Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все целочисленные решения данного уравнения, если таковые существуют.
Через здесь обозначена целая часть числа
Источники:
Подсказка 1
Первое, что нужно понять - не стоит бояться задач, которые выглядят громоздко. Они милые внутри. К примеру, в этой задаче, можно взять разные d, разные x, и найти чему будет равна сумма слева, а потом доказать, что так будет всегда. Не могли же нам дать какой-то гроб, где и слева страшная бяка и справа логарифмы, которые вообще мало связаны с нашим «целым» миром.
Подсказка 2
Первое, что надо сделать, чтобы найти эту сумму, это сказать, что x = kd + m. Иначе, не понятно, как можно искать эти самые целые частные от деления на d. Теперь нам надо понять, с какого момента каждая скобка становится равна не k, а k + 1. И посмотреть по сколько у нас значений k и k + 1.
Подсказка 3
Верно, значений k у нас d - m штук, а значений k + 1 ровно m. Значит наша сумма - это k(d - m) + m(k + 1) = kd + m = x. Ого, а теперь задача не такая уж и страшная! Остается преобразовать левую часть по формуле разность логарифмов и получить уравнение вида log_2((2^x + 1)/6) = -x. А это уже крайне понятно решается(квадратно уравнение на 2^x).
Докажем, что если целое, натуральное, то
Представим в виде где (неполное частное), (остаток). Тогда величины
будут равны Их количество равно
Величины
будут равны Их количество равно
Итого получаем
Преобразуем правую часть уравнения
Таким образом, приходим к уравнению
Обозначая и решая полученное квадратное уравнение, находим, что (другой корень не подходит по знаку).
Следовательно, единственное решение
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для каждого целого значения параметра решите систему уравнений
Здесь означает целую часть числа .
Источники:
Подсказка 1
Когда видим операцию взятия целой части, то стандартной идеей является разложение в виде суммы целой и дробной части.
Подсказка 2
Пусть x = m + a, y = n + b, где m и n — это целые числа, a и b – числа из промежутка [0; 1) Подставим наши разложения в первое уравнение, что тогда можно сказать про b?
Подсказка 3
2m+n+b=3/2, значит, b = 1/2, n = 1 – 2m. Подставим полученные значения во второе уравнение.
Подсказка 4
Учитывая, что K – целое число, чему тогда равно a? Как K можно выразить через m?
Пусть
Из первого уравнения получаем
Подставим эти значения во второе уравнение:
Тогда
Если где то
При других решений нет.