Функции на ШВБ —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Функции на ШВБ

Тема ШВБ (Шаг в будущее)

Функции на ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#77788

Функция $f(x)$ при всех действительных $x⁄= 1$ удовлетворяет соотношению

(x+-1) (x− 1)f x− 1 +4f(x)+ 14x= 0

Решите уравнение

4 ⋅8x = 7+ 2f(x)

Показать ответ и решение

Сделаем замену:

(| x-+1 |{ t= x − 1, ||( x = t+1. t− 1

Тогда функция $f(t)$ при всех вещественных $t⁄= 1$ удовлетворяет соотношению

( t+1- ) ( t+1) t+1- t− 1 − 1 f(t)+4f t− 1 + 14 ⋅t− 1 =0.

При всех фиксированных $x⁄= 1$ значения $f(x)$ и $( ) f xx+−11$ удовлетворяют системе уравнений:

( ( ) { (x− 1)f xx+−11 + 4f(x)+ 14x= 0, ( -2-f(x)+ 4f(x+1)+ 14⋅ x+1= 0, x−1 x−1 x−1

( ( ) { (x− 1)f x+x−11- =− 4f(x)− 14x, ( 2f(x)+ 4(x − 1)f(x+1)+ 14(x +1)= 0, x−1

Подставим первое уравнение во второе:

2f(x)− 16f(x)− 56x+ 14(x +1)= 0⇒ f(x)=1 − 3x

Решим заданное уравнение:

( ) 4⋅8x =7 +21−3x ⇒ 4(8x)2− 7⋅8x − 2= 0⇒ 2(8x− 2) 8x + 14 = 0⇒ 23x = 2⇒ x= 13

Ответ:

$1 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#77995

Найдите наименьшее значение выражения

3f(1)+-6f(0)−-f(−-1) f(0)− f(−2) ,

если $f(x)= ax2+ bx+ c$ — произвольная квадратичная функция, удовлетворяющая условию $b> 2a$ и принимающая неотрицательные значения при всех действительных $x.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте не побоимся и подставим вместо f(1), f(0) и т.д. их настоящие значения через a, b, c и вспомним, когда квадратных трёхчлен принимает только неотрицательные значения?

Подсказка 2

Верно, при a > 0, D <= 0, это даёт нам оценку на c и a, как бы нам это использовать?

Подсказка 3

Можно заметить, что там, где есть множитель b, модуль степени a на 1 меньше, может быть получится сделать какую-нить замену?

Подсказка 4

Да, можно вынести a (a > 0) и сделать замену t = a/b, а у выражения относительно t мы легко можем найти точки минимума. Остаётся только ...

Подсказка 5

Проверить, что этот минимум достигается

Показать ответ и решение

Имеем

(| f(1)= a+ b+ c, |||{ f(0)= c, | |||( f(−1)=a − b+ c, f(−2)=4a− 2b+ c

Тогда исходное уравнение принимает вид

3f(1)+6f(0)−-f(−1) 3(a-+b+-c)+6c−-a+b-− c 2a+-4b+-8c a+-2b+-4c f(0)− f(− 2) = c− 4a+ 2b− c = 2b− 4a = b − 2a

Поскольку $f(x)=ax2+ bx+c$ — произвольная квадратичная функция, принимающая неотрицательные значения при всех действительных $x,$ то

b2 a >0,D =b2− 4ac≤0 ⇒ c≥ 4a

Тогда

2 a+-2b+-4c a+2b+-ba2- a(1+-2ab+-ba2) t2+-2t+1- (t+-1)2- b− 2a ≥ b− 2a = a(ba − 2) = t− 2 = t− 2 ,

где $t= ba,t> 2.$

Рассмотрим функцию $g(t)= (tt+−1)22-$ и найдем ее наименьшее значение при $t>2.$

′ 2(t+ 1)(t− 2)− (t+1)2 (t+1)(2(t− 2)− (t+ 1)) (t+ 1)(t− 5) g(t) = ------(t− 2)2-----= ------(t−-2)2------ = --(t−-2)2--,

при $t= 5$ производная $g′(t)$ равна $0$ и, проходя через эту точку, меняет знак с «минуса» на «плюс», следовательно, $tmin = 5,gmin = g(5)= 12.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#65465

Для всех неотрицательных значений вещественной переменной $x$ функции $f(x)$ выполняется условие

-----43---- f(x+ 1)+1= f(x)+(x+ 1)(x+ 2)

Вычислите $101 f(2020)$ , если $f(0)= 2020$ .

Источники: ШВБ-2020, (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В равенстве из условия можно выразить f(x+1) через f(x). Кажется, это намекает на какую-то рекурсию, попробуем выразить f(x) через f(x-1) и т.д. Заметна ли какая-то закономерность?

Подсказка 2

Да, на самом деле для натурального n можно выразить f(n) через f(0) = 2020, получится равенство f(n) = 2020 - n + 43(1/(1×2) + 1/(2×3) + ... + 1/(n×(n+1))). Подумайте, как можно свернуть сумму дробей в скобках.

Подсказка 3

Попробуйте каждую дробь из суммы расписать как разность двух дробей так, чтобы при суммировании почти все члены сокращались.

Подсказка 4

1/(k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1), тогда все члены сокращаются, кроме первого и последнего, получаем f(n) = 2020 - n + 43(1 - 1/(n+1)). Что можно применить, чтобы доказать эту формулу для любого натурального n?

Подсказка 5

Конечно же, индукцию! База легко проверяется, переход также несложно доказывается. Остаётся посчитать f(2020) :)

Показать ответ и решение

Докажем по индукции, что

-1-- f(n)= 2020− n +43(1− n+ 1)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

База очевидна:

f(0)= 2020− 0 +43(1 − 1)= 2020

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Переход несложно доказать:

43 ( 1 ) 43 f(n+ 1)=− 1+f(n)+ (n-+1)(n-+2)-=2020− n +43 1− n+1- − 1+ (n-+1)(n-+2) =

( ) ( ) 2020− (n+ 1)+ 43 1+ -----1-----− --n-+2---- = 2020− (n +1)+ 43 1− ---1---- (n+ 1)(n+ 2) (n +1)(n +2 (n+ 1)+ 1

_____________________________________________________________________________________

Таким образом, по доказанной формуле

f(2020)= 2020− 2020+ 43(1−--1---)= 2020= 101⋅20- 2020+ 1 47 47

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Вот как прийти к решению:

f(n)=f(n− 1)− 1+---43---= f(n − 2)− 2+43(--1---+---1---)= n(n+ 1) n(n+ 1) n(n− 1)

1 1 1 = f(n− 3)− 3+ 43(n(n+-1) + (n-− 1)n + (n−-2)(n−-1))=

= f(0)− n+ 43(--1---+ ---1---+...+ -1-)= n(n+ 1) (n− 1)n 1⋅2

1 --1- --1- 1 1 1 =f(0)− n +43(n − n+ 1 + n − 1 − n + ...+ 1 − 2)=

1 =2020− n+43(1− n+-1)

Ответ:

$47 20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#68637

Найдите множество значений функции $y = f[2019](x)$ , где

cos2x+-2sin2x- [n] f(x)=log2 1− sin3x , f (x)=f◟(f(f◝(.◜..(f◞(x)...) nраз

для любого натурального числа $n$ .

Источники: ШВБ-2019, 11.3 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно взгляните на числитель! Расписав косинус двойного угла, становится понятно, что cos2x + 2sin²x = 1

Подсказка 2

sin3x принимает значения в промежутке [-1; 1], тогда какие значения принимает вся дробь и какие значения может принимать логарифм от такой дроби?

Подсказка 3

Если вы правильно исследовали f(x), то значения её будут в промежутке [-1; +∞). Теперь найдите множество значений f(f(x)).

Подсказка 4

Подумайте, какие значения принимает sin(3*f(x)) и что мы в таком случае мы можем сказать про множество значений f(f(x)). А про множество значений f(f(f(…f(x))))?

Показать ответ и решение

cos2x+-2sin2x- ---1--- f(x) =log2 1− sin3x = log2 1− sin 3x .

Функция $t(x)= sin3x$ принимает значения $[− 1;1]$ . Рассмотрим функцию $1 z(t) =1−t$ , определенную на полуинтервале $[−1;1)$ . Графиком этой функции является гипербола с асимптотами $t= 1$ и $z =0$ . Функция $z(t)= 11−t$ на промежутке $[−1;1)$ неограниченно возрастает. Таким образом, минимальное значение $z(t)$ равно $12$ , оно достигается в точке $t= −1$ , и функция $z(t)= 11−t-$ на промежутке $[−1;1)$ принимает все значения из промежутка $[ ) 12;+∞$ . Функция $y1(z) =log2z$ на промежутке $[ ) 12;+ ∞$ возрастает и принимает все значения из промежутка

[ ) log2 1;+∞ =[−1;+ ∞) 2

Функция $f(f(x))$ будет принимать те же значения, что и функция $f(y1)$ , если $y1 ∈[−1;+ ∞)$ . Поскольку $t(y1)= sin(3y1)$ при $y1 ∈ [− 1;+∞ )$ принимает все значения из отрезка $[− 1;1]$ , то повторяя рассуждения, приведенные выше, получаем, что множеством значения функции $f(f(x))$ является промежуток $[−1;+∞)$ . И так далее, следовательно, множеством значений функции $f[2019](x)$ является промежуток $[− 1;+ ∞).$