Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Коэффициенты многочлена степени 
взятые в том же порядке (начиная со старшей степени), образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 
Выясните, может ли 
иметь только один корень.
Если может, укажите минимальную степень (из диапазона выше), при которой это возможно, и выразите корень через 
и 
. Если
нет, укажите минимально возможное количество корней при любом 
Заметим, что 
и 
следовательно 
Значит, 
не является корнем.
Поймём, что одночлены (начиная со старшего) в многочлене образуют геометрическую прогрессию с знаменателем 
Значит, многочлен может быть представлен как сумма первых 
члена данной прогрессии. Заметим, что если 
то
Значит, 
не корень. Поэтому дальше будем считать 
и запишем следующее
Выразим корни с учётом 
и 
Если 
нечётно, тогда 
чего быть не может, а если 
чётно, тогда 
а в силу ограничений получаем 
Это
и будет единственным корнем.
Теперь найдём минимальное 
Из условий 
и 
чётно получаем, что 
подходит.
может при 
, корень равен 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В уравнении
можно как угодно переставлять коэффициенты при всех степенях 
, кроме самой старшей. Можно ли такой перестановкой добиться,
чтобы уравнение имело хотя бы два положительных корня?
Источники:
Подсказка 1
Давайте подумаем, какой в этой задаче может быть ответ: если ответ да, то необходимо предъявить пример. Не очень хочется подбирать коэффициенты и искать корни. Давайте попробуем доказать, что, как бы мы не меняли коэффициенты местами, положительных корней будет не больше 1. На что вас наводит последнее предложение?
Подсказка 2
На монотонность! Вспомните, если функция строго монотонна, то она имеет не более 1 корня. Давайте попробуем найти здесь что-то похожее. Пускай (a₂, a₃, ..., a₂₀₂₃)- произвольная перестановка чисел (2, 3, ..., 2023). Тогда наш многочлен имеет вид: x²⁰²²-a₂x²⁰²¹-...-a₂₀₂₃=0. Нам мешаются минусы, может, перенести их в правую часть?
Подсказка 3
x²⁰²²=a₂x²⁰²¹+...+a₂₀₂₃. Теперь справа у нас монотонная функция, при x>0. Но слева у нас также монотонная функция, поэтому сразу завершить решение не получится. Что можно сделать, чтобы слева у нас стояла константа?
Подсказка 4
Можно поделить обе части на x²⁰²² (т.к. нас интересуют положительные корни, мы можем это сделать). Тогда: 1=a₂/x+a₃/x²+...+a₂₀₂₃/x²⁰²². Что мы можем сказать про функцию, стоящую справа?
Подсказка 5
Она строго убывает. Действительно, при увеличении x знаменатель каждой дроби увеличится, а значит, сами они уменьшатся. ⇒ Справа функция монотонно убывает, а слева константа, равная 1 ⇒ она пересекает ее не более чем в 1 точке. Победа!
Докажем, что это невозможно.
От исходного уравнения перейдем к уравнению, в котором коэффициенты многочлена образуют произвольную перестановку
из чисел 
Заметим, что 
не является корнем уравнения, т.к. при его подстановке в уравнение получим:
что неверно.
Перенесём все отрицательные члены направо, а затем поделим уравнение на 
(при условии 
):
В правой части уравнения получили строго монотонно убывающую на положительной полуоси функцию:
Доказательство строгой монотонности: пусть 
Тогда для любого 
выполнено:
Строгое монотонное убывание 
на положительной полуоси означает, что она пересекает горизонтальную прямую 
в
единственной точке, которая и будет единственным положительным корнем исходного уравнения.
