Последовательности на САММАТе —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Последовательности на САММАТе

Тема САММАТ (Самарская математическая олимпиада)

Последовательности на САММАТе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела саммат (самарская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#69822

Последовательность ${a },n∈ℕ, n$ задана такими равенствами: $a = 2, 1$ $a = 1 2$ и

-2 -1-- -1-- an = an−1 + an+1,n ≥2

Найдите такие $n,$ при которых

|an|≤ 10−3

Источники: САММАТ-2023, 11.3 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала можно переписать условие в более приятном виде: рассмотрите последовательность обратных членов из первой последовательности) Как теперь выглядит наше условие?

Подсказка 2

Теперь мы понимаем, что член новой последовательности равен среднему арифметическому соседних членов. А у какой последовательности как раз есть такое свойство?

Подсказка 3

У арифметической прогрессии! Теперь решить задачу не составит труда,)

Показать ответ и решение

В условии задана последовательность, каждый член которой, начиная со второго, является средним гармоническим своих соседей. От такой “гармонической прогрессии” легко перейти к арифметической прогрессии, если рассмотреть последовательность обратных: $1- bn = an.$ Тогда условие переписывается в виде