Подсказка 1

Давайте подумаем, какой в этой задаче может быть ответ: если ответ да, то необходимо предъявить пример. Не очень хочется подбирать коэффициенты и искать корни. Давайте попробуем доказать, что, как бы мы не меняли коэффициенты местами, положительных корней будет не больше 1. На что вас наводит последнее предложение?

Подсказка 2

На монотонность! Вспомните, если функция строго монотонна, то она имеет не более 1 корня. Давайте попробуем найти здесь что-то похожее. Пускай (a₂, a₃, ..., a₂₀₂₃)- произвольная перестановка чисел (2, 3, ..., 2023). Тогда наш многочлен имеет вид: x²⁰²²-a₂x²⁰²¹-...-a₂₀₂₃=0. Нам мешаются минусы, может, перенести их в правую часть?

Подсказка 3

x²⁰²²=a₂x²⁰²¹+...+a₂₀₂₃. Теперь справа у нас монотонная функция, при x>0. Но слева у нас также монотонная функция, поэтому сразу завершить решение не получится. Что можно сделать, чтобы слева у нас стояла константа?

Подсказка 4

Можно поделить обе части на x²⁰²² (т.к. нас интересуют положительные корни, мы можем это сделать). Тогда: 1=a₂/x+a₃/x²+...+a₂₀₂₃/x²⁰²². Что мы можем сказать про функцию, стоящую справа?

Подсказка 5

Она строго убывает. Действительно, при увеличении x знаменатель каждой дроби увеличится, а значит, сами они уменьшатся. ⇒ Справа функция монотонно убывает, а слева константа, равная 1 ⇒ она пересекает ее не более чем в 1 точке. Победа!