Параметры на ДВИ —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Параметры на ДВИ

Тема ДВИ по математике в МГУ

Параметры на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82296

Найти все $k,$ такие что неравенство

3 3 3 a +b + c +6≥ k(a+b+ c)

справедливо при всех $a,b,c≥− 2.$

Показать ответ и решение

При $a= b= c= −2$ неравенство выполнено, если

− 8− 8 − 8+ 6≥ −6k ⇐⇒ k≥ 3

При $a= b= c= 1$ неравенство выполнено, если

1+1 +1+ 6≥ 3k ⇐⇒ k≤ 3

Поэтому никакие значения, кроме $k= 3$ , подойти не могут. Проверим, верно ли неравенство при $k = 3:$

a3+ b3+c3+ 6≥ 3(a+ b+ c)?

(a3 − 3a+ 2)+(b3− 3b+ 2)+(c3− 3c+ 2)≥0?

Это неравенство верно, поскольку каждое из трёх слагаемых неотрицательно: $x3− 3x +2 =(x− 1)2(x+ 2)≥ 0$ при $x ≥− 2.$

Ответ: 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32517

Найдите все значения параметра $a$ , при которых неравенство

6 6 2 sin x+ cos x+ a⋅sin2x≥ a

выполняется для всех действительных $x$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала хочется избавиться от шестых степеней, причём 6 - чётное число. Можно ли как-то получить сумму 2k-ых степеней синуса и косинуса? Довольно классическим способом является возведение основного тригонометрического тождества в степень k, тогда получим нужную сумму, а также некоторое количество слагаемых, которые нужно вычесть из обеих частей полученного равенства. В данном случае возведём ОТТ в куб и выразим сумму шестых степеней.

Подсказка 2

После преобразований останется 1 - 3/4 sin²(2x). Тогда можно сделать замену t = sin(2x), получив квадратичную функцию от t, причём для определённости перепишем так, чтобы старший коэффициент был положительным. Как теперь можно переформулировать задачу? Если неравенство должно выполняться для любых иксов, то должно выполняться для всех t от -1 до 1. Тогда главный вопрос: в каком случае у параболы с ветвями вверх на всём некотором отрезке принимаются неположительные значения?

Подсказка 3

На самом деле, это верно в том и только том случае, если этот отрезок лежит между корнями (может быть, концы совпадают с корнями). А как записать условие на то, что отрезок лежит между корнями? Это значит, что на концах отрезка принимаются неположительные значения. Запишем систему из двух неравенств, и найдём подходящие значения a!

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формуле суммы кубов

6 6 2 2 4 2 2 4 sin x+ cos x =(sin x+ cos x)(sin x − sin xcos x+cos x)=

2 2 2 2 2 3 2 = (sin x +cosx) − 3sin xcosx =1 −4 sin 2x,

После замены $t= sin2x ∈[−1,1]$ можно переписать неравенство в виде

3 1 −4t2+ at≥a2 ⇐ ⇒ 3t2− 4at+4(a2− 1)≤ 0

Перед нами парабола, ветви которой направлены вверх, тогда выполнение неравенства для любого $t∈ [−1,1]$ эквивалентно тому, что корни лежат по разные стороны от этого отрезка (в том числе, быть может, на концах отрезка). А значит, тому, что неравенство выполнено в точках $±1$ :

{ { ( [ √- √-] 3 − 4a+ 4a2 − 4≤ 0 ⇐⇒ 3− 4a+ 4a2− 4≤ 0 ⇐ ⇒ { a ∈[1−22√,1+2-2√-] 3 +4a+ 4a2 − 4≤ 0 3+ 4a+ 4a2− 4≤ 0 ( a ∈ −1−2-2,−1+2-2

Пересекая отрезки, получаем ответ.

Второе решение.

Мы хотим, чтобы неравенство $sin6x+ cos6x+ a⋅sin2x− a2 ≥ 0$ было выполнено для любого $x$ . Давайте точно оценим левую часть при любых значениях $x$ .

Во-первых, что при любом значении $x$ верно $6 6 2 3 2 3 ∘---2-3------2-3 ∘-1-1 1 sin x+ cos x= (sin x) + (1 − sin x) ≥ 2 (sin x)(1− sin x)≥ 2 8 ⋅8 = 4,$ причём равенство достигается при $2 2 1 sin x= cosx = 2$ .

Во-вторых, из $sin2x∈ [−1;1]$ следует, что $asin 2x ∈[−|a|;|a|]∩ [−1;1]$ . Причём оценка достигается при том же условии. Покажем, что $a ⁄∈[−1;1]$ не подходят. Неравенство должно выполняться при $x = 0$ , а тогда получаем $2 0+ 1+0 ≥a$ .

Итак, должно выполняться неравенство $1 2 4 − |a|− a ≥ 0$ , иначе найдётся $x$ при условии $2 2 1 sin x= cos x= 2$ такой, что неравенство из условия неверно.

Осталось решить $2 1 [−1−√2 √2−1] [−(√2−1) √2−1] |a| +|a|−4 ≤0 ⇐⇒ |a|∈ --2--,-2-- ⇐⇒ a ∈ ---2--,--2- .$

Ответ:

$[1−√2,−1+√2] 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#64397

Действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условиям $a≥ b≥ c≥ 1,a−1+ b−1+c−1 = 1$ . Известно, что при некотором положительном $x$ выполняется равенство

c+x a+x-= c− 2.

Найдите все возможные значения $b.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте приведём равенство к тому виду, чтобы все слагаемые с х оказались в левой части, а остальное — в правой. Попробуйте оценить значение правой части

Подсказка 2

Для того, чтобы оценить выражение в правой части, вынесите ас за скобочки и примените данные в условии соотношения относительно a, b, c. Опираясь на них же, попробуйте оценить сверху значение с

Подсказка 3

Что можно сказать о решении уравнения, если с < 3? Тогда мы можем однозначно отыскать значение с. А возможны ли при таком значении с строгие неравенства в соотношении a ≥ b ≥ c? Сделайте вывод!

Показать ответ и решение

Перепишем данное равенство как $(c− 3)x = c+2a− ac$ . Заметим, что $c+ 2a − ac=$ $ac(a−1+2c−1− 1)≥ac(a−1+ b− 1+c−1− 1)= 0$ . При этом $−1 −1 −1 −1 3c ≥a + b + c =1$ , то есть $c≤ 3$ . Следовательно, если $c − 3⁄= 0$ , решение уравнения $(c− 3)x= c+2a− ac$ единственно и неположительно. Но по условию оно имеет положительное решение. Стало быть, $c= 3$ . Но тогда $a= b= c= 3$ , поскольку, если $a> c$ , то $−1 −1 −1 −1 a + b +c < 3c = 1$ , что противоречит условию. Стало быть, $b= 3$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#34204

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

22 2 2 ( 2 2) 2x y +x y+ xy +(1− a)x + y − a(x+ y+2)= 0

имеет ровно одно решение (относительно $(x,y)$ ).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на интересное свойство нашего неравенства: оно симметрично относительно пары переменных — то есть если пара (х; у) является решением, то и пара (у; х) будет его решением.

Подсказка 3

Получается необходимо, чтобы было х = у. Подставьте это в исходное уравнение и решите получившееся уравнение относительно х. Каким должно быть а, чтобы это решение было единственным?

Подсказка 4

Пока что мы не можем говорить, что при найденных значениях параметра а исходное уравнение тоже имеет единственное решение. Стоит подставить и проверить это!

Подсказка 5

Попробуйте разбить на слагаемые выражение так, чтобы каждое из них был точно неотрицательным! Тогда нетрудно можно определить решения.

Показать ответ и решение

Если пара $(x,y)$ — решение, то и пара $(y,x)$ — также решение. Стало быть, единственное решение обязано иметь вид $(x,x)$ . Тогда $( 4 3 2 ) 2 x + x +(1− a)x − a(x+1) = 0$ , то есть $2 2 2 2 x (x − a)+ x(x − a)+ x − a =0$ , откуда

( 2 )( 2 ) x − a x + x+ 1 = 0.

Если $a> 0$ , то $x= ±√a$ , так что решений больше одного. При $a< 0$ решенений нет, поскольку вторая скобка всегда положительна. Чтобы решение было единственным, необходимо $a =0$ . Тогда исходное уравнение принимает вид

2 2 2 2 2 2 2x y + xy +xy + x +y = 0.

Левая часть равна $x2(y2 +y+ 1)+ y2 (x2+ x+ 1)$ . Каждое из слагаемых неотрицательно и строго больше нуля при ненулевых переменных, стало быть, решение имеет вид $x= y = 0$ и оно, действительно, единственное.

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32702

Найдите все положительные значения параметра $a$ , при которых уравнение

( 2+x 1−x ) ( 2−x 1+x ) log2−x a +2a + x− 1 + log2+x a +2a − x− 1 = 2

имеет ровно одно решение (относительно $x)$ .

Показать ответ и решение

Заметим, что выражение симметрично относительно замены $x↔ − x$ (логарифмы меняются местами), откуда единственным решением может быть только $x =0$ (иначе число решений чётно). А $x =0$ является решением при

2 2 2 log2(a +2a− 1)+log2(a +2a− 1)= 2⇐⇒ a + 2a− 1= 2⇐⇒ a =1 или a= −3

Поскольку $a> 0$ по условию, то отпадает $a= −3$ . Проверим, есть ли решения кроме $x = 0$ , при $a= 1$ :

log2− x(1+ 2+ x− 1)+ log2+x(1 +2− x− 1)=2

При замене $t=log (2+ x) 2−x$ мы получаем уравнение $t+ 1= 2 t$ , которое выполняется только при $t=1$ , то есть $2− x= 2+ x$ . Так что решение только $x= 0$ .

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#64395

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ ax2+ 4ax − 8y+ 6a+ 28 ≤0 ay2− 6ay − 8x+ 11a − 12≤ 0

имеет ровно одно решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами квадратичные функции. И первое что хочется сделать это как-то их собрать: давайте выделим всюду полные квадраты и посмотрим на получившиеся выражения. Кажется, напрашивается двойная замена!

Подсказка 2

Посмотрите на наши новые неравенства, не получится ли тут какая-нибудь интересная симметрия? Тогда в каком случае решение может быть единственным?

Подсказка 3

Остаётся исследовать квадратный трёхчлен: в каком случае неравенство вида f(x) ≤ 0 имеет единственное решение, если f(x) — квадратичная функция? Не забудьте сделать проверку полученных точек!

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты и перепишем систему в следующем виде

{ a(x+ 2)2− 8(y− 3)+2a +4≤ 0 a(y− 3)2− 8(x+ 2)+2a +4≤ 0

После замены $u =x +2,v = y− 3$ задача остаётся прежней — определить, при каких значениях параметра существует единственное решение $(u,v)$ . Если $a≤ 0$ , то при достаточно больших $(u,v)$ оба неравенства будут выполнены, то есть решений будет больше одного, поэтому $a> 0$ . Теперь остаётся увидеть симметрию $(u,v) ↔ (v,u)$ , поэтому для единственности решения необходимо, чтобы $u= v$ , откуда неравенство

2 au − 8u+ 2a+ 4≤0

имеет ровно одно решение. Этим решением должна быть вершина параболы, откуда $D = 16 − a(2a+4)= 0⇐ ⇒ a2 +2a− 8= 0$ . Решая, получаем $a∈ {− 4,2}$ , остаётся только $a= 2> 0$ . Поскольку мы использовали только необходимое условие единственности, то потребуется проверка

{ 2u2− 8v +8 ≤0 2 2 2v2− 8u +8 ≤0 =⇒ (u − 2) +(v− 2) ≤0

Получаем единственное решение $(2,2)$ , значит, $a= 2$ подходит.

Ответ: 2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#33513

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых разность между корнями уравнения $x2+$ $3ax +a4 = 0$ максимальна.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Однозначно выразить саму разность тут мы не можем, а вот её модуль — вполне. Давайте поработаем с его максимизацией.

Подсказка 2

Когда максимально полученное выражение? Проанализируйте его с помощью производной и найдите точки максимума.

Подсказка 3

Проверьте полученные числа подстановкой: нас интересует максимальное значение, не факт, что обе точки максимума его дают. Запишите ответ!

Показать ответ и решение

Модуль разности между корнями равен корню из дискриминанта, то есть $√9a2−-4a4 =∘4a2-(9−-a2)- 4$ . Как парабола относительно $a2$ с ветвями вниз, подкоренное выражение максимально при $2 9 a = 8$ , т.е. при $-3√- a =± 2 2$ .

Ответ:

${-3√-;−-3√-} 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#33523

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

( 2 2 )√---- x − (a +8)x− 6a + 24a 3− x≤ 0

имеет единственное решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём, как всегда с ограничений! Заметим, что одно решение у нас будет всегда, при любом значении а. Значит нам надо, чтобы других решений у неравенства не было.

Подсказка 2

Корень неотрицателен всегда. Какой должна быть первая скобка, чтобы у нас не появилось новых решений? Запишите соответствующее ограничение, не забывая что у нас есть ОДЗ.

Подсказка 3

Итак, нам необходимо, чтобы квадратный трёхчлен был неотрицателен на всей области определения, при том в 0 он может обращаться в одной единственной точке (подумайте, в какой именно!).

Подсказка 4

Рассмотрите трёхчлен в первой скобке, в каких случаях он принимает отрицательные значения? Заметим, что красивый дискриминант позволяет нам в явном виде выразить корни. Сделайте это и поставьте соответствующие условия на их значения! Осталось решить неравенство с модулем и получить ответ!

Показать ответ и решение

Заметим, что значение $x= 3$ является решением неравенства при любых значениях параметра. Значит, других решений быть не должно: при $3 − x >0$ первая скобка должна быть положительной.

Рассмотрим уравнение $2 2 x − (a +8)x− 6a + 24a= 0$ . Его дискриминант равен $2 2 2 2 D = (a +8) − 4(−6a + 24a)= 25a − 80a+ 64 =(5a− 8) .$

Из неотрицательности дискриминанта следует, что соответствующая квадратичная функция (первая скобка) принимает неположительные значения на отрезке между корнями (или только в вершине, если корень один). Нам требуется, чтобы при $x < 3$ эта первая скобка принимала только положительные значения, то есть первая скобка может быть неположительной только при $x≥ 3$ , значит, меньший корень должен лежать не левее, чем $3$ :

a +8− |5a − 8| ------2---- ≥ 3 ⇐⇒ a+2 ≥|5a− 8|

− a− 2 ≤5a− 8≤ a+ 2⇐⇒ 1 ≤a ≤ 5 2

Ответ:

$[1;5] 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел