Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник с острым углом такой, что На сторонах и вне треугольника построены квадраты и с центрами и Оказалось, что точки и лежат на одной окружности с центром Доказать, что точка пересечения прямых и лежит на окружности
Источники:
Подсказка 1
Если после того, как вы нарисовали рисунок, вам показалось, что DF- диаметр нашей окружности, то вы на верном пути! Попробуйте для начала понять, как связана точка I, центр описанной окружности треугольника △ABC, с точкой O, а потом придумаем что-нибудь с DF.
Подсказка 2
Мы знаем, что I- точка пересечения серперов к AB и AC, а O- точка пересечения серперов к DE и FG. Но тогда I=O. Мы хотим, чтобы DF оказался диаметром. Давайте докажем, что E, A и F лежат на одной прямой...
Подсказка 3
Если это не так, то EA пересекает нашу окружность в точке T, отличной от F. Продлим прямые FC и DB до пересечения в точке Z. Посмотрите на точку O и подумайте, каким является четырехугольник DATZ...
Подсказка 4
Т.к. O является одновременно серединой AZ и DT ⇒ DATZ- параллелограмм ⇒ TZ=AD и ∠ATZ=45°. Что мы можем сказать про четырехугольник AFTZ?
Подсказка 5
Он вписан, ведь ∠AFZ=∠ATZ=45°. Отрезки OF и OT равны как радиусы. Тогда O лежит на серпере к AZ и на серпере к FT. Что это нам дает?
Подсказка 6
Если эти серперы не совпадают, то O- центр описанной окружности AFTZ, что противоречит тому, что ∠ATZ=45°. Тогда они совпадают ⇒ AFTZ- равнобокая трапеция. На какое противоречие с условием это нас наводит?
Подсказка 7
Если это так, то AD=ZT=AF ⇒ AB=AC, что не так. Ура!! Мы доказали, что наше предположение неверно, а это значит, что E, A и F лежат на одной прямой. Аналогично G, A и D лежат на одной прямой. Тогда для полного счастья нам осталось лишь доказать, что ∠EMG=∠EDG=45°...
Подсказка 8
Посмотрим на четырехугольник KALM: ∠AKM=∠ALM=90°. Тогда ∠EMG=180°-∠KAL. Докажите, что ∠KAL=135° и наслаждайтесь победой!
Заметим, что — точка пересечения сер. перп. к , , но и — точка пересечения сер. перп. к и — центр описанной окружности .
Докажем, что , и лежат на одной прямой.
Пусть это не так, тогда пересекает нашу окружность в точке , отличной от . Продлим прямые и до пересечения в точке .
Т.к. является одновременно серединой ( и с коэффициентом 2) и — диаметр) — параллелограмм, тогда и — вписанный. Отрезки и равны как радиусы. Тогда лежит на сер. перп. к и на сер. перп. к .
Если эти сер. перп. не совпадают, то — центр описанной окружности , что противоречит тому, что . Тогда они совпадают — равнобокая трапеция.
Если это так, то , что не так. Значит, наше предположение неверно, и , и лежат на одной прямой. Аналогично , и лежат на одной прямой.
Рассмотрим четырехугольник : — вписанный , но и — вписанный лежит на окружности .
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!