Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Произведение чисел 
не меньших 
составляет 
Найдите наибольшее значение выражения
Источники:
Подсказка 1
При виде выражение в виде суммы логарифмов, да и ещё с такими основаниями, сразу хочется его видоизменить. Обычно всегда на помощь приходит замена, но пока неясно, что стоит обозначить за новые переменные. Вспомните формулу перехода и свойства логарифмов и попробуйте перейти к другим основаниям!
Подсказка 2
То, что произведение a, b, c, d — это степень двойки, и то, что каждая из переменных не меньше 2, намекает, что хотелось бы использовать 2 в искомом выражении. Поэтому попробуйте сделать замену вида х = log₂a, ...
Подсказка 3
Полученное выражение — сумма дробей — уже лучше логарифмов. Но как же теперь её оценить? Обратите внимание, что изначальное условие на произведение переменных превратилось в условие на сумму переменных из замены. Какой метод в неравенствах есть, когда фиксирована сумма переменных?
Подсказка 4
Метод Штурма! Часто смотрят на то, когда выражение больше: когда переменные равны или когда одна переменная принимает максимально возможное значение, а другая минимальное. Попробуйте это выяснить на примере двух переменных.
После замены
условие, что исходные числа не меньше 
превращается в
а условие на произведение превращается в
Искомое выражение по формуле перехода и свойствам логарифмов равно
Воспользуемся методом Штурма. Пусть имеется какое-то значение искомого выражения при удовлетворяющих условиям выше
(не умаляя общности, переменные можно переименовать для упорядочивания). Заменим два числа 
на числа
с такой же суммой 
и не меньшей разностью 
Тогда в
искомом выражении сумма дробей
не изменится, а сумма дробей
и аналогичная ей (с точностью до перестановки 
) сумма дробей
не уменьшатся, так как после приведения к общему знаменателю у получившейся дроби числитель увеличивается при увеличении
а знаменатель уменьшается при увеличении 
Такими преобразованиями можно превратить три наименьших числа из 
в единицу, а наибольшее — в 
при
этом наше выражение будет увеличиваться (точнее, заведомо не уменьшаться). Итак, максимальное значение выражения
равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для произвольных вещественных чисел 
больших 
, докажите неравенство:
Источники:
Подсказка 1
Справа сумма степеней каких-то чисел, а слева корень из произведения других, но прям очень похожих. На какие классические неравенства нам намекает данная конструкция?
Подсказка 2
В данном случае нам следует воспользоваться неравенством о средних, причем левую часть явно стоит оценить сверху, а правую - снизу, значит, и неравенства для них следует использовать различные.
Подсказка 3
Теперь внимательно посмотрите на то, чему равна сумма элементов правой и левой части. Может быть, это как-то поможет свести два неравенства о средних в одно.
Подсказка 4
Не забудьте доказать строгость полученного неравенства, ведь в неравенствах о средних у нас используются знаки ≤ и ≥, а в условие стоит <. Для этого вспомните при каких условиях неравенства о средних обращаются в равенства.
По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом
Отсюда
При этом, чтобы это равенство обращалось в равенство, должно выполняться 
По неравенству о среднем арифметическом и среднем квадратичном
Отсюда
При этом, чтобы это равенство обращалось в равенство, должно выполняться 
Таким образом,
При этом оба неравенства не могут обращаться в равенство одновременно, следовательно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Положительные числа 
и 
таковы, что 
Какое наименьшее значение может принимать величина
Источники:
Подсказка 1
Нам нужно доказать необычное неравенство, поэтому придётся немного поколдовать. Понятно, что надо будет как-то пользоваться неравенствами о средних. Но пока непонятно как. У нас есть информация по поводу суммы x, y и z. А как можно по-другому переписать это неравенство для получения нужных степеней и коэффициентов?
Подсказка 2
Давайте ещё немного вспомогательных намёков. Сумма чисел у нас равна пяти. Тогда удобно сделать и количество слагаемых пять штук. А учитывая, что x и y во второй степени, как хорошо бы преобразовать равенство?
Подсказка 3
Верно, можно записать его в виде x/2 + x/2 +y/2 +y/2 +z=5. Думаю, что у вас получилось! А теперь осталось только применить неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим для такого набора и неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. Аккуратно посчитайте, и победа!
Перепишем условие как
Теперь запишем для этих пяти чисел неравенство о среднем арифметическом и среднем квадратичном:
Следовательно,
Теперь запишем для этих же чисел неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:
Значит,
Получаем, что
Минимум достигается, когда все числа, для которых применяются неравенства о средних, равны между собой, то есть 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что для положительных 
выполняется неравенство
Рассмотрим первые две скобки и заметим, что
Тогда мы можем переписать требуемое неравенство в виде
Теперь зафиксируем 
и 
и будем сдвигать 
и 
друг к другу. При этом 
увеличивается, и достигает максимума при
остальные части выражения остаются постоянными. Значит, требуемое равенство будет следовать из неравенства, полученного
подстановкой в него 
то есть
Обозначим 
тогда неравенство превращается в
Взяв производную, можно убедиться, что минимум левой части достигается при 
и равен 
что доказывает требуемое
неравенство. (таким образом, минимум исходного выражения достигается при 
)
