Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник 
с острым углом 
такой, что 
На сторонах 
и 
вне треугольника построены квадраты
и 
с центрами 
и 
Оказалось, что точки 
и 
лежат на одной окружности 
с центром 
Доказать, что
точка 
пересечения прямых 
и 
лежит на окружности 
Источники:
Подсказка 1
Если после того, как вы нарисовали рисунок, вам показалось, что DF- диаметр нашей окружности, то вы на верном пути! Попробуйте для начала понять, как связана точка I, центр описанной окружности треугольника △ABC, с точкой O, а потом придумаем что-нибудь с DF.
Подсказка 2
Мы знаем, что I- точка пересечения серперов к AB и AC, а O- точка пересечения серперов к DE и FG. Но тогда I=O. Мы хотим, чтобы DF оказался диаметром. Давайте докажем, что E, A и F лежат на одной прямой...
Подсказка 3
Если это не так, то EA пересекает нашу окружность в точке T, отличной от F. Продлим прямые FC и DB до пересечения в точке Z. Посмотрите на точку O и подумайте, каким является четырехугольник DATZ...
Подсказка 4
Т.к. O является одновременно серединой AZ и DT ⇒ DATZ- параллелограмм ⇒ TZ=AD и ∠ATZ=45°. Что мы можем сказать про четырехугольник AFTZ?
Подсказка 5
Он вписан, ведь ∠AFZ=∠ATZ=45°. Отрезки OF и OT равны как радиусы. Тогда O лежит на серпере к AZ и на серпере к FT. Что это нам дает?
Подсказка 6
Если эти серперы не совпадают, то O- центр описанной окружности AFTZ, что противоречит тому, что ∠ATZ=45°. Тогда они совпадают ⇒ AFTZ- равнобокая трапеция. На какое противоречие с условием это нас наводит?
Подсказка 7
Если это так, то AD=ZT=AF ⇒ AB=AC, что не так. Ура!! Мы доказали, что наше предположение неверно, а это значит, что E, A и F лежат на одной прямой. Аналогично G, A и D лежат на одной прямой. Тогда для полного счастья нам осталось лишь доказать, что ∠EMG=∠EDG=45°...
Подсказка 8
Посмотрим на четырехугольник KALM: ∠AKM=∠ALM=90°. Тогда ∠EMG=180°-∠KAL. Докажите, что ∠KAL=135° и наслаждайтесь победой!
Заметим, что 
— точка пересечения сер. перп. к 
, 
, но 
и 
— точка пересечения сер. перп. к 
и
— центр описанной окружности 
.
Докажем, что 
, 
и 
лежат на одной прямой.
Пусть это не так, тогда 
пересекает нашу окружность в точке 
, отличной от 
. Продлим прямые 
и 
до пересечения в
точке 
.
Т.к. 
является одновременно серединой 
(
и 
с коэффициентом 2) и
— диаметр) 
— параллелограмм, тогда 
и 
—
вписанный. Отрезки 
и 
равны как радиусы. Тогда 
лежит на сер. перп. к 
и на сер. перп. к 
.
Если эти сер. перп. не совпадают, то 
— центр описанной окружности 
, что противоречит тому, что 
. Тогда они
совпадают 
— равнобокая трапеция.
Если это так, то 
, что не так. Значит, наше предположение неверно, и 
, 
и 
лежат на одной
прямой. Аналогично 
, 
и 
лежат на одной прямой.
Рассмотрим четырехугольник 
: 
— вписанный 
, но
и 
— вписанный 
лежит на окружности
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Длины сторон 
треугольника 
периметр которого равен 6, в указанном порядке являются последовательными членами
некоторой арифметической прогрессии. Найдите ее разность, если угол 
в два раза больше угла 
Источники:
Подсказка 1
Представьте стороны треугольника в виде членов арифметической прогрессии. Попробуйте сделать это именно таким образом, чтобы в дальнейшем можно было удобно воспользоваться тем, что мы знаем периметр.
Подсказка 2
Пусть AB = a - d, AC = a, BC = a + d, тогда, посчитав периметр, мы находим, что a = 2. Обратите внимание на углы нашего треугольника. Какое дополнительно построение хочется сделать в данной конструкции?
Подсказка 3
Когда у нас один угол треугольника в два раза больше второго, очень удобным построением является биссектриса, проведенная из угла, который в два раза больше. Ей мы разбиваем треугольник на равнобедренный и подобный основному.
Подсказка 4
Кроме подобия мы так же можем записать свойство биссектрисы. Теперь мы получили систему уравнений с двумя неизвестными. Осталось ее решить и подумать над тем, какие d по знаку нам подходят, а какие - нет, и почему.
Так как стороны являются последовательными членами арифметической прогрессии, то пусть 
При этом
заметим, что 
так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Найдем 
сложив все стороны и приравняв к
6. Получим 
Проведем биссектрису угла 
и отметим равные отрезки и равные углы как на картинке.
По свойству биссектрисы
| (1) |
Так как треугольники 
и 
подобны по двум углам
| (2) |
Подставим в 
Подставим в 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Три окружности с радиусами 
попарно касаются друг друга внешним образом, а также касаются внешним образом
четвертой окружности с радиусом 
Найти 
Источники:
По теореме Декарта если четыре окружности касаются друг друга в шести различных точках и окружности имеют радиусы 
,
то
Если пытаться отыскать радиус 
четвёртой окружности, касающейся трёх касающихся друг друга окружностей, уравнение лучше
записать в виде
По условию три окружности касаются четвёртой внешним образом, поэтому надо взять перед корнем знак плюс. После подстановки радиусов из условия:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
на сторонах 
и 
выбраны точки 
и 
соответственно так, что 
и 
Пусть отрезки 
и 
пересекаются в точке 
Найти площадь треугольника 
, если площадь четырехугольника 
равна
Подсказка 1
Из условия задачи нам известна площадь четырёхугольника. А найти нужно площадь ABC. Идея попробовать выразить площадь треугольника через четырёхугольник, наверное, не очень хорошая. Но тогда какую часто встречающуюся идею здесь можно применить?
Проведем в треугольнике 
отрезки 
и 
пусть они пересекаются в точке 
Пусть также площадь треугольника 
равна 
Треугольники 
и 
имеют общую высоту, проведенную из вершины 
поэтому их площади относятся как отношение
оснований 
и 
поэтому площадь треугольника 
равна
Треугольники 
и 
имеют общую высоту, проведенную из вершины 
поэтому их площади относятся как отношение
оснований:
поэтому площадь треугольника 
равна
Найдем, в каком отношении точка 
делит отрезок 
Для этого запишем теорему Менелая для треугольника 
и секущей
т.е. 
Тогда 
Треугольники 
и 
имеют общую высоту, проведенную из вершины 
поэтому их площади относятся как отношение оснований:
поэтому площадь треугольника 
равна
Но тогда площади треугольников 
и 
равны
Таким образом, площадь четырехугольника 
равна разности площадей
откуда следует, что искомая площадь 
треугольника 
равна 
