Уравнения, неравенства и системы на ДВИ —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Уравнения, неравенства и системы на ДВИ

Тема ДВИ по математике в МГУ

Уравнения, неравенства и системы на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73449

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

2 2 2 a +b + c =1

Найдите наибольшее возможное значение выражения $ab+ bc√3.$

Показать ответ и решение

Первое решение.

Из условия имеем

(| 2 2 2 ||{a + b+ c = 1 ||a,b,c> 0 |(ab+bc√3→ max

Рассмотрим вспомогательные векторы на плоскости с координатами $√- ⃗x =(a,c);⃗y = (12b,-32 b)$ . Для них выполнено, что $|⃗x|2 = a2+ c2$ , $|⃗y|2 = b24 + 2b24-=b2$ , $√- ⃗x⋅⃗y = 12(ab+bc 3)$

Тогда условие задачи перепишется, как

( ||||⃗x|2+ |⃗y|2 = 1 {2⃗x⋅⃗y → max |||( a,b,c> 0

Как известно $⃗x⋅⃗y = |⃗x|⋅|⃗y|⋅cos(⃗x;⃗y)≤|⃗x|⋅|⃗y|$ , где $cos(⃗x;⃗y)$ - угол между векторами.

Далее $|⃗x|+|⃗y|2 1 |⃗x||⃗y|≤ ( 2 )= 4$ по неравенству о средних.

В итоге, получается, что $√ - 1 1 ab+ bc 3= 2⃗x⋅⃗y ≤ 2|⃗x|⋅|⃗y|≤24 = 2$ . При этом равенство достигается, когда векторы $⃗x,⃗y$ равны. Тогда $-b √3b a =2,c= 2$ и $2 2 1 b = |⃗y| = 2$ . То есть подойдут, например, $√2 √2 √6- a= 4 ,b= 2 ,c = 4$ .

Второе решение.

Попробуем получить оценку следующего вида: $√- 2 2 2 ab+bc 3≤ r(a +b + c).$ Заметим, что если выражение $2 2 ka − ab+ mb$ — полный квадрат, то мы можем оценить $ab$ сверху выражением $2 2 ka + mb .$ Аналогично можно оценить $√- 3bc$ выражением $2 2 nb +tc.$ Попробуем подобрать числа $k,m,n$ и $t$ таким образом, чтобы получить желаемую оценку.

Во-первых, чтобы $ka2− ab+mb2$ сворачивалось в $√- √ -- ( ka − mb)2,$ необходимо, чтобы $1 km= 4.$ Аналогично во втором неравенстве необходимо, чтобы $nt= 34.$

Во-вторых, нужно потребовать, чтобы $k= t=n +m,$ тогда мы получим желаемую оценку исходного выражения. Решая систему из полученных уравнений, получаем, что $k =t= 1,m= 14,n = 34.$ Таким образом, неравенства примут вид $2 √- 2 ab≤ a2+ b4 , 3bc≤ 3b4-+c2,$ то есть $√ - ab+ 3bc≤ a2+ b2+ c2 = 1.$ Равенство в последнем неравенстве будет лишь тогда, когда оно будет в двух вспомогательных неравенствах, которые равносильны $0≤ (a− b2)2$ и $√ - 0≤ (23b− c)2.$ Следовательно, равенство будет при $√- a= b2,c= -32b.$ Подставляя это в равенство из условия, получим $√- √- √- a= -24 ,b=-22 ,c=-64 .$

Ответ:

$1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#73450

Найдите все пары чисел $x,y$ из промежутка $(0,π), 2$ при которых достигается минимум выражения

( √ - )( √- )2 ( )4 √---3siny--+ 1 -2sinx-+ 1 sin√(x+-y)+1 2sin(x +y) 3 siny 7 3sinx

Показать ответ и решение

Вспомним неравенство о средних для двух положительных чисел: $a+ b≥ 2√ab.$ Также заранее подметим, что переменные по условию из промежутка $( π) 0,2 ,$ а значит аргументы синусов лежат в промежутке $(0,π),$ то есть значения всех синусов в выражении положительны.

Заметим, что если убрать показатели, то мы сможем применить это неравенство к каждой скобке, после чего все синусы сократятся и мы получим оценку каким-то числом. Однако неравенство о средних работает для произвольного количества положительных чисел, поэтому если мы разобьём вторую скобку на $4$ слагаемых, а третью — на $8,$ то после оценки и возведения в степени все синусы будут под квадратными корнями и сократятся:

√- ∘ --√------- √--3sin-y--+ 1≥2 √--3siny--, 2sin(x+ y) 2 sin(x+ y)

√ - √ - ∘ √--------- --2sinx +1= --2sinx +3⋅ 1 ≥4 4-2sinx ⋅ 13, 3siny 3siny 3 3siny 3

sin(x+ y) sin(x +y) 1 ∘8sin(x+-y)-1- -7√3sinx + 1= 7√3sin-x + 7⋅7 ≥8 -7√3-sinx ⋅77

Если возвести второе неравенства в квадрат, а третье — в четвёртую степень, а затем их перемножить, то мы получим оценку снизу на исходное выражение. Значение этой оценки нам не важно, нам нужны значения $x,y,$ при которых достигается эта оценка. Для её достижения необходимо, чтобы во всех трёх неравенствах, выписанных выше, было равенство. Равенство в неравенстве о средних возникает лишь когда все переменные равны. Таким образом:

√ - √- √---3siny--= 1,-2sin-x= 1,sin√(x+-y)= 1 2sin(x +y) 3siny 3 7 3sinx 7

Из второго равенства, учитывая, что $x∈ (0,π), 2$ получаем $x =arcsin(sin√y). 2$

В третье равенство подставим $x= arcsin(si√n2y)$ и получим: $∘ -- sin(y+ arcsin(si√n2y))= 32siny.$ Раскроем синус суммы: $∘ -- sinycos(arcsin(si√n2y))+ cosysin(arcsin(sin√y2 ))= 32 siny.$ Пользуясь равенствами $cos(arcsint)= √1−-t2-$ при $t∈[0,1]$ и $sin(arcsint)=t$ получим:

∘ -------- sin2y siny ∘ 3- sin y 1− --2- +cosy⋅√2--= 2 siny

По условию $y ∈ (0,π2),$ то есть $siny ⁄= 0,$ а значит на него можно сократить:

∘-------- sin2y cosy- ∘ 3- 1− 2 + √2- = 2

Приведём уравнение к следующему виду (основное тригонометрическое тождество и домножение на $√ - 2$ ):

∘ ------- √- 1+ cos2y = 3 − cosy

Заметим, что правая часть всегда больше $0,$ то есть мы можем возвести в квадрат без накладывания дополнительных ограничений:

2 √- 2 1+ cosy =3− 2 3cosy+ cos y

Полученное уравнение имеет решение $cosy = √1, 3$ то есть $y =arccos√1, 3$ откуда $x= arcsin 1√-. 3$

Ответ:

$y =arccos√1,x= arcsin 1√ 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#63906

Решите уравнение:

( 2 )( 2 ) x − 8x+16 x − 8x +18 − 24 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что мы можем просто разложить выражение на множители, потом привести подобные и потом снова долго и мучительно раскладывать на множители. Но давайте придумаем что-нибудь поинтереснее. Посмотрите на то, как сильно похожи скобки в произведении. Давайте подумаем, как этим воспользоваться и какую формулу сокращенного умножения мы сможем применить!

Подсказка 2

Представьте х² - 8x + 16 как х² - 8x + 17 - 1. Как тогда можно представить вторую скобку, чтобы она получилась максимально похожа на первую? А какой формулой сокращенного умножения можем воспользоваться?

Подсказка 3

Верно! Сделаем так, чтобы у нас получилась разность квадратов и разложим по этой формуле! Посмотрите, что получилось теперь?

Подсказка 4

Верно, снова разность квадратов! Воспользуйтесь ей и разложите выражение на скобки, а дальше дело за малым – найти решение квадратных уравнений!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Положим $2 t= x − 8x +17$ , тогда получим

2 (t− 1)(t+ 1)− 24= 0⇐ ⇒ t− 1− 24= 0⇐⇒ t= ±5

Тогда либо

2 2 x − 8x +17= −5 ⇐⇒ x − 8x+22= 0

решений нет, поскольку $D∕4= 42− 22 <0,$

либо

x2− 8x +17= 5⇐ ⇒ (x − 4)2 = 4⇐⇒ x =4 ±2

Второе решение.

Обозначим левую часть уравнения

(x− 4)2((x− 4)2+ 2)= 24

за $f(x)$ . Заметим, что при $x ≥4$ функция монотонно возрастает, поэтому решений уравнения на этом промежутке может быть не более одного. При этом $f(6)= 22(22+ 2) =4⋅6= 24$ , так что $x= 6$ является решением. Легко видеть, что уравнение симметрично относительно $4$ , так что если решением является $x= 4+ 2,$ то решением является и $x= 4− 2,$ при этом решений меньше $4$ больше нет, так как иначе было бы соответствующие им решения и на промежутке $x> 4$ , а на нём решение только одно из монотонности, и мы уже его нашли.

Ответ:

2; 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#64396

Решите систему неравенств

{ 2x2+ 4xy +11y2 ≤ 1; 4x+ 7y ≥ 3.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выделите полный квадрат в первом уравнении системы. Не напрашивается ли сюда какая-нибудь замена?) Пусть, например, u = x + y, а v = 3y

Подсказка 2

Перепишите систему после замены. Попробуйте теперь сложить два неравенства, предварительно умножив одно из них на коэффициент так, чтобы в итоге в правой части сумма была ноль!

Подсказка 3

Давайте повыделяем полные квадраты. И, кажется, у нас вышла красота: сумма двух квадратов меньше, либо равна нулю... Сделайте выводы!

Показать ответ и решение

Перепишем систему

{ 2x2+ 4xy+ 11y2 ≤ 1 { 2(x+ y)2+ (3y)2 ≤ 1 4x +7y ≥ 3. ⇐⇒ − 4(x+ y)− 3y ≤ −3

Пусть $x+y =u,3y = v$ . Получим систему

{ 2u2+ v2 ≤ 1 { 6u2+3v2− 3≤ 0 − 4u − v ≤− 3 ⇐⇒ −8u− 2v+ 6≤0

После сложения получаем

( ) ( ) ( )2 ( )2 6u2− 8u+3v2− 2v+ 3≤0 ⇐ ⇒ 6 u2− 2⋅u ⋅ 2+ 4 + 3 v2− 2⋅v⋅ 1 + 1 ≤ 0 ⇐⇒ 6 u− 2 + 3 v − 1 ≤0, 3 9 3 9 3 3

откуда подходит только

2 1 u= 3,v = 3

Легко проверить, что эта пара подходит и в систему неравенств до сложения, потому что неравенства обращаются в равенства. После обратной замены получаем

{ x +y = 23 y = 19

Откуда $5 x= 9.$

Ответ:

$(5,1) 9 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#80649

Решите уравнение

( 2)log3x x5 x = 9

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=log x 3$ . Тогда наше уравнение будет иметь вид:

( 2t)t 35t 3 = 32-

2 32t = 35t−2

В силу монотонности функции $3α$ получаем:

2 2t− 5t+2 =0

t= 2 или t= 1 2

x= 9 или x= √3

Полученные $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

$x =9 или x= √3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#70352

Решите неравенство

∘----√------- 10 3x− 72x− 144> 3x − 12

Показать ответ и решение

Для удобства сделаем замену $3x= t$ и выпишем условия ОДЗ:

Возведение в квадрат — равносильное преобразование, так как обе части неравенства $√------- t≥ 24t− 144$ неотрицательны ввиду $t≥ 6.$

{ { 24t−√ 144≥0-- ⇐ ⇒ t2≥6 ⇐⇒ t≥ 6 t− 24t− 144 ≥0 t≥ 24t− 144

∘ --√-------- 10 t− 24t− 144 >t− 12

Домножив обе части неравенства на $∘t-− √24t−-144> 0$ получим

∘---√------- 10|t− 12|> (t− 12) t+ 24t− 144

$t=12$ не является решением. Рассмотрим случаи:

$6 ≤t< 12$ , здесь
$∘ --√-------- −10< t+ 24t− 144$
Что верно при всех $6 ≤t< 12.$ То есть $2≤ x< 4$ — решение.
$t> 12$ , тогда
$∘ ----------- 10 > t− √24t−-144$

$√------- 100− t> 24t− 144$
При $t> 100$ неравенство не выполняется, поэтому возведем в квадрат при условии $t< 100$
$t2− 200t+ 10000> 24t− 144 ⇐⇒ t∈(− ∞;112 − 20√6)∪ (112 +20√6;+∞ )$
Учитывая все ограничения на $t$ получим
$√ - 12< t<112− 20 6$ и соответственно $√- 4 <x < 112−320-6-$ — решение.

Ответ:

$[2;4)∪ (4;112−20√6) 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#67597

Решите уравнение

√------ √------ 3x − 2|x − 2|= 3 3x+ 18 − 2| 3x+ 18 − 2|

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пупупу… Выглядит страшновато. Есть ли что-то общее между левой и правой частью уравнения? А если заменить √(3x+18) на y?

Подсказка 2

Да, если заменить в правой части √(3x+18) на y, то правая часть уравнения и левая будут одинаковы(только в одной x, а в другой y). Какой вывод из этого можно сделать?

Подсказка 3

Конечно, хочется сказать, что если x=y, то левая часть равна правой! Поэтому осталось решить уравнение x = √(3x+18)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x≥ −6.$ Рассмотрим функцию $f(t)= 3t− 2|t− 2|.$

{ t+4 при t≥ 2 f (t)= 5t− 4 при t< 2

Тогда исходное равенство примет вид

(√-----) f(x)= f 3x+ 18

Так как $f$ — монотонная функция, то каждое значение она принимает ровно один раз, поэтому равенство $f(t)= f(z)$ равносильно $t= z.$

√ ------ x= 3x +18 ⇐⇒ x= 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#67148

Решите уравнение

||x3||− |5x| √2x2− 4x−-1−-|x|+-2 = 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте просто запишем наше уравнение как системку: числитель = 0, знаменатель не равен 0, и одз из-за корня) Думаю, решить уравнение числитель = 0 не сложно)

Подсказка 2

Остаётся подставить получившиеся корни из первого уравнения в оставшиеся условия из системы и проверить, подходят они или нет)

Показать ответ и решение

Для равенства дроби нулю нужно, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель при этом не обращался в ноль. Исходное уравнение равносильно следующей системе:

( 3 ( 2 |{ |x√-|−2|5x|=-0- ⇔ |{ |x√|(x2−-5)-=0- |( 22x − 4x− 1− |x|+ 2⁄= 0 |( 22x − 4x− 1⁄= |x|− 2 2x − 4x− 1≥ 0 2x − 4x− 1≥ 0

Из первого уравнения получаем:

[ x= 0 x= ±√5

$x= 0$ не подходит, так как $2⋅0− 4 ⋅0 − 1< 0$

$x= √5$ не подходит, так как $∘ -------- ∘2-⋅5−-4⋅√5−-1= (√5-− 2)2 = √5− 2$

$x= −√5$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ:

$− √5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#67149

Решите уравнение

( 1)2 5 4|x− 1|+ 2 = 11(x − 1)2+ 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В левой и правой части видно (x-1) и |x-1|... Стоит сделать замену, не так ли? Сделайте правильную замену: не раскрывайте случаи модуля, сразу меняйте модуль!

Показать ответ и решение

Так как $(x − 1)2 = |x− 1|2,$ сделав замену $t=|x− 1|,$ получим