Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Касательная к окружности, вписанной в квадрат 
пересекает его стороны
и 
в точках 
и 
соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника 
равен стороне квадрата.
б) Прямая 
пересекает прямую 
в точке 
Через центр
вписанной окружности квадрата и точку 
проведена прямая, которая
пересекает сторону 
в точке 
Известно, что 
Найдите
Источники:
а) Пусть 
и 
— середины сторон 
и 
Заметим, что 
и 
— точки
касания вписанной окружности и квадрата.
Пусть 
— точка касания вписанной окружности с прямой 
Тогда отрезки касательных 
и 
проведенных из точек 
к
вписанной окружности, равны, то есть 
Аналогично 
Тогда
б) Пусть 
— центр вписанной окружности, 
— точка пересечения прямых
и 
Рассмотрим треугольники 
и 
В них углы 
и 
равны
как вертикальные, углы 
и 
равны как накрест лежащие,
образованные параллельными прямыми 
и 
и секущей 
отрезки 
и 
равны, так как 
— центр вписанной окружности квадрата, то есть и его
центр. Тогда по стороне и прилежащим к ней углам треугольники 
и 
равны.
Соответственные элементы равных треугольников равны, поэтому 
Таким образом,
Заметим, что треугольники 
и 
подобны по двум углам: 
—
общий, 
Тогда имеет место отношение
Пусть 
Тогда 
то есть 
Значит, 
Следовательно,
Пусть 
Тогда 
Таким образом, 
Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника 
В таком случае
Тогда
Заметим, что треугольники 
и 
подобны по двум углам:
как вертикальные, 
Запишем
отношение подобия:
Таким образом,
Тогда
Значит,
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
