, нам нужно доказать делимость на 3 и на 7. Рассматривая таблицу остатков кубов при делении на 7, мы видим, что кубы дают только остатки 0, 1 и 6. Тремя остатками 1 или 6 не получить сумму, делящуюся на 7, поэтому одно из чисел делится на 7.

Аналогично с остатком при делении на 9: кубы дают остатки 0, 1 или 8 при делении на 9. Опять же без остатка 0 не обойтись, ведь тремя числами, дающими остатки 1 или 8, не получить число, делящееся на 9. Значит, один из кубов делится на 9, поэтому и одно из чисел делится на 3.

На этом примере мы вспомним два признака делимости: на 11 и на 9. Для первого слова сразу видно, что вторая его часть получена из первой “переворотом”. Применим признак делимости на 11: число делится на 11 тогда и только тогда, когда знакопеременная сумма его цифр делится на 11. В нашем случае знакопеременная сумма равна

(Помним, что в знакопеременной сумме последняя цифра идёт со знаком “”, а дальше знаки чередуются.) Итак, это число в любом случае поделится на 11, и так как оно больше 11 — будет составным.

Про второе число чуть менее его важное свойство менее заметно. Но догадаться можно, просто перебирая признаки делимости: ведь мы не верим, что это число будет обязательно делиться на 2 или на 5? Значит, надо думать про делимость на 3 или на 9. И тут мы видим, что все буквы в слове НАХОДЧИВЫЙ различны! Значит, как бы мы ни заменяли буквы цифрами, у нас получится число, в котором по разу встречаются все цифры от 0 до 9, и сумма цифр этого числа будет равна 45. Таким образом, число будет делиться на 9.

Заметим, что среди этих чисел есть 2 числа, которые дают одинаковый остаток при делении на 7. Пусть это и . Тогда получившееся из них число равно .