Функции на ИТМО —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Функции на ИТМО

Тема ИТМО (открытка)

Функции на ИТМО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела итмо (открытка)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#72125

Дана функция $f(x)= P(x)ex$ , где $P(x)$ — многочлен степени 1000 с положительными коэффициентами. Пусть $g(x)$ — сороковая производная $f(x)$ . Докажите, что

g(1000) 40 f(1000) < 2 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам в задаче дали какое-то большое число - 40, если мы не найдём закономерность, то нам надо будет считать все 40 производных, так давайте попробуем найти её и доказать.

Подсказка 2

Хм, написав первые несколько производных P(x)e^x, получаются какие-то уж больно знакомые коэффициенты, да и сумма количества значков производных тоже знакомая - она совпадает с номером производной, ещё и число такое 2^40, да тут все намёки на ...

Подсказка 3

Своеобразный бином Ньютона!!! Попробуйте доказать этот факт через индукцию.

Подсказка 4

Раз уж мы разгадали главную тайну задачи, то мы примерно понимаем, откуда возьмётся коэффициент

Подсказка 5

Может поможет какая-то мудрая оценка, причём мы уже знаем нашу конечную цель, которая намекает нам на то, как оценить каждое из слагаемых. Подумайте, на что бы очень хотелось заменить каждое из P...(x), чтобы получить то, что от нас требуют.

Подсказка 6

Эх, если бы могли как-то заменить их все на P(x), вот тогда бы зажили: мы бы могли его вынести, склеить с e^x, а в скобках был бы наш желанный коэффициент (1+1)^40.

Подсказка 7

Хорошо, что P(x) это многочлен, а производная суммы есть сумма производных, может получится оценить в лоб?

Подсказка 8

Рассмотрите произвольный одночлен P(x), помните, что нам надо оценить только для x=1000, посмотрите, всегда ли достигается равенство в полученной оценке или где-то знак получается строгим?

Показать доказательство

Рассмотрим какой-то одночлен $a xk k$ . Его $n$ -ая производная равна $k(k− 1)...(k− n+ 1)a xk−n k$ , а поскольку и $k$ , и $n$ не больше тысячи, эта производная не превосходит $n k−n 1000 akx$ , причём равенство достигается только когда $n= 1$ и $k= 1000$ . Значит, аналогичное неравенство верно и для суммы одночленов. Подставляем вместо $x$ число 1000, и получаем, что $(k) P (1000)≥ P (1000).$

По индукции легко доказать:

(n) ( ) (P (x)ex) =ex C0nP (x)+ C1nP′(x)+ ...+ CnnP(n)(x)

Тогда, воспользовавшись доказанным в предыдущем абзаце, получаем, что

g(1000)= (P(x)ex)(40)(1000)=

( ) =e1000 C040P(1000)+ C140P ′(1000)+ ...+C4040P(40)(1000) ≤

( ) ≤e1000 C040P(1000)+C140P(1000)+ ...+ C4400P (1000) ≤

≤ e1000(C040+ C140+...+C4400)P(1000)= 240e1000P(1000)= 240f(1000).

Кроме того, заметим, что поскольку в данной сумме встречается не только первая производная, хотя бы одно из суммируемых нами равенств на самом деле строгое, поэтому мы можем заменить знак $≤$ на $<$ .

Таким образом, мы получили, что $g(1000) <240f(1000)$ , откуда делением на $f(1000)$ получаем требуемое неравенство.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#65464

Докажите, что не существует функции $f(x)$ , определённой для всех $x> 1$ , такой, что $f(x2)=2f(x)$ и $f (x + 1)=f(x)+ 3. x$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим два уравнения с различными аргументами. Тогда сначала попробуем подставим x^2 во второе уравнение, а х+1/х в первое из условия и посмотреть, что выйдет. Что тогда можно общего заметить?

Подсказка 2

Верно, x^2+1/x^2 есть в аргументах обоих уравнениях. Тогда можно обозначить его за у, учитывая все ограничения, и выразить f(y) через f(y+2). Получим новое функциональное уравнение. Как теперь можно добиться противоречия, что такой функции нету?

Подсказка 3

Ага, функция не может принимать разные значения в одной точке. Теперь попробуйте подставлять 3 и 5 в получившиеся уравнения и добиться противоречия, что в точке 5 функция принимает различные значения.

Показать доказательство

С одной стороны,

( 2 1-) ( 2) f x + x2 =f x + 3= 2f(x)+ 3

С другой стороны,

( ) (( )2) ( ) f x2+ 2+ 1- = f x+ 1 =2f x+ 1 = 2(f(x)+ 3) =2f(x)+6. x2 x x

Сравнивая эти равенства, получаем, что для любого числа $y$ , представимого в виде $2 -1 x + x2$ при $x> 1$ , то есть для любого $y > 2$ , выполняется равенство $f(y+ 2)= f(y)+3$ . Тогда