Билинейные формы. Симметричные билинейные формы. Квадратичные формы, нормальный вид, положительная определенность. —Каталог задач по Высшей математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Другое - Высшая математика
Билинейные формы. Симметричные билинейные формы. Квадратичные формы, нормальный вид, положительная определенность.

Тема Линал и алгебра.

03 Билинейные формы. Симметричные билинейные формы. Квадратичные формы, нормальный вид, положительная определенность.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82884

Для билинейной функции

f : Matn×n (ℝ )× Matn ×n(ℝ ) → ℝ

действующей по правилу

f(A,B ) = tr(AB )

выбрав некоторый базис в пространстве $Mat (ℝ ) n×n$ , записать матрицу $f$ относительно этого базиса.

Показать ответ и решение

Выберем в нашем пространстве стандартный базис. То есть базис, состоящий из матриц, у которых в каком-то одном месте стоит единица, а в остальных местах - нули. В этом базисе будет $2 n$ матриц, поэтому в таком базисе матрица нашей билинейной функции будет квадратной матрицей $2 2 n × n$ , у которой на $(i,j)−$ ом месте стоит $f(ei,ej)$ , где $ei,ej$ - базисные элементы.

Ясно, что

f(ei,ej) = tr(eiej)

Но если $ei ⁄= ej$ , то в произведении таких матриц, очевидно, получится нулевая матрица, а поэтому и её след будет нулевой. Наоборот, если $ei = ej$ , то в произведении $eiej$ получится либо нулевая матрица, если у $ei = ej$ единица стояла не на диагонали. либо сама $ei$ , если у неё единица стояла на диагонали. В таком случае

f(e ,e ) = tr(e e) = 1 i i i i

Таким образом, получим, что в матрице нашей билинейной функции равны 1 только те элементы, которые соответствуют взятию $f$ от пары совпадающих матриц, да еще и таких, что у них единица стоит где-то на диагонали.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#82690

Привести квадратичную форму

Q (x1,x2,x3 ) = x21 + x22 + 3x23 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3

к нормальному виду.

Показать ответ и решение

Будем действовать прямо так, как в доказательстве теоремы Лагранжа.

2 2 2 2 2 2 2 x1 + x2 + 3x3 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 = (x1 + 2x2 + x3) − (2x2 + x3) + x2 + 3x3 + 2x2x3

Делаем замену

u1 = x1 + 2x2 + x3,u2 = x2,u3 = x3

Тогда в новых координатах наша форма будет иметь вид

u2− 4u2 − 4u u − u2+ u2 + 3u2 + 2u u = u2− 3u2 + 2u2 − 2u u = 1 2 2 3 3 2 3 2 3 1 2 3 2 3

2 1- 2 1- 2 2 2 1- 2 7- 2 = u1 − 3(u2 + 3u3) + 3 u3 + 2u 3 = u1 − 3(u2 + 3u3) + 3 u3

Делаем замену

1 v1 = u1,v2 = u2 +-u3,v3 = u3 3

Тогда в новых координатах наша форма будет иметь вид

2 2 7- 2 v1 − 3v2 + 3 v3

Тогда, делая замены

1 √3-- y1 = v1,v2 = √--y2,v3 = √--y3 3 7

получим нормальный вид нашей квадратичной формы

Q (y1,y2,y3) = y21 − y22 + y23

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#82689

В некотором базисе $e1,e2,e3$ пространства $ℝ3$ задана матрица билинейной функции

( ) | 1 2 3| B = |( 4 5 6|) 7 8 9

В $ℝ3$ выбрали новый базис $e′1,e′2,e′3$ , который связан со старым соотношениями

e′1 = e1 − e2, e′2 = e1 + e3, e′3 = e1 + e2 + e3

Найти матрицу той же самой билинейной функции относительно нового базиса.

Показать ответ и решение

Выпишем матрицу перехода

( ) | 1 1 1| C = |( − 1 0 1|) 0 1 1

Тогда в новом базисе матрица той же самой билинейной функции будет вычисляться по правилу $′ t B = C BC$ , то есть

( ) ( ) ( ) ( ) 1 − 1 0 1 2 3 1 1 1 0 − 6 − 9 B ′ = || || || || || || = || || ( 1 0 1) ( 4 5 6) ( − 1 0 1) ( − 2 20 30 ) 1 1 1 7 8 9 0 1 1 − 3 30 45

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#82688

Пусть билинейная функция $f$ задана в некотором базисе $ℝ3$ матрицей

( ) | 1 − 1 1| B = |( − 2 − 1 3|) 0 4 5

И в этом же базисе следующие вектора $a,b$ имеют координаты

a = (1,0,3), b = (− 1,2,− 4)

Вычислить $f(a,b)$ .

Показать ответ и решение

По правилу вычисления билинейной функции, когда известна её матрица в некотором базисе и вектора, от которых мы хотим её вычислить тоже разложены в этом базисе:

( ) ( ) ( ) ( ) 1 − 1 1 − 1 ( ) − 7 f (a,b) = || || || || = || || = − 43 1 0 3 (− 2 − 1 3) ( 2 ) 1 0 3 (− 12) 0 4 5 − 4 − 12

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#82687

Какие из следующих функций $f : V × V → ℝ$ являются билинейными:

a) $V = Matn ×n (ℝ ), f(A,B ) = tr(AB )$ ;
b) $V = Matn×n (ℝ), f(A,B ) = det(AB )$ ;
c) $V = Matn ×n(ℝ ), f(A,B ) = tr(AB − BA )$ ;
d) $V − простр анство в сех непр ер ывны х на [a,b] ф ункци й , f (u, v) = ∫ bu(x)v(x)dx a$ ;
e) $V = ℝ3, f(u,v) = |u + v|2 − |u|2 − |v|2$ ?

Показать ответ и решение

a) В силу свойств следа

f(λA1 + μA2, B) = tr((λA1 + μA2 )⋅B ) =

= tr(λA1B + μA2B ) = tr(λA1B )+ tr(μA2B ) = λtr(A1, B) + μtr(A2B ) = λf (A1,B )+ μf(A2, B)

Таким образом, $f$ - линейна по первому аргументу. Аналогично можно показать, что $f$ будет линейна и по второму. Так что в данном случае $f$ - билинейна;
b) Нет, поскольку даже при фиксированном втором аргументе $B$ не будет выполнено, что $f(A1 + A2, B) = f(A1,B )+ f (A2,B )$ , потому что

det(A1B + A2B ) ⁄= det(A1B )+ det(A2B )

(определитель суммы не равен сумме определителей);
c) В силу свойств следа

f(λA1 + μA2, B ) = tr((λA1 + μA2) ⋅B − B ⋅(λA1 + μA2 )) =

= tr(λA1B + μA2B − λBA1 − μBA2 ) = λtr(A1B ) + μtr(A2B ) − λtr(BA1 )− μtr(BA2 ) =

= λ(tr(A1B ) − tr(BA1 ))+ μ (tr(A2B )− tr(BA2 )) = λf (A1,B )+ μf (A2, B )

Таким образом, $f$ - линейна по первому аргументу. Аналогично можно показать, что $f$ будет линейна и по второму. Так что в данном случае $f$ - билинейна;
d) По свойствам определенного интеграла Римана:

∫ b f(λu1 + μu2,v) = (λu1 (x )v(x) + μu2(x)v(x))dx = a

∫ b ∫ b = λ u1(x)v(x)dx+ μ u2(x)v(x)dx = λf (u1,v) + μf(u2,v) a a

Таким образом, $f$ - линейна по первому аргументу. Аналогично можно показать, что $f$ будет линейна и по второму. Так что в данном случае $f$ - билинейна;
e)

2 2 f(λu1 + μu2,v) = |λu1 + μu2 + v| − |λu1 + μu2 |− |v|

Далее, давайте распишем длину через скалярное произведение, ведь мы находимся в пространстве $ℝ3$ , а в нем по определению

√-------- |x| = < x,x >

|λu1+ μu2+v |2− |λu1+ μu2|2− |v|2 = < λu1+ μu2+v, λu1+ μu2+v > − < λu1+ μu2,λu1+ μu2 > − < v,v >=

2 2 = λ < u1,u1 > + λμ < u1,u2 > +λ < u1,v > + λμ < u2,u1 > + μ < u2,u2 > +μ < u2,v > +

+ λ < v,u1 > +μ < v,u2 > + < v,v > − λ2 < u1,u1 > − 2λμ < u1,u2 > − μ2 < u2,u2 > − < v,v >=

= 2λ < u1,v > +2 μ < u2,v >

В то время как

λf(u1,v)+ μf(u2,v) = λ(< u1+v, u1+v > − < u1,u1 > − < v,v >)+ μ(< u2+v, u2+v > − < u2,u2 > − < v,v >) =

= λ (< u1,u1 > +2 < u1,v > + < v,v > − < u1,u1 > − < v,v >)+

+ μ(< u2,u2 > +2 < u2,v > + < v,v > − < u2,u2 > − < v,v > ) =

= 2λ < u1,v > +2 μ < u2,v >

Следовательно,

f(λu1 + μu2,v) = λf(u1,v) + μf(u2,v)

Таким образом, $f$ - линейна по первому аргументу. Аналогично можно показать, что $f$ будет линейна и по второму. Так что в данном случае $f$ - билинейна;

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#63254

При каких значениях параметра $α ∈ ℝ$ квадратичная форма

Q (x1,x2,x3) = αx21 + 4x1x2 − 4x1x3 + αx22 + 4x2x3 + αx23

положительно определена? Отрицательно определена?

Показать ответ и решение

Давайте выпишем матрицу нашей квадратичной формы:

( ) | α 2 − 2| Q = |( 2 α 2 |) − 2 2 α

Вычислим теперь угловые миноры: $|Q | = q = α 1 11$ , $( ) |Q | = det α 2 = α2 − 4 = (α− 2 )(α + 2) 2 2 α$ , $( ) | α 2 − 2| |Q3| = det| 2 α 2 | = α3 − 12α − 16 = (α − 4)(α + 2)2 ( ) − 2 2 α$ .

1. Положительная определенность. По критерию Сильвестра, исходная квадратичная форма будет положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры $|Q1 |$ , $|Q2|$ , $|Q3 |$ будут положительны.

То есть когда

( |||{ α > 0 || (α− 2)(α + 2) > 0 |( (α− 4)(α + 2)2 > 0

Решая эту систему стандартно методом интервалов, получим, что её решением является множество $α > 4$ . Следовательно, при $α > 4$ форма положительно определена.

2. Отрицательная определенность. По критерию Сильвестра, исходная квадратичная форма будет отрицательно определена тогда и только тогда, когда $|Q1 | < 0$ , $|Q2 | > 0$ , $|Q3| < 0$ .

То есть когда

( || α < 0 |{ | (α− 2)(α + 2) > 0 ||( 2 (α− 4)(α + 2) < 0

Решая эту систему стандартно методом интервалов, получим, что её решением является множество $α < − 2$ . Следовательно, при $α < − 2$ форма отрицательно определена.

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#63253

Вывести из критерия Сильвестра критерий отрицательной определенности:

Опр. Квадратичная форма $Q$ отрицательно определена, если для любого вектора $x ⁄= 0$ выполнено $Q (x) < 0$ .

Задача. Доказать, что $Q$ - отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки её угловых миноров $|Q1 |,|Q2 |,...,|Qn |$ - чередуются, начиная с минуса ( $|Q1 | < 0,|Q2| > 0,|Q3 | < 0,...$ )

Показать ответ и решение

Ясно, что из определения мгновенно следует, что форма $Q$ - отрицательно определена тогда и только тогда, когда форма $− Q$ - положительно определена (форма $− Q$ действует на векторах так же, как и $Q$ , но умножает результат на $− 1$ ).

Следовательно, чтобы $Q$ была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы форма $− Q$ была положительно определена.

Но к форме $− Q$ применим критерий Сильвестра положительной определенности: форма $− Q$ положительно определена тогда и только тогда, когда все её угловые миноры больше 0.

Но чем отличаются угловые миноры матрицы $− Q$ от угловых миноров матрицы $Q$ ?

Итак, вспомним такое свойство определителя: если весь столбец матрицы умножается на какое-то число, то и весь определитель умножается на это число.

Отсюда следует, что если все элементы матрицы умножить на $− 1$ , то если матрица была четного порядка, то есть столбцов было чётное количество, то её определитель вообще не изменится ( $− 1$ вынесется чётное количество раз), а если матрица была нечётного порядка, то её определитель умножится на $− 1$ .

Таким образом, миноры чётного порядка матрицы $− Q$ равны минорам чётного порядка матрицы $Q$ . А миноры нечётного порядка отличаются знаком.

Следовательно, раз для положительной определенности $− Q$ нам необходимо и достаточно, чтобы

|− Q1| > 0,|− Q2| > 0,...,|− Qn | > 0

То для отрицательной определенности $Q$ нам необходимо и достаточно, чтобы

|Q1| < 0,|Q2 | > 0,|Q3| < 0,...

То есть чтобы знаки миноров исходной матрицы $Q$ чередовались, начиная с минуса.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#63252

Будет ли квадратичная форма

Q (x1,x2,x3) = x21 − 16x22 + 2x1x2 − 4x1x3 + 10x2x3

положительно определена?

Показать ответ и решение

Давайте выпишем матрицу нашей квадратичной формы:

( ) | 1 1 − 2 | Q = |( 1 − 16 5 |) − 2 5 0

Вычислим теперь угловые миноры: $|Q | = q = 1 > 0 1 11$ , $( ) |Q | = det 1 1 = − 18 < 0 2 1 − 16$ .

Дальнейшее вычисление уже бесполезно, поскольку по критерию Сильвестра, чтобы форма $Q$ была положительно определена, необходимо, чтобы все её угловые миноры были положительны. Следовательно, т.к. $|Q2 | < 0$ , то наша форма не является положительно определенной.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#63251

Будет ли квадратичная форма

Q(x1,x2,x3) = 9x21 + 6x22 + 6x23 + 12x1x2 − 10x1x3 − 2x2x3

положительно определена?

Показать ответ и решение

Давайте выпишем матрицу нашей квадратичной формы:

( ) | 9 6 − 5| Q = |( 6 6 − 1|) − 5 − 1 6

Вычислим теперь угловые миноры: $|Q | = q = 9 > 0 1 11$ , $( ) |Q | = det 9 6 = 18 > 0 2 6 6$ , $( ) | 9 6 − 5| |Q3| = det| 6 6 − 1| = 9 > 0 ( ) − 5 − 1 6$ .

Таким образом, мы видим, что все угловые миноры нашей матрицы вплоть до определителя самой матрицы положительны. Следовательно, исходная квадратичная форма положительно определена по критерию Сильвестра.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#63250

Можно ли некоторым линейным преобразованием привести квадратичную форму $Q$ в квадратичную форму $F$ :

Q (x ,x ,x ) = 2x2 + 3x2+ 6x2 − 4x x − 4x x + 8x x 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

2 2 2 F(x1,x2,x3) = 4x1 + x2 + 9x3 − 12x1x3

Показать ответ и решение

Если перевести формы $Q$ и $F$ в нормальный вид (например, при помощи метода Лагранжа), то получим в нормальном виде:

Q (ˆx ,ˆx ,ˆx ) = ˆx2+ ˆx2 1 2 3 1 2

(при помощи замены, например, $√ -- √ -- √ -- ˆx1 = 2x1 − 2x2 − 2x3, ˆx2 = x2 + 2x3$ )

2 2 2 F (ˆx1,ˆx2,ˆx3) = ˆx1 + ˆx2 − ˆx3

(при помощи замены, например, $√-- ˆx1 = 2x1 − 3x2, ˆx2 = 3x3, ˆx3 = 8x2$ )

И мы видим, что у формы $Q$ положительный индекс инерции равен 2, а отрицательный равен 0, в то время как у формы $F$ положительный индекс инерции равен 2, а отрицательный равен 1. Следовательно, мы не можем никак перевести форму $Q$ в форму $F$ , поскольку это противоречило бы закону инерции - положительный и отрицательный индексы являются инвариантами формы и сохраняются при любых линейных преобразованиях.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#63249

Можно ли некоторым линейным преобразованием привести квадратичную форму $Q$ в квадратичную форму $F$ :

Q (x ,x ,x ) = 2x2+ 9x2 + 3x2 + 8x x − 4x x − 10x x 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

2 2 F (x1,x2,x3 ) = 5x1 + 6x2 + 12x1x2

Показать ответ и решение

Q (ˆx ,ˆx ,ˆx ) = ˆx2− ˆx2 1 2 3 1 2

(при помощи замены, например, $√ -- √ -- √ -- ˆx1 = 2x1 + 2x2 − 2x3, ˆx2 = x2 − x3$ )

2 2 F (ˆx1,ˆx2,ˆx3) = ˆx1 − ˆx2

(при помощи замены, например, $√ -- √ -- ˆx1 = 6x1 + 6x2, ˆx2 = x2$ )

И видно, что в нормальном виде формы $Q$ и $F$ просто-напросто совпадают. Следовательно, их можно перевести одну в другую при помощи линейного преобразования.

Действительно, пусть $C$ - это линейное преобразование, переводящее $Q$ в её нормальный вид. Пусть $D$ - линейное преобразование, переводящее $F$ в её нормальный вид. Тогда, очевидно, преобразование композиции $D −1C$ переводит сначала при помощи $C$ форму $Q$ в её нормальный вид, нормальный вид $Q$ совпадает с нормальным видом $F$ , поэтому потом $D −1$ переводит нормальный вид $Q$ (он же нормальный вид $F$ ) в изначальный вид $F$ .

Таким образом, композиция линейных отображений

−1 D C

переводит форму $Q$ в форму $F$ .

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#63248

Из закона инерции следует, что если у двух квадратичных форм $Q1,Q2$ различные положительные индексы инерции или различные отрицательные индексы инерции, то их нельзя перевести одну в другую при помощи линейной замены.

Но верно ли обратное? То есть, верно ли, что если у $Q1$ и $Q2$ совпадает положительный индекс инерции и совпадает отрицательный индекс инерции, то их можно перевести одну в другую при помощи линейного преобразования?

Показать ответ и решение

Пусть даны две формы $∑n ∑n Q1 (x1,...xn ) = qiix2i + qijxixj i=1 i<j$ и $∑n ∑n Q2 (x1,...xn) = ˆqiix2i + ˆqijxixj i=1 i<j$ .

Что означает, что у них совпадают положительные и отрицательные индексы инерции? А означает это, если мы приведём в нормальный вид $Q1$ и $Q2$ , то в нормальном виде у них будет одинаковое количество членов с 1, и одинаковое количество членов с $− 1$ (и, следовательно, одинаковое количество членов с 0). То есть, в нормальном виде наши формы вообще одинаковые:

в норм. виде: Q1(x1,...xn) = x21 + ...+ x2p − x2p+1 − ...− x2p+q

2 2 2 2 в норм. виде: Q2(x1,...xn) = x1 + ...+ xp − xp+1 − ...− x p+q

Но тогда, пусть $C$ - это линейное преобразование, переводящее $Q1$ в её нормальный вид. Пусть $D$ - линейное преобразование, переводящее $Q 2$ в её нормальный вид. Тогда, очевидно, преобразование композиции $D −1C$ переводит сначала при помощи $C$ форму $Q1$ в её нормальный вид, нормальный вид $Q 1$ совпадает с нормальным видом $Q 2$ , поэтому потом $D −1$ переводит нормальный вид $Q1$ (он же нормальный вид $Q2$ ) в изначальный вид $Q2$ .

Таким образом, композиция линейных отображений