Функции и квадратные трёхчлены на ДВИ —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Функции и квадратные трёхчлены на ДВИ

Тема ДВИ по математике в МГУ

Функции и квадратные трёхчлены на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70161

Старший коэффициент квадратного трехчлена $f(x)$ равен $2$ . Один из его корней равен $5 2$ . Найдите второй корень, если известно, что $f(0)=3$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сразу переведём эту задачу на язык уравнений. Вспомните формулу квадратного трёхчлена и попробуйте записать каждое условие по отдельности.

Подсказка 2

Мы знаем, что корни можно найти через дискриминант, но такой способ как-то быстро убивает желание решать задачку из-за страшных уравнений, в такие моменты полезно подумать, а вдруг есть другой способ нахождения корней? Где фигурировали основные утверждения из условия?

Подсказка 3

Ну конечно же, через теорему Виета, нам об этом говорит то, что мы уже знаем один из корней, а также то, что старший и свободный коэффициенты равны конкретным числам. Не забывайте, что теорема Виета недостаточное условие для того, чтобы были вещественные корни, а значит нужно проверять подходят ли корни или что дискриминант неотрицателен (подставить так же будет полезно для проверки себя после долгих вычислений), но нам повезло и уже сказали, что есть корень 5/2!

Показать ответ и решение

Квадратный трехчлен имеет вид $ax2+ bx +c$ . По условию сразу получаем $a =2$ . Значение квадратного трехчлена в нуле равно в точности свободному коэффициенту, то есть $c= 3$ . По теореме Виета произведение корней квадратного уравнения $f(x)=0$ равно значению $c 3 a = 2$ . По условию один из корней равен $5 2$ , поэтому второй корень равен $3 2 3 2 ⋅5 = 5.$

Ответ:

$3 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#75439

Найдите многочлен второй степени, если известно, что его корни равны $− 4 7$ и $5 3$ , а свободный член равен $− 2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам известны корни уравнения и один из его коэффициентов, для полной картины не хватает только старшего и среднего коэффициента. Какая теорема позволяет нам легко выражать корни через соотношение коэффициентов?

Подсказка 2

Конечно теорема Виета! x₁+x₂=-b/a нам пока мало что даёт, а вот из x₁x₂=c/a можно найти старший коэффициент, а уже затем через него найти и b. Осталось только аккуратно всё посчитать и подставить🤗

Показать ответ и решение

По теореме Виета имеем