В силу формул приведения, что

(домножая и числитель и знаменатель в аргументе синуса на сопряженные)

И видно, что , потому что в числителе вообще стоит константа, а знаменатель стремится к бесконечности.

Ну и в силу того, что чем больше , тем больше знаменатель, а числитель вообще не зависит от , мы получаем еще и то, что - монотонно убывает. Следовательно, по признаку Лейбница наш ряд сходится.

В силу того, что общий член ряда можно, домножив и числитель и знаменатель на , переписать в виде

То и наш ряд

распадается в сумму двух рядов

И ряд будет сходится по признаку Лейбница, потому что он имеет вид

и видим, что (числитель равен 1, а знаменатель стремится к бесконечности), да притом будет монотонно убывать. Докажем это.

Рассмотрим функцию , тогда Анализируя знаки производной видим, что при и поэтому функция , а, значит, и последовательность монотонно убывает.

Таким образом, действительно сходится по признаку Лейбница.

А вот будет расходиться, потому что он фактически устроен как гармонический ряд.

Получается, что наш исследуемый ряд распадается в сумму сходящегося и расходящегося ряда, а, значит, расходится (это доказывается аналогично тому, что сумма сходящейся и расходящейся последовательности расходится).

Воспользуемся тем фактом, что частичные суммы

будут ограничены (мы доказывали общий факт для косинусов, а для синусов он устанавливается аналогично). А при этом последовательность

стремится к нулю (это следует, что логарифм, в любой, разумеется, степени, стремится к бесконечности медленнее, чем любая степенная функция, что можно установить при помощи правила Лопиталя).

Более того, начиная с некоторого момента это стремление монотонное. Покажем, почему.

Рассмотрим , тогда

И тогда . В силу того, что при мы получаем, что при функция - убывает, а, значит, и при будет убывать последовательность .

Из вышеприведенного следует, что наш ряд сходится по признаку Дирихле.

Действительно, вспомним формулу интегрирования по частям:

Ну а дискретным аналогом интегрирования является суммирование, а дискретным аналогом производной является просто приращение. И поскольку , то мы и получаем, что преобразования Абеля

превращается в

где .

Так что видно, что в преобразовании Абеля и в формуле интегрирования по частям есть что-то структурно очень схожее.

Во-первых, по формулам приведения .

С другой стороны, . Таким образом, окончательно имеем

Следовательно наш ряд преобразуется к виду

Теперь если обозначить , , то, во-первых, последовательность , очевидно, монотонна, поскольку аргумент косинуса монотонно стремится к нулю, всё время оставаясь больше нуля, то монотонно стремится к единице.

Ряд

cходится по признаку Лейбница, поскольку последовательность положительна и монотонно убывая стремится к нулю.

Таким образом, наш ряд

сходится по признаку Абеля.

Во-первых, заметим, что , поэтому для доказательства сходимости исходного ряда достаточно доказать сходимость двух рядов:

и

Тогда наш исходный ряд

будет сходящимся как сумма сходящихся рядов.

1. Ряд

сходится по признаку Лейбница, поскольку он знакочередующийся и монотонно убывая стремится к нулю.

2. Ряд

представим в виде

где , . Тогда монотонно стремится к нулю, а частичные суммы ограничены, поскольку

Следовательно, ряд

сходится по признаку Дирихле. А значит и наш исходный ряд сходится.

Наш ряд имеет вид

где . Ясно, что для любого .

Далее, (мы поделили на и числитель и знаменатель). Предел получился 0, потому что числитель стремится к нулю, а знменатель к .

Далее, рассмотрим . Эта функция дифференцируема при , и
.
И поскольку при достаточно больших третья степень больше, чем вторая, то при достаточно больших числитель , а знаменатель . Следовательно, при достаточно больших производная , следовательно, при достаточно больших последовательность монотонно убывает.

Наш ряд имеет вид

где . Ясно, что для любого , кроме того видно, что , поскольку знаменатель стремится к бесконечности, а числитель всегда равен единице.

Далее, заметим, что знаменатель у равен , что явно больше, чем знаменатель у , который равен . Откуда сразу следует, что для любого .

Таким образом, мы видим, что последовательность монотонно убывает, а значит по признаку Лейбница ряд

сходится.

Хотя этот ряд и знакочередующийся, тем не менее, признак Лейбница здесь не срабатывает, поскольку не стремится к нулю. Следовательно, уже даже первое условие в признаке Лейбница не выполнено.

Покажем, что наш ряд будет расходиться.

Действительно, общий член нашего ряда задаётся формулой и при . Следовательно, члены нашего ряда даже не стремятся к нулю. То есть, для них не выполнено необходимое условие сходимости ряда. Следовательно, ряд

расходится.

Наш ряд имеет вид

где . Ясно, что для любого , кроме того видно, что , поскольку показательная функция растёт быстрее линейной (т.е. всё следует из того, что ).

Далее, заметим, что при .

Таким образом, мы видим, что последовательность монотонно убывает, поскольку при выполнено .

Следовательно, по признаку Лейбница ряд

сходится.

Напомним, что признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда говорит следующее:

Знакочередующийся ряд

будет сходиться, если будут выполнены следующие два условия:
1. ;
2. для любого .

Но если взять в качестве , то последовательность частичных сумм - ограничена, поскольку при нечётных и для чётных .

по условию признака Лейбница монотонно стремится к нулю. Поэтому ряд сходится по признаку Дирихле.

Следовательно, признак Лейбница является лишь частным случаем признака Дирихле. Отдельно его выделяют лишь для удобства, поскольку он очень часто встречается в практике.