Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан остроугольный треугольник В нём провели высоты и которые пересеклись в точке
а) Докажите, что угол равен углу
б) Найдите расстояние от центра описанной окружности треугольника до его стороны если известно, что а
Источники:
а) Рассмотрим четырёхугольник Заметим, что он вписанный, так как сумма его противоположных углов равна
Проведем его диагонали и Так как — вписанный, то углы, опирающиеся на его сторону равны, то есть
Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что с коэффициентом Докажем это.
Заметим, что четырехугольник — вписанный, так как углы, опирающиеся на его сторону равны
Следовательно, по свойству вписанного четырехугольника. Угол общий, значит, по двум углам с коэффициентом
Тогда запишем отношение подобия:
Пусть — центр описанной окружности треугольника Тогда центральный угол в два раза больше вписанного угла то есть
Значит, равносторонний, так как в нем есть угол в и как радиусы описанной окружности треугольника Таким образом,
Тогда расстояние от точки до равно высоте равностороннего треугольника, то есть
б) 18
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямая, перпендикулярная стороне ромба пересекает его диагональ в точке а диагональ в точке причем
а) Докажите, что прямая делит сторону ромба в отношении
б) Найдите сторону ромба, если
Источники:
а) Пусть прямая из условия пересекает в точке а — в точке пусть — точка пересечения диагоналей ромба. Опустим высоту на
Заметим, что Тогда
Так как а то — середина
Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой
По теореме Фалеса для угла и параллельных прямых и (обе эти прямые перпендикулярны )
Таким образом, в два раза меньше Значит, Значит,
Четырехугольник — прямоугольник. Тогда следовательно,
б) Заметим, что
Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому
Прямоугольные треугольники и подобны по двум углам: прямому и общему. Тогда
Значит, так как то по формуле косинуса двойного угла
Тогда
Значит,
Пусть Тогда по теореме косинусов для треугольника
Таким образом, сторона ромба равна
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямая, перпендикулярная стороне ромба пересекает его диагональ в точке а диагональ в точке причем
а) Докажите, что прямая делит сторону ромба в отношении
б) Найдите сторону ромба, если
Источники:
а) Пусть прямая из условия пересекает в точке а — в точке пусть — точка пересечения диагоналей ромба. Опустим высоту на
Заметим, что Тогда
Так как а то — середина
Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой
По теореме Фалеса для угла и параллельных прямых и (обе эти прямые перпендикулярны )
Таким образом, в два раза меньше Значит, Значит,
Четырехугольник — прямоугольник. Тогда следовательно,
б) Заметим, что
Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому
Прямоугольные треугольники и подобны по двум углам: прямому и общему. Тогда
Значит, так как то по формуле косинуса двойного угла
Тогда
Значит,
Пусть Тогда по теореме косинусов для треугольника
Таким образом, сторона ромба равна 6.
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямая, перпендикулярная стороне ромба пересекает его диагональ в точке а диагональ в точке При этом
а) Докажите, что
б) Найдите площадь ромба, если
Источники:
а) Пусть прямая из условия пересекает в точке а — в точке Пусть — точка пересечения диагоналей ромба. Опустим высоту на
Заметим, что Тогда
Так как а то — середина
Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой
Прямые и перпендикулярны прямой а значит параллельны. Тогда по теореме Фалеса для угла
Таким образом, в два раза меньше Значит, Но в ромбе тогда имеем:
б) Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому
Прямоугольные треугольники и подобны по двум углам: прямому и общему. Тогда имеем:
Значит, так как то по формуле косинуса двойного угла
Отсюда получаем
Значит,
Мы знаем, что
Тогда окончательно имеем:
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан равносторонний треугольник На его стороне отмечена точка Серединный перпендикуляр к отрезку пересекает стороны и в точках и соответственно.
а) Докажите, что угол равен углу
б) Найдите отношение площадей треугольников и если
а) Треугольник — равносторонний, поэтому все его углы равны
Пусть Тогда Точки и лежат на серединном перпендикуляре к поэтому и
Таким образом, треугольники и — равнобедренные. Тогда
Заметим, что — внешний для треугольника поэтому
Аналогично — внешний для треугольника поэтому
Тогда по сумме углов треугольника
б) Заметим, что треугольники и подобны по двум углам, так как по пункту а), Тогда
Пусть Тогда, так как то получаем
Пусть Тогда
Запишем теорему косинусов для треугольника
Тогда а
Таким образом,
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана равнобедренная трапеция с основаниями и Биссектрисы углов и пересекаются в точке Через точку провели прямую, параллельную основаниям, которая пересекла боковые стороны и в точках и соответственно.
а) Докажите, что
б) Найдите если известно, что и
Источники:
а) По условию Тогда — трапеция. С другой стороны, трапеция — равнобедренная, тогда
Значит, — равнобедренная трапеция, то есть
Также из параллельности и следует, что накрест лежащие углы и образованные секущей равны. Значит,
Таким образом, в треугольнике равны углы при стороне Значит, он равнобедренный и
Из параллельности и следует, что накрест лежащие углы и образованные секущей равны. Значит,
Таким образом, в треугольнике равны углы при стороне Значит, он равнобедренный и
Таким образом,
б) Заметим, что
Опустим из точки перпендикуляры и на и соответственно. Тогда Значит,
Тогда прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу, так как и Тогда
По пункту а) и Тогда по теореме Фалеса для прямых и и секущих и
Значит, Таким образом, Тогда — большее основание.
Найдем
Таким образом,
Пусть Тогда При этом — высота трапеции. Пусть — высота трапеции из точки Тогда
Из прямоугольного треугольника
Значит,
Заметим, что — прямоугольник, тогда Значит,
Таким образом,
Так как трапеция — равнобедренная, то
Следовательно,
Тогда
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана равнобедренная трапеция с основаниями и Биссектрисы углов и пересекаются в точке Точки и отмечены на боковых сторонах и соответственно. Известно, что
а) Докажите, что точки и лежат на одной прямой.
б) Найдите если известно, что и
Источники:
а) Так как — биссектриса угла то По условию значит, треугольник — равнобедренный. Тогда Таким образом,
Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми и и секущей равны. Значит,
Так как — биссектриса угла то По условию значит, треугольник — равнобедренный. Тогда Таким образом,
Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми и и секущей равны. Значит,
Тогда, так как — трапеция, то Поскольку эти прямые проходят через точку то точки и лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что
Опустим из точки перпендикуляры и на прямые и соответственно. Тогда Значит,
Тогда прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу, так как и Тогда
По пункту а) имеем и Тогда по теореме Фалеса для прямых и и секущих и
Найдем величину
Пусть — высота трапеции. Тогда
Пусть Так как трапеция — равнобедренная, то
Заметим, что — прямоугольник, тогда Значит, получаем
Тогда имеем:
Следовательно,
Так как угол — острый, то получаем искомое отношение
б) 1 : 2
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямая, перпендикулярная стороне ромба пересекает его диагональ в точке а диагональ в точке причем
а) Докажите, что
б) Найдите площадь ромба, если
а) Пусть прямая из условия пересекает в точке а — в точке пусть — точка пересечения диагоналей ромба. Опустим высоту на
Заметим, что Тогда
Так как а то — середина
Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой
По теореме Фалеса для угла и параллельных прямых и (обе эти прямые перпендикулярны )
Таким образом, в два раза меньше Значит, Но в ромбе тогда
б) Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому
Прямоугольные треугольники и подобны по двум углам: прямому и общему. Тогда
Значит, так как то по формуле двойного угла
Тогда
Значит,
Мы знаем, что Тогда
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность касается одной из сторон прямого угла в точке и пересекает другую сторону угла в точках и Точка лежит на отрезке а — диаметр этой окружности.
a) Докажите, что
б) Найдите расстояние от точки до прямой если
Источники:
а) Пусть — центр окружности. Продлим до пересечения с Пусть это точка Рассмотрим четырехугольник В нем так как — радиус окружности, а — касательная; по условию.
Найдем угол Так как он вписанный, опирающийся на диаметр то
Следовательно, — прямоугольник, то есть
Таким образом, — высота в равнобедренном треугольнике а значит и медиана. Имеем Следовательно,
б) Расстояние от точки до прямой равно высоте треугольника проведенной из точки к
Треугольник — равнобедренный, а значит высоты, проведенные к его боковым сторонам, равны. Таким образом, расстояние от точки до прямой равно высоте треугольника проведенной из точки к
Точка лежит на прямой которая параллельна следовательно, расстояние от точки до равно расстоянию между параллельными прямыми и а это и есть
Значит, расстояние от точки до равно
По теореме о касательной и секущей имеем:
Следовательно, расстояние от точки до равно 4.
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две окружности касаются внутренним образом в точке причем меньшая проходит через центр большей. Хорда большей окружности касается меньшей в точке Хорды и пересекают меньшую окружность в точках и соответственно, а отрезки и пересекаются в точке
a) Докажите, что
б) Найдите если а радиус малой окружности равен
Источники:
а) Проведем через точку общую касательную к окружностям.
Рассмотрим меньшую окружность. Мы знаем, что угол между хордой и касательной к окружности равен половине дуги, заключенной между ними, значит, угол между и равен вписанному углу
Рассмотрим большую окружность. По аналогичным соображениям угол между и равен вписанному углу
Тогда, так как точки и лежат на одной прямой, то
Таким образом, по признаку параллельных прямых
Рассмотрим треугольники и Они подобны по двум углам: — общий, а как соответственные при параллельных прямых и и секущей Запишем отношение подобия:
Рассмотрим треугольники и Они подобны по двум углам: — общий, а как соответственные при параллельных прямых и и секущей Запишем отношение подобия:
Таким образом,
б) Пусть По условию В предыдущем пункте мы доказали, что следовательно, Тогда
Пусть и — центры большей и меньшей окружностей соответственно. Пусть — перпендикуляр к В равнобедренном треугольнике отрезок — это высота, а значит и медиана. Тогда Таким образом,
Заметим, что радиус большей окружности равен диаметру меньшей, то есть
Запишем теорему Пифагора для треугольника
Таким образом,
Проведем Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то
Пусть — перпендикуляр к Тогда — прямоугольник, следовательно,
Заметим, что
Тогда по теореме Пифагора для треугольника
Найдем
Таким образом,
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две окружности касаются внешним образом в точке и — диаметры первой и второй окружностей. Из точки проведена касательная ко второй окружности, которая вторично пересекает первую окружность в точке Луч вторично пересекает первую окружность в точке
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите площадь треугольника если
Источники:
а) Вписанный угол равен так как опирается на диаметр Вписанный угол равен так как опирается на диаметр Таким образом, накрест лежащие углы и образованные прямыми и и секущей равны. Следовательно, прямые и параллельны.
б) Пусть — середина Тогда — центр окружности с диаметром Проведем радиус к точке касания. Получим, что
Рассмотрим треугольники и Они подобны по двум углам: — общий. Пусть Запишем отношение подобия:
Таким образом,
Из отношения подобия треугольников и
Рассмотрим прямоугольный треугольник В нем по теореме Пифагора
Тогда
— трапеция, и — ее диагонали, а — их точка пересечения. Значит, Тогда
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две окружности касаются внутренним образом в точке причем меньшая проходит через центр большей. Хорда большей окружности касается меньшей в точке Хорды и пересекают меньшую окружность в точках и соответственно.
a) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Пусть — точка пересечения отрезков и Найдите если радиус большей окружности равен 10, а
Источники:
а) Проведем через точку общую касательную к окружностям.
Рассмотрим меньшую окружность. Мы знаем, что угол между хордой и касательной к окружности равен половине дуги, заключенной между ними, значит, угол между и равен вписанному углу
Рассмотрим большую окружность. По аналогичным соображениям угол между и равен углу
Тогда, так как точки и лежат на одной прямой, то
Таким образом, по признаку параллельных прямых
б) Пусть и — центры большей и меньшей окружностей соответственно. Проведем радиус Заметим, что так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
Опустим перпендикуляр на В равнобедренном треугольнике отрезок — высота, а значит и медиана. Тогда
По теореме Пифагора для треугольника
Так как отрезки и — радиусы меньшей окружности, то
Рассмотрим прямоугольную трапецию
Пусть — перпендикуляр к тогда — прямоугольник и
Следовательно, по теореме Пифагора
Тогда
Так как хорды данных окружностей, лежащие на одной прямой, проходящей через точку относятся как их диаметры, то — средняя линия в треугольнике Тогда — средняя линия в треугольнике и — средняя линия в треугольнике следовательно,
По теореме о произведении отрезков хорд имеем:
С учетом равенства получим следовательно,
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Касательная к окружности, вписанной в квадрат пересекает его стороны и в точках и соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника равен стороне квадрата.
б) Прямая пересекает прямую в точке Через центр вписанной окружности квадрата и точку проведена прямая, которая пересекает сторону в точке Известно, что Найдите
Источники:
а) Пусть и — середины сторон и Заметим, что и — точки касания вписанной окружности и квадрата.
Пусть — точка касания вписанной окружности с прямой Тогда отрезки касательных и проведенных из точек к вписанной окружности, равны, то есть Аналогично Тогда
б) Пусть — центр вписанной окружности, — точка пересечения прямых и
Рассмотрим треугольники и В них углы и равны как вертикальные, углы и равны как накрест лежащие, образованные параллельными прямыми и и секущей отрезки и равны, так как — центр вписанной окружности квадрата, то есть и его центр. Тогда по стороне и прилежащим к ней углам треугольники и равны.
Соответственные элементы равных треугольников равны, поэтому Таким образом,
Заметим, что треугольники и подобны по двум углам: — общий, Тогда имеет место отношение
Пусть Тогда то есть Значит, Следовательно,
Пусть Тогда Таким образом,
Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника
В таком случае
Тогда
Заметим, что треугольники и подобны по двум углам: как вертикальные, Запишем отношение подобия:
Таким образом,
Тогда
Значит,
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник Точки и отмечены на сторонах и соответственно, при этом Точки и — середины и соответственно.
а) Докажите, что точки и лежат на одной окружности.
б) Найдите косинус угла, образованного отрезками и если
Источники:
а) Проведем отрезки и Рассмотрим треугольник По условию то есть он равнобедренный. Тогда его медиана также является высотой и биссектрисой. Значит,
Рассмотрим треугольник По условию то есть он равнобедренный. Тогда его медиана также является высотой и биссектрисой. Значит,
Таким образом, в четырехугольнике углы, опирающиеся на сторону равны, следовательно, — вписанный, то есть точки и лежат на одной окружности.
б) Пусть — точка пересечения и — точка пересечения и Тогда требуется найти модуль косинуса угла
Рассмотрим четырехугольник Он вписанный, так как сумма его противоположных углов равна
Значит, по свойству вписанного четырехугольника
Углы и равны как вертикальные.
По сумме углов треугольника имеем
Таким образом,
Мы уже знаем, что и — биссектрисы углов и треугольника соответственно. Значит,
Так как сумма двух углов треугольника меньше то угол острый и модуль его косинуса равен его косинусу. Тогда далее будем искать косинус угла
Теперь проанализируем треугольник По условию в нем Заметим, что
Значит, по теореме, обратной теореме Пифагора, — прямоугольный, где
Пусть Тогда
Таким образом,
По формуле косинуса суммы
Треугольник — прямоугольный, значит,
Тогда
По основному тригонометрическому тождеству
Следовательно,
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник Известно, что На стороне построен равносторонний треугольник при этом точки и лежат по разные стороны от прямой
а) Докажите, что вокруг полученного четырехугольника можно описать окружность.
б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей четырехугольника до центра его описанной окружности.
а) Запишем теорему косинусов для треугольника
Так как то
Тогда сумма противоположных углов четырехугольника равна
Значит, — вписанный четырехугольник.
б) Пусть — точка пересечения диагоналей и Заметим, что — биссектриса угла так как вписанные углы и опираются на равные дуги. Тогда по свойству биссектрисы в треугольнике имеем:
Значит, с учетом получаем
Пусть — центр описанной окружности Тогда — точка пересечения медиан, высот и биссектрис равностороннего треугольника Пусть — одна из высот. Тогда имеем:
При этом — середина то есть Значит,
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника
Тогда искомое расстояние равно
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На стороне острого угла с вершиной отмечена точка Из точки на биссектрису и на другую сторону угла опущены перпендикуляры и соответственно.
a) Докажите, что
б) Прямые и пересекаются в точке Найдите отношение если
Источники:
a) Углы и прямые, значит, точки и лежат на окружности с диаметром
Биссектриса вписанного угла делит дугу пополам, значит, хорды и стягивающие равные дуги, равны. Отсюда с учетом теоремы Пифагора для треугольников и
б) Пусть тогда из прямоугольного треугольника
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, тогда
В прямоугольных треугольниках и
Тогда искомое отношение равно
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В параллелограмме на стороне взята точка такая, что
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник лежит на диагонали
б) Найдите радиус вписанной в треугольник окружности, если
Источники:
а) По условию значит, треугольник равнобедренный, то есть
Так как — параллелограмм, то Тогда следовательно, — биссектриса угла значит, центр вписанной окружности лежит на
б) Обозначим через тогда По теореме косинусов в треугольнике
По теореме косинусов в треугольнике с углом
Треугольник и параллелограмм имеют общую высоту, равную расстоянию между прямыми и и общую сторону перпендикулярную этой высоте. Значит, площадь треугольника равна половине площади параллелограмма
C другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Отсюда найдём радиус вписанной в треугольник окружности:
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В параллелограмме проведена биссектриса угла На прямой за точкой отметили точку такую, что Кроме того,
а) Докажите, что треугольники и подобны.
б) Найдите если и
Источники:
а) По условию значит, так как — биссектриса то
Так как — параллелограмм, то Следовательно, как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми и и секущей Тогда для внешнего угла треугольника имеем:
Значит, треугольники и подобны по двум углам:
б) Пусть — середина тогда имеем:
Рассмотрим треугольник По предыдущему пункту значит, треугольник — равнобедренный. Следовательно,
Рассмотрим треугольник По условию значит, Тогда точки и лежат на одной прямой, то есть
Рассмотрим треугольник В нем значит,
Рассмотрим треугольник Так как — параллелограмм, а — середина то в треугольнике можем найти сторону
По формуле тангенса двойного угла имеем:
Таким образом,
Тогда искомый отрезок равен
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На стороне треугольника отмечена точка такая, что Биссектриса треугольника пересекает прямую в точке Из точки на прямую опущен перпендикуляр
a) Докажите, что
б) Найдите отношение площади треугольника к площади четырёхугольника если
а) Рассмотрим треугольник Так как — его биссектриса, то по свойству биссектрисы треугольника
Рассмотрим треугольник По условию то есть треугольник равнобедренный. Поскольку — его биссектриса, а значит, высота и медиана, то По условию значит, Тогда по теореме о пропорциональных отрезках Тогда имеем:
б) Пусть — площадь треугольника Заметим, что — медиана треугольника значит, площади треугольников и равны, то есть
По условию значит,
Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей
Тогда можем найти площадь треугольника
Теперь мы можем найти площадь четырехугольника
Тогда искомое отношение площадей равно
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник в котором проведены три высоты: и Через точку проведена прямая, параллельная которая пересекает в точке Пусть — точка пересечение высот треугольника
а) Докажите, что
б) Найдите отношение площадей треугольников и если и
Источники:
а) Рассмотрим четырехугольник В нем значит, четырехугольник — вписанный. Тогда внешний угол при вершине равен противолежащему углу то есть
Рассмотрим треугольник В нем значит, по сумме углов треугольника
Соответственные углы и образованы параллельными прямыми и и секущей значит,
Рассмотрим угол Он прямой, так как — высота треугольника Тогда
Мы получили, что и значит, треугольники и подобны по двум углам, следовательно, выполняется соотношение
б) Запишем теорему косинусов для треугольника
Тогда мы можем найти и
В предыдущем пункте мы доказали, что Рассмотрим прямоугольный треугольник В нем имеем:
Найдем Так как является углом треугольника, то Тогда
По условию Тогда коэффициент подобия треугольников и равен
б)