Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Последовательность задана рекуррентным соотношением
и начальными условиями . Можно ли по этим данным однозначно восстановить ?
Источники:
Подсказка 1
Давайте попробуем немного угадать ответ. Если бы нельзя было восстановить член, то сходу не очень понятно, как решать задачу. Поэтому давайте поверим, что мы найдём этот член, и попробуем сделать это. Что первое хочется сделать, увидев рекуррентную формулу?
Подсказка 2
Верно, попробовать подставить что-то вместо n. Например, взять n-1 и посмотреть, что получится. В задаче же у нас спрашивают про чётный член. Тогда в теории надо как-то избавиться от членов вида n-1 и n-3 в формуле. Посмотрев на формулы для n и n-1, что можно попробовать сделать?
Подсказка 3
Да, давайте сложим две формулы, тогда останутся только члены с номерами n, n-2 и n-4. Теперь, записав полученное выражение как разность членов n, n-2 и n-2, n-4, можем найти формулу для разности 2k и 2(k-1) члена, через суммирование таких выражений. Как же теперь можно найти формулу для 2k-ого члена?
Подсказка 4
Верно, сложим аналогично выражения для всех k от 1 до m. Тогда слагаемые буду сокращаться и мы сможем выразить m-ый член. Победа!
Перепишем рекуррентную формулу:
Записав её для вместо получим
откуда
Поскольку то
Значит,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сумма первых шести членов арифметической прогрессии равна сумме следующих четырех членов. Найдите
Пусть — разность прогрессии. Тогда в частности . Тогда сумма первых шести членов прогрессии равна
а сумма следующих четырёх равна
По условию эти суммы равны:
Подставим в искомое выражение
Замечание.
При сокращении мы воспользовались тем, что хотя в условии олимпиады ИТМО-2020 этого (или равносильного этому условия о том, чтобы прогрессия была не постоянной) дано не было. Судя по всему, предполагалось, что искомое отношение определено и задумываться о таком не надо было.